【正文】 ze,z??e e e,z?,z?0rr? ??e? ??? ??e e sinr ???? ??e e0r?? ??e r??? ???e e c os? ???? ??e e （ 135c） ? 在柱、球坐標(biāo)系中，求矢量函數(shù)對(duì)坐標(biāo)變量得偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，必須考慮式（ 134）和（ 135）中的各個(gè)關(guān)系式。在球坐標(biāo)系中， E ?rrrEEE EE ??? ? ?? ? ? ????? ????? ? ? ? ?????? ? ? ??? ??E e e e,x y ze e e, , ,r? ? ?e e e e 從上述分析看出 : 矢量函數(shù)對(duì)時(shí)間和空間坐標(biāo)變量的導(dǎo)數(shù)（或偏導(dǎo)數(shù)）仍然是矢量。例如，在柱坐標(biāo)系中的積分 ? ? rr r r EEEE E Et t t t t??? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?E e e e e e e? ? ? ?dt t t??? A B C 將 代入后再進(jìn)行積分。下面假定 是坐標(biāo)變量的連續(xù)可微函數(shù)。如溫度場(chǎng)的等溫面，電位場(chǎng)的等位面。或者說(shuō)場(chǎng)中的一個(gè)點(diǎn)只能在一個(gè)等值面上。 ? ?,x y C? ? 【 例 12】 設(shè)點(diǎn)電荷位于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，在它周?chē)臻g的任一點(diǎn)的電位是 式中 和 是常數(shù)。 ? ? 2 2 20, 4 qx y z x y z? ??? ??q 0?? ?,x y z C? ?2 2 204qCx y z??? ??22 2 204qx y zC????? ? ? ????04qC?? 二、方向?qū)?shù) ? 在研究標(biāo)量場(chǎng)時(shí)，需要了解標(biāo)量函數(shù)在場(chǎng)中各個(gè)點(diǎn)地鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況。 ，說(shuō)明函數(shù) 沿 方向是增加的； ，說(shuō)明函數(shù) 沿 方向是減小的； ，說(shuō)明函數(shù) 沿 方向無(wú)變化。略去下標(biāo) ，即得到直角坐標(biāo)系中任意點(diǎn)上沿 方向的方向?qū)?shù)的表達(dá)式 （ 141） 【 例 13】 求函數(shù) 在點(diǎn) 沿 方向的方向?qū)?shù)。根據(jù)定義式（ 15）， 方向的單位矢量是 把式（ 141）中的 看作一個(gè)矢量沿三個(gè)坐標(biāo)方向的分量，表示為 （ 143） lc o s c o s c o sl x y z? ? ?? ? ?e e e e,uuux y z???? ? ?x y zu u ux y z? ? ?? ? ?? ? ?G e e e 矢量 與 的標(biāo)量積（或稱點(diǎn)乘）恰好與式（ 141）右端相等。當(dāng)選擇的 方向與的方向一致時(shí)， ，則方向?qū)?shù)取最大值，即 （ 145） 矢量的方向就是函數(shù)在給定變化率最大的方向，矢量的模也正好就是它的最大變化率。在給定點(diǎn)，梯度的方向就是函數(shù)變化率最大的方向，它的模恰好等于函數(shù)在該點(diǎn)的最大變化率的數(shù)值。根據(jù)解析幾何知識(shí)，過(guò)等值面點(diǎn)切平面的法線矢量是 （ 147） 對(duì)照式（ 143）和式（ 145），可見(jiàn)法線矢量剛好等于在點(diǎn) 函數(shù)的梯度。算子是把一個(gè)函數(shù)映射為另外一個(gè)函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中， （ 150） 用哈密頓算子可將梯度記為 （ 151） x y zx y z? ? ?? ? ?? ? ?e e e?()x y z x y zu u uuux y z x y z? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?e e e e e e?g ra d uu? ?(四 ) 梯度運(yùn)算基本公式 （ C為常數(shù)） （ 152） （ C為常數(shù)） （ 153） （ 154） （ 155） （ 156） （ 157） ? 這些公式與對(duì)一般函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的法則類似。 ? 通量可以認(rèn)為是穿過(guò)曲面的矢量線總數(shù)。在閉合面的一部分面積上，各點(diǎn)的 與 ddss s? ? ? ? ??? 0F s F n0nF 夾角，矢量線穿出這部分面積上，各點(diǎn)的 與 的夾角 ，矢量線穿入這部分面積，通量為負(fù)值。 ? 當(dāng) 時(shí)，穿出等于穿入，這時(shí)內(nèi)正源與負(fù)源的代數(shù)和為零，或者內(nèi)沒(méi)有源。即 （ 164） ? 這個(gè)定義與所選取的坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。 ? 若 ，則該點(diǎn)有吸收的通量線的負(fù)源， ? 若 ，則該點(diǎn)無(wú)源。 由于 （ 166） 根據(jù)散度的定義，利用式（ 164）、（ 165）和（ 166）得 ? 利用積分中值定理，則可以得到 點(diǎn)得散度為 d d d d d d dx y zy z x z y z? ? ?s e e e000d d d d d d dd iv l im l imdddl imx y zssVVyx zVVF y z F x z F x yVVFF Fxyzx y zV? ? ? ????? ? ????????? ?????? ? ????????FsF? ?zyxM ,*0di v l i myx zyxMzVMFF F VFx y z F FV x y z?????? ?? ? ??? ?? ? ? ??? ???? ? ? ???? ? ? ???F? 可得到散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式 （ 167） 可以看出， 剛好等于哈密頓算子與量的標(biāo)積，即 （ 168） ? 可見(jiàn)： 一個(gè)矢量函數(shù)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 。所以 （ 173） 這就是 高斯散度定理 。 【 解 】 r34qr??Dr x y zx y z? ? ?r e e er2 2 2 3 24 ( )x y zx x y y z zx y zq D D Dx y z???? ? ? ???e e eD e e e2 2 2 3 222 2 2 3 2 2 2 2 5 22254 ( )134 ( ) ( )34xD qxx x x y zqxx y z x y zq r xr?????? ?? ??? ? ? ?????????? ? ? ?????? 同理可得 ? 可見(jiàn)，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)外，空間各點(diǎn)得電通量密度散度均為 0。 ? 1. 環(huán)量 (Circulation) ? 定義：矢量 ，沿某一閉合曲線（路徑）的線積分，稱為該矢量沿此閉曲線的環(huán)量。這種類型的場(chǎng)稱為保守場(chǎng)或無(wú)旋。 ? (一 ) 旋度的定義 ? 定義：矢量場(chǎng)中，在任意點(diǎn)的 鄰域內(nèi)，取任意有向閉合路徑， 限定曲面為 ，取 為的單位法 向矢量 ，周界的環(huán)繞方向與方 向成右手螺旋關(guān)系，如果不論曲面的形狀如何，只要無(wú)限收縮于 點(diǎn)時(shí)下列極限存在 圖 110 矢量場(chǎng)的環(huán)量 S? S?0nM （ 175） 稱此極限為場(chǎng)在點(diǎn)處繞方向的 渦量（或稱環(huán)量密度 ），把這些渦量的最大值以及取到最大值的方向所構(gòu)成的一個(gè)矢量，稱為 場(chǎng)在點(diǎn)的旋度 (Curl or Rotation)，記作 ，或 ，讀作旋度 F。旋度描述的是空間各點(diǎn)上場(chǎng)與漩渦源的關(guān)系。散度表示場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)與通量源的關(guān)系。散度描述的是場(chǎng)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。 斯托克斯定理的證明同高斯散度定理的證明十分相似。即 ? 于是得 ? 這就從幾何的角度直觀地解釋了斯托克斯定理。 ? 先計(jì)算環(huán)量： 由閉合曲線的參量方程得 xyyx? ? ?F e e?? 33 s in,c o s ayax ??ddxyxyFF?Cyx ?? 22? ? ? ? ? ?d x y x yl l ly x d x d y y d x x d y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?F l e e e e? ?? ?3232d d c o s 3 c o s s i n dd d s i n 3 s i n c o s dx a ay a a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ???? 沿曲線一周 ? 再用公 式 計(jì)算的通量： 由于 由 的參量方程可得 。是一條星形線，其參量方程是： 。對(duì)于其中任一個(gè)面積元，其周界面為 ，應(yīng)用旋度的定義式 ? ? ddsl? ? ? ? ???F s F llil?（ 176）有 在 的條件下，下式成立 ? 曲面上的通量，就是把上式兩端分別求和 （ 194） 上式左端求和時(shí)，各面積元之 間的公共邊上都經(jīng)過(guò)兩次積分， 但因公共邊上的相同而積分元方 向相反，即所以兩者的積分值相互抵消。它的意義是：任意矢量場(chǎng)的旋度沿場(chǎng)中任意一個(gè)以為周界的曲面的面積分，等于矢