【正文】 （ 118） ? (2) 矢量的標(biāo)量積和矢量積 矢量的相乘有兩種定義，標(biāo)量積（點(diǎn)乘）和矢量積（叉乘）。 dd d dx y zx y zF F Fx y z? ? ?e e eF l 0d d dx y zx y zF F F??rE 304 rq???E 【 解 】 由式（ 117）化簡(jiǎn)后得矢量線微分方程 此方程的通解是 （ 為任意常數(shù)） ? 將此解綜合，可以寫為 ：（ 為任意常數(shù)）可以看出，電力線是一簇從點(diǎn)電荷所在點(diǎn)（原點(diǎn)）向空間發(fā)散的徑向輻射線。在矢量線上任一點(diǎn)的切向長(zhǎng)度元與該點(diǎn)的矢量場(chǎng)的方向平行，即 （ 116） 由式（ 112）， 式（ 115）簡(jiǎn)寫為 d??F l 0d d d dx y zx y z? ? ?l e e ex x y y z zF F F? ? ?F e e e? 式（ 116）可寫為 展開上式，并根據(jù)零矢量的三個(gè)分量均為零的性質(zhì)，或兩矢量平行的基本條件，可得 （ 117） 這就是矢量線的微分方程。電場(chǎng)中的電力線和磁場(chǎng)中的磁力線等，都是矢量線的例子。矢量線上每一點(diǎn)的切線方向都代表該點(diǎn)的矢量場(chǎng)的方向。 在直角坐標(biāo)系中，某一矢量物理函數(shù)可表示為 （ 114） 用分量表示為 （ 115） 上式中 、 、 分別是矢量 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。 ? 如果空間任一矢量的起點(diǎn)是 ，終點(diǎn)是 ， x y zx y z??r e e + e22r x y z? ? ? ?rr x y zc o s c o s c o sr ? ? ?? ? ? ?re e e eM? ?,P x y z? ? ? ? ?,Q x y z 根據(jù)式（ 16）及矢量的加法規(guī) 則，矢量 表示為 （ 17） ? 矢量的模值 記為 ，是點(diǎn) 與點(diǎn) 之間的距離，由式 （ 19）得 （ 110） ? 矢量的單位矢量 （ 111） x y z O x1 圖 13 空間矢量表示方法 ( , , )Px y z? ? ?? ? ? ? ? ?x y zx x y y z z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?R r r e e e=RR ? ?,P x y z? ? ?? ?,Q x y z? ? ? ? ? ?2 2 2R x x y y z z? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2RxyzxxR x x y y z zy y z zx x y y z z x x y y z z????? ? ?? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Reeee 式中三個(gè)分量的系數(shù)也就是矢量的方位余弦。 空間一點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)矢徑；反之，與每一矢徑對(duì)應(yīng)著空間確定的一個(gè)點(diǎn)，即矢徑的終點(diǎn)。 ? 按矢量與數(shù)量乘積的定義，有 由式（ 14），在直角坐標(biāo)系中，有 （ 15） ,x y zA A A Ac osc osc osxxyyzzAAAAAA? ? ??? ? ? ??? ? ? ??AeAeAe???c o s c o s c o sx y zA A A? ? ?? ? ?A e e eAAA?A = A e eA x y zc o s c o s c o sA ? ? ?? ? ? ?Ae e e e? ? 直角坐標(biāo)系中以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)，引向空間任一點(diǎn)的矢量，稱為 點(diǎn)的矢徑 ，如圖 12。 ? 在直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一矢量 (圖 12)可表示 （ 11） ? 分別是矢量 在方向 上的投影。 x y z o x1 x1 x1 圖 11 直角坐標(biāo)系的單位矢量 x y z o 圖 12 直角坐標(biāo)系矢量的分解 過(guò)空間任意點(diǎn)的坐標(biāo)矢量記為 。 ? 矢量場(chǎng) ： 如果物理量是一個(gè)既有確定數(shù)值又有確定方向的矢量，這種場(chǎng)就叫矢量場(chǎng)（ vector field）。 電磁場(chǎng)與電磁波 參考教材 :《 電磁場(chǎng)與電磁波 》 孫玉發(fā) 郭業(yè)才等 編 合肥工業(yè)大學(xué)出版社 第一章 矢 量 分 析 一、標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng) 如果在空間中一個(gè)區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)都有一物理量的確定值與之對(duì)應(yīng)，在這個(gè)區(qū)域中就構(gòu)成該物理量的場(chǎng)。 ? 標(biāo)量場(chǎng)： 如果物理量是一個(gè)確定的數(shù)值的標(biāo)量，這種場(chǎng)就叫標(biāo)量場(chǎng)（ scalar field），如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)、電位場(chǎng)等。如水流中的速度場(chǎng)、地球表面的重力場(chǎng)、 帶電體周圍的電場(chǎng)等。 的方向不隨點(diǎn)位置的變化而變化。 ? 矢量的長(zhǎng)度或模值 （記為 ）可從圖 12中寫出 （ 12） ,x y ze e e,x y ze e ex x y y z zA A A? ? ?A e e e,x y zA A A A ,x y ze e eA A2 2 2x y zA A A A? ? ?? 分量是矢量 分別在坐標(biāo)單位矢量方向上的投影，即 （ 13） 式（ 11）可寫為 （ 14） ? ? 模等于 1的矢量叫做 單位矢量 。有 （ 16） （ 17） （ 18） 空間點(diǎn)的矢徑在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影數(shù)值分別等于點(diǎn) 的坐標(biāo)值。所以又叫做位置矢量 。 ? ? 如果空間有一長(zhǎng)度元矢量，它在直角坐標(biāo)單位矢量上的投影值分別是 ，則 （ 112） （ 113） 2 矢量場(chǎng)的矢量線 ? 一個(gè)矢量場(chǎng)，可以用一個(gè)矢量函數(shù)來(lái)表示。 R,dx dy dzd x d y d zx y zdl = e + e + e? ? ? ? ? ?2 2 2d l d x d y d z? ? ?? ?zyx ,FF ?? ? ? ? ? ? ? ?, , , , , , , ,x x y y z zx y z F x y z F x y z F x y z? ? ? ?F F e e e? ?zyxFx , ? ?zyxFx , ? ?zyxFx , ? ?zyx ,F 為描繪矢量場(chǎng)在空間的分布狀況，引入矢量線的概念。 ? 一般說(shuō)來(lái)，矢量場(chǎng)的每一點(diǎn)均有唯一的一條矢量線通過(guò)，所以矢量線充滿了整個(gè)矢量場(chǎng)所在的空間。 ? 為繪出矢量線，求出矢量線方程。 ? 【 例 11】 設(shè)點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)，它在周圍空間的任一點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量 求 的矢量方程的通解。這樣一簇矢量線形象地描繪出點(diǎn)電荷電場(chǎng)的分布狀況。 ? ◆ 標(biāo)量積 : 是一標(biāo)量，其大小等于兩個(gè)矢量模值相乘，再乘以它們夾角（取小角，即）的余弦： （ 119） x x y y z zA A A? ? ?A e e e x x y y z zB B B? ? ?B e e e( ) ( ) ( )x x x y y y z z zA B A B A B? ? ? ? ? ? ?A B e e e?ABc os ABAB ???AB 是一個(gè)矢量的模與另一矢量再該矢量上的投影的乘積。由定義知 （ 123） 并有 （ 124） ? ? ?A B B Ax x y y z zA B A B A B? ? ? ?AB?ABAABBs in ABAB ???A B n? ? ? ?A B B A0,x x y y z zx y z y z x z x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?e e e e e ee e e e e e e e e （ 125） 各分量的下標(biāo)次序具有規(guī)律性。 ? 標(biāo)量三重積為 （ 127） 因?yàn)椋哪Ｖ稻褪? 與 所形成的平行四邊行面積，因此， 就是該平行四邊行與 C所構(gòu)成的平行六面體的體積。 ? 變矢 ：模和方向或其中之一會(huì)改變的矢量稱為