【正文】 ? 函數(shù) f(x)的一階差分定義為 Δf(x)=f(x+h) f(x) 式中 h是自變量 x的增量，即 Δx=h, 將下面的式子稱為 f(x)的一階差商： ( ) ( )f f x h f xx h? ? ???f d fx dx? ??當 h很小時，差分 Δf 也很小，因此在近似計算中可用一階差商近似等于一階微分，即 2 ( ) ( )()2 2f x h f xfxx h? ? ? ?? ??二階 差商為 同樣可以定義二階差分為 Δ 2f(x)= Δf(x+h) Δf(x) 令二階差商近似等于二階微商 22 ( ) ( )( ) ( )22 2f x h f xd f x f xxx h? ? ? ??????差分方程就是在各離散點上，用 和 近似替代偏微分方程中的 和 ，從而將拉普拉斯方程或泊松方程這樣的偏微分方程化為一組代數(shù)方程，即差分方程。結合具體邊界條件，求解差分方程組，即得到所選的各個離散點上的位函數(shù)值。這個電位可以用平面鏡像法求得，因而上半空間的格林函數(shù)為 1 1 1()412( , ) RRG r r ?????2 2 2 1 / 212 2 2 1 / 22[ ( ) ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ( ) ]R x x y y z zR x x y y z z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 式中 球內、外空間的格林函數(shù) 我們可以由球面鏡像法，求出球心在坐標原點、半徑為 a的球外空間的格林函數(shù) 11 ()41 2( , ) aR rRG r r ???? ??2 2 1 / 212 2 1 / 222( 2 c o s )( 2 c o s )c o s c o s c o s sin sin c o s( )arR r r rrR r r rrr??? ? ? ? ? ? ????? ? ??? ??? ? ??? ?? ? ?? ? ? 式中 有限差分法 有限差分法是一種近似數(shù)值計算法，在一些工程技術計算中被廣泛使用。對于二維無界空間，格林函數(shù)為 1144( , ) R rrG r r ?? ???? ???C是常數(shù)，取決于電位參考點的選取。 簡單邊界的格林函數(shù) 下面我們給出一些簡單邊界形狀下第一類靜電場邊值問題的格林函數(shù)（為了書寫簡便，略去下標，用 G表示）。)( ) ( ) ( , )vf r G dSs rrr r G r r d V ? ??? ? ??? ? ???? 從以上推導過程可看出，格林函數(shù)解法的實質是把泊松方程的求解轉化為特定邊界條件下點源激勵時位函數(shù)的求解。它在體積 V內和邊界面 S上滿足的方程為 ( , )2( , )22 0rrG r rGsn????? ? ????（ 2）第二類邊值問題的格林函數(shù) 在此條件下，第二類靜電場邊值問題的解為 2()2( ) ( ) ( , )vrG d Ssnr r G r r d V???? ?? ????? ? ????() fn s?? ? ? ????（ 3）第三類邊值問題的格林函數(shù) 對于第三類靜電場邊值問題，使用第三類邊值問題的格林函數(shù)較為方便。它在體積 V內和邊界面 S上滿足的方程為 即第一類邊值問題的格林函數(shù)在邊界面 S上滿足齊次邊界條件。 式 中的格林函數(shù)是在給定邊界形狀下的一般邊值問題的格林函數(shù)，為了簡化計算，我們可以對格林函數(shù)附加上邊界條件。 靜電場邊值問題的格林函數(shù)法表達式 假定已知某給定區(qū)域 V內的電荷體密度 ，則待求電位 滿足泊松方程 ()2 () rr ?? ?? ? ?與此相對應的格林函數(shù) 滿足下列方程 ( , )2 ( , ) rrG r r ? ? ??? ? ?在上述第一式兩端乘與 G， 在上述第二式兩端乘與 φ ，二者相減再積分，可得 ()r? ()r?( , )G r r?22 ()()()vrrG d V r d VvvG G d V ?? ????? ?????? ? ? ? ??使用格林第二恒等式 22( ) ( )vsGG G dV G dSnn?? ? ???? ? ? ? ?????39。 對于靜電場問題而言，可以從單位點電荷（二維問題對應于單位線電荷，一維問題對應于單位面電荷）在特定邊界上產生的位函數(shù)，通過積分求得同一邊界的任意分布電荷產生的電位。 格林函數(shù)的解題步驟是：首先用鏡像法或其他方法找到與待求問題對應的格林函數(shù)，然后將它代入由格林第二恒等式導出的積分公式即得所求。 更確切地說，格林函數(shù)是單位點源在一定的邊界條件下所建立的場的位函數(shù)，因而格林函數(shù)又稱為源函數(shù)。所謂格林函數(shù)法就是上述方法在空間域中的應用。（見 Page 112） 2zk 格林函數(shù)法 格林函數(shù)法是數(shù)學物理方法中的基本方法之一，可以用于求解靜態(tài)場中的拉普拉斯方程、泊松方程以及時變場中的亥姆霍茲方程。 ∴ 在直角坐標下，位函數(shù)的邊值為 : (0xa, 0yb) x=0, x≤y≤b x=a, x≤y≤b y=0, 0≤x≤a 0xa, y=b 0?Kz 022 ??yKxK2221xKdxfdf ??2221yKdygdg ??yKxK ,由于 φ (x,y)不是 z的函數(shù)，故分離出的常微分方程中不會有③式， z分量且④式中 , ，即 : …… ① …… ② 因此， 取值的可能組合及方程①、②的解形式有三種情況： 圓柱坐標系中的分離變量法 如果待求場域的分界面與圓柱坐標系中某一坐標面相一致時，應選擇圓柱坐標系。 2 0???022 ?????? yx ??0??0??0??)s in (1 0 0 xa?? ?又由于場域邊界為矩形，應選用直角坐標系。 對于上面的式子，其解的形式如下： ( ) sin