【正文】 換，并且利用格林函數的對稱性，得 ( ) ( , )[ ( ) ]( ) ( ) ( , )vr G r rG r d Ssnnr r G r r d V????? ???? ????????? ? ????此式就是有限區(qū)域 V內任意一點電位的格林函數表示式。 式 中的格林函數是在給定邊界形狀下的一般邊值問題的格林函數，為了簡化計算，我們可以對格林函數附加上邊界條件。 與靜電場邊值問題一樣，格林函數的邊界條件也分為三類： 1( , )2( , )10srrG r rG????? ? ??（ 1）第一類邊值問題的格林函數 與第一類靜電場邊值問題相對應的是第一類邊值問題的格林函數，用 G1 表示。它在體積 V內和邊界面 S上滿足的方程為 即第一類邊值問題的格林函數在邊界面 S上滿足齊次邊界條件。將它代入上式，可得出第一類靜電場邊值問題的解為 1( , )1()( ) ( ) ( , )vG r rr dSs nr r G r r dV ????????? ??? ? ????與第二類靜電場邊值問題相對應的是第二類邊值問題的格林函數，用 G2表示。它在體積 V內和邊界面 S上滿足的方程為 ( , )2( , )22 0rrG r rGsn????? ? ????（ 2）第二類邊值問題的格林函數 在此條件下，第二類靜電場邊值問題的解為 2()2( ) ( ) ( , )vrG d Ssnr r G r r d V???? ?? ????? ? ????() fn s?? ? ? ????（ 3）第三類邊值問題的格林函數 對于第三類靜電場邊值問題，使用第三類邊值問題的格林函數較為方便。其邊界條件由下式確定： 與第三類靜電場邊值問題相應的第三類邊值問題的格林函數 G3所滿足的方程及邊界條件為 ( , )2( , )33( ) 03rrG r rGGn s??????? ? ?????在此條件下，第三類靜電場邊值問題的解為 33() ( , 39。)( ) ( ) ( , )vf r G dSs rrr r G r r d V ? ??? ? ??? ? ???? 從以上推導過程可看出，格林函數解法的實質是把泊松方程的求解轉化為特定邊界條件下點源激勵時位函數的求解。點源激勵下的位函數就是格林函數，格林函數所滿足的方程及邊界條件都比同類型的泊松方程要簡單。 簡單邊界的格林函數 下面我們給出一些簡單邊界形狀下第一類靜電場邊值問題的格林函數（為了書寫簡便，略去下標，用 G表示）。 無界空間的格林函數 1144() R rrr ?? ??? ? ???計算無界空間的格林函數，就是要計算無界空間中位于 r’處的單位點電荷以無窮遠為電位參考點時在空間 r處的電位，這一電位為 因此，無界空間的格林函數為 這是三維無界空間的格林函數。對于二維無界空間，格林函數為 1144( , ) R rrG r r ?? ???? ???C是常數，取決于電位參考點的選取。 1 ln2( , ) RCG r r ??????2 2 1 / 2[ ( ) ( ) ]R x x y y??? ? ? ?式 中上半空間的格林函數 計算上半空間（ z0）的格林函數，就是求位于上半空間 r’處的單位點電荷以 z=0平面為電位零點時，在上半空間任意一點 r處的電位。這個電位可以用平面鏡像法求得，因而上半空間的格林函數為 1 1 1()412( , ) RRG r r ?????2 2 2 1 / 212 2 2 1 / 22[ ( ) ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ( ) ]R x x y y z zR x x y y z z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 式中 球內、外空間的格林函數 我們可以由球面鏡像法，求出球心在坐標原點、半徑為 a的球外空間的格林函數 11 ()41 2( , ) aR rRG r r ???? ??2 2 1 / 212 2 1 / 222( 2 c o s )( 2 c o s )c o s c o s c o s sin sin c o s( )arR r r rrR r r rrr??? ? ? ? ? ? ????? ? ??? ??? ? ??? ?? ? ?? ? ? 式中 有限差分法 有限差分法是一種近似數值計算法，在一些工程技術計算中被廣泛使用。這種方法是在待求場域內選取有限個離散點，在各個離散點上以差分方程近似代替各點上的微分方程，從而把以連續(xù)變量形式表示的位函數方程，轉化為以離散點位函數值表示的方程組。結合具體邊界條件，求解差分方程組，即得到所選的各個離散點上的位函數值。 有限差分法不僅能處理線性問題，還能處理非線性問題；不僅能求解拉普拉斯方程，也能求解泊松方程；不僅能求解任意靜態(tài)場的問題，也能求解時變場的問題；而且這種方法不受邊界形狀的限制。 ? 函數 f(x)的一階差分定義為 Δf(x)=f(x+h) f(x) 式中 h是自變量 x的增量，即 Δx=h, 將下面的式子稱為 f(x)的一階差商： ( ) ( )f f x h f xx h? ? ???f d fx dx? ??當 h很小時，差分 Δf 也很小，因此在近似計算中可用一階差商近似等于一階微分，即 2 ( ) ( )()2 2f x h f xfxx h? ? ? ?? ??二階 差商為 同樣可以定義二階差分為 Δ 2f(x)= Δf(x+h) Δf(x) 令二階差商近似等于二階微商 22 ( ) ( )( ) ( )22 2f x h f xd f x f xxx h? ? ? ??????差分方程就是在各離散點上，用 和 近似替代偏微分方程中的 和 ，從而將拉普拉斯方程或泊松方程這樣的偏微分方程化為一組代數方程，即差分方程。 2 ()2fxx??2 ()2fyy??2 ()2fxx??2 ()2fyy??(見 Page 118 例 和例 ) 例題