電磁場(chǎng)與電磁波第5章ok-資料下載頁
2025-04-30 01:32本頁面
【正文】 換，并且利用格林函數(shù)的對(duì)稱性，得 ( ) ( , )[ ( ) ]( ) ( ) ( , )vr G r rG r d Ssnnr r G r r d V????? ???? ????????? ? ????此式就是有限區(qū)域 V內(nèi)任意一點(diǎn)電位的格林函數(shù)表示式。 式 中的格林函數(shù)是在給定邊界形狀下的一般邊值問題的格林函數(shù)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們可以對(duì)格林函數(shù)附加上邊界條件。 與靜電場(chǎng)邊值問題一樣，格林函數(shù)的邊界條件也分為三類： 1( , )2( , )10srrG r rG????? ? ??（ 1）第一類邊值問題的格林函數(shù) 與第一類靜電場(chǎng)邊值問題相對(duì)應(yīng)的是第一類邊值問題的格林函數(shù)，用 G1 表示。它在體積 V內(nèi)和邊界面 S上滿足的方程為 即第一類邊值問題的格林函數(shù)在邊界面 S上滿足齊次邊界條件。將它代入上式，可得出第一類靜電場(chǎng)邊值問題的解為 1( , )1()( ) ( ) ( , )vG r rr dSs nr r G r r dV ????????? ??? ? ????與第二類靜電場(chǎng)邊值問題相對(duì)應(yīng)的是第二類邊值問題的格林函數(shù)，用 G2表示。它在體積 V內(nèi)和邊界面 S上滿足的方程為 ( , )2( , )22 0rrG r rGsn????? ? ????（ 2）第二類邊值問題的格林函數(shù) 在此條件下，第二類靜電場(chǎng)邊值問題的解為 2()2( ) ( ) ( , )vrG d Ssnr r G r r d V???? ?? ????? ? ????() fn s?? ? ? ????（ 3）第三類邊值問題的格林函數(shù) 對(duì)于第三類靜電場(chǎng)邊值問題，使用第三類邊值問題的格林函數(shù)較為方便。其邊界條件由下式確定： 與第三類靜電場(chǎng)邊值問題相應(yīng)的第三類邊值問題的格林函數(shù) G3所滿足的方程及邊界條件為 ( , )2( , )33( ) 03rrG r rGGn s??????? ? ?????在此條件下，第三類靜電場(chǎng)邊值問題的解為 33() ( , 39。)( ) ( ) ( , )vf r G dSs rrr r G r r d V ? ??? ? ??? ? ???? 從以上推導(dǎo)過程可看出，格林函數(shù)解法的實(shí)質(zhì)是把泊松方程的求解轉(zhuǎn)化為特定邊界條件下點(diǎn)源激勵(lì)時(shí)位函數(shù)的求解。點(diǎn)源激勵(lì)下的位函數(shù)就是格林函數(shù)，格林函數(shù)所滿足的方程及邊界條件都比同類型的泊松方程要簡(jiǎn)單。 簡(jiǎn)單邊界的格林函數(shù) 下面我們給出一些簡(jiǎn)單邊界形狀下第一類靜電場(chǎng)邊值問題的格林函數(shù)（為了書寫簡(jiǎn)便，略去下標(biāo)，用 G表示）。 無界空間的格林函數(shù) 1144() R rrr ?? ??? ? ???計(jì)算無界空間的格林函數(shù)，就是要計(jì)算無界空間中位于 r’處的單位點(diǎn)電荷以無窮遠(yuǎn)為電位參考點(diǎn)時(shí)在空間 r處的電位，這一電位為 因此，無界空間的格林函數(shù)為 這是三維無界空間的格林函數(shù)。對(duì)于二維無界空間，格林函數(shù)為 1144( , ) R rrG r r ?? ???? ???C是常數(shù)，取決于電位參考點(diǎn)的選取。 1 ln2( , ) RCG r r ??????2 2 1 / 2[ ( ) ( ) ]R x x y y??? ? ? ?式 中上半空間的格林函數(shù) 計(jì)算上半空間（ z0）的格林函數(shù)，就是求位于上半空間 r’處的單位點(diǎn)電荷以 z=0平面為電位零點(diǎn)時(shí)，在上半空間任意一點(diǎn) r處的電位。這個(gè)電位可以用平面鏡像法求得，因而上半空間的格林函數(shù)為 1 1 1()412( , ) RRG r r ?????2 2 2 1 / 212 2 2 1 / 22[ ( ) ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ( ) ]R x x y y z zR x x y y z z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 式中 球內(nèi)、外空間的格林函數(shù) 我們可以由球面鏡像法，求出球心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為 a的球外空間的格林函數(shù) 11 ()41 2( , ) aR rRG r r ???? ??2 2 1 / 212 2 1 / 222( 2 c o s )( 2 c o s )c o s c o s c o s sin sin c o s( )arR r r rrR r r rrr??? ? ? ? ? ? ????? ? ??? ??? ? ??? ?? ? ?? ? ? 式中 有限差分法 有限差分法是一種近似數(shù)值計(jì)算法，在一些工程技術(shù)計(jì)算中被廣泛使用。這種方法是在待求場(chǎng)域內(nèi)選取有限個(gè)離散點(diǎn)，在各個(gè)離散點(diǎn)上以差分方程近似代替各點(diǎn)上的微分方程，從而把以連續(xù)變量形式表示的位函數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為以離散點(diǎn)位函數(shù)值表示的方程組。結(jié)合具體邊界條件，求解差分方程組，即得到所選的各個(gè)離散點(diǎn)上的位函數(shù)值。 有限差分法不僅能處理線性問題，還能處理非線性問題；不僅能求解拉普拉斯方程，也能求解泊松方程；不僅能求解任意靜態(tài)場(chǎng)的問題，也能求解時(shí)變場(chǎng)的問題；而且這種方法不受邊界形狀的限制。 ? 函數(shù) f(x)的一階差分定義為 Δf(x)=f(x+h) f(x) 式中 h是自變量 x的增量，即 Δx=h, 將下面的式子稱為 f(x)的一階差商： ( ) ( )f f x h f xx h? ? ???f d fx dx? ??當(dāng) h很小時(shí)，差分 Δf 也很小，因此在近似計(jì)算中可用一階差商近似等于一階微分，即 2 ( ) ( )()2 2f x h f xfxx h? ? ? ?? ??二階 差商為 同樣可以定義二階差分為 Δ 2f(x)= Δf(x+h) Δf(x) 令二階差商近似等于二階微商 22 ( ) ( )( ) ( )22 2f x h f xd f x f xxx h? ? ? ??????差分方程就是在各離散點(diǎn)上，用 和 近似替代偏微分方程中的 和 ，從而將拉普拉斯方程或泊松方程這樣的偏微分方程化為一組代數(shù)方程，即差分方程。 2 ()2fxx??2 ()2fyy??2 ()2fxx??2 ()2fyy??(見 Page 118 例 和例 ) 例題
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