廈門大學(xué)應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析第03章_多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn)-文庫(kù)吧資料
2025-05-05 04:58本頁(yè)面
【正文】 X X????稱為組間平方和；( ) 211()inkijiijS S E X X?????? 稱為組內(nèi)平方和；( ) 211()inkijijSS T X X??????稱為總平方和。多元方差分析是單因素方差分析直接的推廣。對(duì)假設(shè) 0 1 2H ?μ μ： 1 1 2H ?μ μ： 進(jìn)行檢驗(yàn)。又由于 ( ) ~ ( , )pnmNnm???X Y 0 Σ 所以 2( 2) 1~ ( , 1 )( 2)n m pT F p n m pn m p? ? ? ?? ? ??? 下述假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的選取和前邊統(tǒng)計(jì)量的選取思路是一樣的，以下只 提出待檢驗(yàn)的假設(shè)，然后給出統(tǒng)計(jì)量及其分布，為節(jié)省篇幅，不做重復(fù) 解釋。 對(duì)此問(wèn)題，假設(shè)0H成立時(shí)，所構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 2( 2) 1~ ( , 1 )( 2)n m pF T F p n m pn m p? ? ? ?? ? ? ??? （ 3 . 9 ） 其中， 21( 2 ) ( ) ( )n m n mT n mn m n m??? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?X Y S X Y xy??S S S ( ) ( )1( ) ( )nx a aa ??? ? ??S X X X X， 12( , , , )p ??X X X X ( ) ( )1( ) ( )ny a aa ??? ? ??S Y Y Y Y， 12( , , , )p ??Y Y Y Y 給定檢驗(yàn)水平?，查 F 分布表，使? ?p F F ? ???，可確定出臨界值?F，再用樣本值計(jì)算出 F ，若FF ??，則否定0H，否則接受0H。 ? 這里，我們應(yīng)該注意到，在單一變量統(tǒng)計(jì)中進(jìn)行均值相等檢驗(yàn)所給出的統(tǒng)計(jì)量為 22~ ( 0 , 1 )XYzNnm????? 顯然 22222 2()()()X Y n mz X Ynmnm?? ???? ? ???2 1 2( ) ( ) ( ) ~ ( 1 )nmX Y X Ynm?????? ? ?? 此式恰為上邊統(tǒng)計(jì)量當(dāng)1?p時(shí)的情況，不難看出這里給出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是單一變量檢驗(yàn)情況的推廣。 1 ．針對(duì)有共同已知協(xié)差陣的情形 對(duì)假設(shè) 0 1 2H ?μ μ： 1 1 2H ?μ μ： 進(jìn)行檢驗(yàn)。 三、兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn) （一）當(dāng)協(xié)差陣相等時(shí)，兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn) 設(shè)( ) 1 2( , , , )a a a apX X X ??X，na ,2,1 ??，為來(lái)自p維正態(tài)總體1( , )pN μ Σ的容量為 n 的樣本；( ) 1 2( , , , )a a a apY Y Y ??Y，ma ,2,1 ??，為來(lái)自p維正態(tài)總體2( , )pN μ Σ的容量為 m 的樣本。 （二）協(xié)差陣Σ未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn) 00H ?μ μ：（0μ為已知向量）10H ?μ μ： 假設(shè)0H成立，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 2( 1 ) 1~ ( , )( 1 )npT F p n pnp????? （ 3 . 7 ） 其中，2100( 1 ) [ ( ) ( ) ]T n n n??? ? ? ?X μ SX μ 給定檢驗(yàn)水平?，查 F 分布表，使2( 1 )npP T Fnp???? ????????，可確定出臨界值?F，再用樣本值計(jì)算出 2T ，若2( 1 )npTFnp????，則否定0H，否則接受0H。根據(jù)二次型分布定理知道，若~ ( , )pN 0X Σ，則12 ~ ( )p???X Σ X。 （一） 協(xié)差陣 Σ 已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn) 00H ?： μ μ（0μ為已知向量）10H ?： μ μ 假設(shè)0H成立，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 2 1 20 0 0( ) ( ) ~ ( )T n p???? ? ?X μ Σ X μ （ ） 給定檢驗(yàn)水平?，查2?分布表使? ?220PT ?????，可確定出臨界值2??，再用樣本值計(jì)算出20T，若220T ???，則否定0H，否則接受0H。 定理 若~ ( , )pN 0X Σ，~ ( , )pWnS Σ且 X 與S相互獨(dú)立，令 21Tn ??? X S X ，則 21~ ( , 1 )npT F p n pnp???? （ ） 在我們后面所介紹的檢驗(yàn)問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)用到這一性質(zhì)。 由于這一統(tǒng)計(jì)量的分布首先由 H a r ol d H ot e l l i n g 提出來(lái)的，故稱為 H ot e l l i n g 2T 分布，值得指出的是，我國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家許寶祿先生在 1938 年用不同方法也導(dǎo)出 2T 分布的密度函數(shù)，因表達(dá)式很復(fù)雜，故略去。當(dāng)0?μ時(shí)，稱 2T 服從（中心）H ot e l l i n g 2T 分布。 這里我們應(yīng)該注
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