【正文】 1．植樹問題①開放型與封閉型②間隔與株數(shù)的關(guān)系2．方陣問題外層邊長數(shù)2=內(nèi)層邊長數(shù) （即不論哪一層，每往里一層，每邊差2，每相鄰兩層的總數(shù)差8）（外層邊長數(shù)1）4=外周長數(shù)（即可以用螺旋法求每一層的總數(shù)，其他形狀的隊(duì)列也一樣）外層邊長數(shù)2中空邊長數(shù)2=實(shí)面積數(shù)，（即正方形、長方形的有時(shí)可以轉(zhuǎn)換成面積）3．列車過橋問題①車長+橋長=速度時(shí)間②車長甲+車長乙=速度和相遇時(shí)間③車長甲+車長乙=速度差追及時(shí)間列車與人或騎車人或另一列車上的司機(jī)的相遇及追及問題車長=速度和相遇時(shí)間車長=速度差追及時(shí)間4．年齡問題（1）牢記：年齡差不變；如果變了，一定有特殊的年齡情況，一定要找問題的關(guān)鍵，比如XX年沒有某人沒有出生等等；（2）年齡增加數(shù)一樣；年齡倍數(shù)是變的5．雞兔同籠假設(shè)法的解題思想、方程的方法常常會(huì)更簡單快，但解方程要準(zhǔn)確，但可以兩種方法進(jìn)行檢驗(yàn)假設(shè)法：全都是一種動(dòng)物。 p為半周長 = （a +b +c）/2 則三角形的面積S = （13） 如果六邊形對(duì)邊相等，相隔一個(gè)頂點(diǎn)相連成的三角形的面積是六邊形面積的一半（14） 當(dāng)求一部分比另一部分的面積大多少時(shí)，除了直接求出每部分相減外，應(yīng)該可以考慮差不變得方法；立體圖形：長方體、正方體⑴規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式 幾個(gè)面，幾個(gè)棱等要記清； 圓柱體的體積和表面積 圓錐體的體積和表面積 三棱柱的體積和表面積⑵不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法⑶體積的等積變形 ①水中浸放物體：V升水=V物要先判斷是否水上升超過了侵入的物體，然后再算升高了多少； ②測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水⑷三視圖與展開圖 最短線路與展開圖形狀問題求堆積體表面積的常見方法——三視圖法，有些看不見的圖要額外加上求堆積體體積的常見方法——切片法⑸染色問題（含染色再切塊） 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。(8)隱含條件的等價(jià)代換 例如弦圖中長短邊長的關(guān)系。 S1︰S2=a2︰A2②（即所謂梯形蝴蝶模型）S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab 。大家可以試下. 所以：一共有5個(gè) 187 367 547 727 9071最值問題 考慮平均化和極端化兩數(shù)和一定，差小積大； 兩數(shù)積一定，差小和小三、幾何圖形幾何出題特點(diǎn)及趨勢(shì)： 淡化幾何幾大模型的直接考察 勾股定理頻繁現(xiàn)身幾何題中 方程（組）作用非比尋常歐拉公式 = 頂點(diǎn) + 區(qū)域 = 邊數(shù) + 維數(shù) – 1平面圖形⑴多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N2)180176。得出數(shù)為18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍數(shù)35，直到滿足“除3余2”4＋7＝1111＋7＝1818＋35＝53這種方法也可以解“中國剩余定理”解的題目。46＋42＝8846＋42＋42＝13046＋42＋42＋42＝172這是一種形式的，它的前提是條件中出現(xiàn)同余數(shù)的情況，如果遇到?jīng)]有的，下面講例二，一個(gè)班學(xué)生分組做游戲，如果每組三人就多兩人，每組五人就多三人，每組七人就多四人，問這個(gè)班有多少學(xué)生？解法：題目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。不行的話，只要再46加上6和7的最小公倍數(shù)42，一直加到能滿足“一個(gè)數(shù)被5除余2”?？吹侥莻€(gè)“被6除余4，被7除余4”了么，有同余數(shù)的話，只要求出6和7的最小公倍數(shù)，再加上4，就是滿足后面條件的數(shù)了，6X7＋4＝46。小學(xué)奧賽考試時(shí)學(xué)習(xí)過，也用過，現(xiàn)在把方法寫出來，如果懂的也別笑我，呵呵。） 關(guān)于“中國剩余定理”類型題目的另外解法“中國剩余定理”解的題目其實(shí)就是“余數(shù)問題”，這種題目，也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決。然后，2806＋2252＋1263=2508，因?yàn)椋?508315，所以，2508－3157=303，就是所求的數(shù)。則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。然后，2805＋2251＋1262=1877，因?yàn)椋?877315，所以，1877－3155=302，就是所求的數(shù)。則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。然后，1764＋3853＋3202=2499，因?yàn)椋?499440，所以，2499－4405=299，就是所求的數(shù)。則〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。例3：一個(gè)數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。為了使56被3除余1，用562=112；使24被7除余1，用245=120。例2：一個(gè)數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個(gè)數(shù)最小是幾？題中8三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。為了使20被3除余1，用202=40；使15被4除余1，用153=45；使12被5除余1，用123=36。例1：一個(gè)數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個(gè)數(shù)最小是幾？題中5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。用歌訣解題容易記憶，但有它的局限性，只能限于用7三個(gè)數(shù)去除，用其它的數(shù)去除就不行了。（任何一個(gè)一次同余式組，只要根據(jù)這個(gè)規(guī)律求出那幾個(gè)關(guān)鍵數(shù)字，那么這個(gè)一次同余式組就不難解出了。21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1。解法的意思就是用70乘3除所得的余數(shù)，21乘5除所得的余數(shù)，15乘7除所得的余數(shù)，然后總加起來，除以105的余數(shù)就是答案。 　　附：如70，其實(shí)是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。 　　解法中的三個(gè)關(guān)鍵數(shù)70，21，15，有何妙用，有何性質(zhì)呢?首先70是3除余1而5與7都除得盡的數(shù)，所以70a是3除余a,而5與7都除得盡的數(shù)，21是5除余1，而3與7都除得盡的數(shù)，所以21b是5除余b，而3與7除得盡的數(shù)。直至18世紀(jì) 。式中M39。1M1b1＋…＋M39。此定理的一般形式是設(shè)m = m1 ，… ，mk 為兩兩互素的正整數(shù)，m＝m1，…mk ，m＝miMi，i＝1，2，… ，k 。明朝程大位用歌謠給出了該題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓月正半，除百零五便得知。三 ，七七數(shù)之余二，問物幾何？”答為“23”。 　　公元前后的《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二 ，五五數(shù)之余 是數(shù)論中一個(gè)重要定理。 134134 = 0 所以最大公約數(shù)是134。p = ……1 如(1) p 是質(zhì)數(shù)，且a和p互質(zhì) 則：則ap1247。 322 = 1024 是第一個(gè)四位數(shù) 992 = 9801 四位數(shù)里最大的四位數(shù) 332 = 四位數(shù)里第1個(gè)奇數(shù)⑥ 一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是0,1,4,5,6,9⑦ 完全平方數(shù)除以4的性質(zhì)最重要，偶數(shù)除以4余0，奇數(shù)除以4余1，除以4余3一定不是完全平方數(shù)；12．孫子定理（中國剩余定理）見下13．余數(shù)應(yīng)用 求某數(shù)、某式的末一位、二位、三位……是幾？ （1）末一位，相當(dāng)于求除10 = 25 末二位，相當(dāng)于求除100 = 425 末三位，相當(dāng)于求除1000 = 8125 （2）以大化小 （3）找余數(shù)1：費(fèi)馬小定理： 如a247。③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。②約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。 a+b。b=q……r, 0≤r＜b a=bq+r6. 唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 p2...pk約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 p2...pk那么：n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) 證明：關(guān)鍵是乘法原理n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）約數(shù)積：約數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的例：12的約數(shù)積，1X12=12，3X4=12， 2X6=12 123兩數(shù)的約數(shù)也是兩數(shù)差的約數(shù)； （a,b）是a,b。當(dāng)r≠0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）。⑥ 6672□□這樣的用試除法；⑦ ()k 247。③ 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。末位：（2,5）（22, 55）（23, 53）；數(shù)段和：（3,9）(99,33,11) (37, 111,333,999)數(shù)段差：（7,11,13）整除數(shù)特 征2末尾是0、8；也說明能被2整除的數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)；3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)113末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)，偶數(shù)位與奇數(shù)位的差99從后往前，兩位一段，各段之和是99的倍數(shù)，此數(shù)是99的倍數(shù)整除性質(zhì)① 如果c|a、c|b，那么c|(ab)。包括：整除問題；整除特征(小升初常考內(nèi)容)；余數(shù)問題；奇偶問題；質(zhì)數(shù)合數(shù)；約數(shù)倍數(shù)還有那個(gè)平方數(shù)的特征。 運(yùn)算率別亂用；特殊數(shù)列求和運(yùn)用相關(guān)公式：①② ③④ ⑤ ⑥⑦1+2+3+4…（n1）+n+（n1）+…4+3+2+1=n (a+b)2=a2+2ab+b2大數(shù)計(jì)算：找規(guī)律，可以先用小數(shù)算算找規(guī)律；湊9，99， 999 ……重復(fù)數(shù)字：324324324324=3241001001001頭同尾和十（1）概念：兩位數(shù)兩位數(shù)中，十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字相加為十結(jié)果：積的后兩位=尾尾；積從百位起前面的數(shù)=頭（頭+1）例如：7377=5621（2）尾同頭合十概念：兩位數(shù)兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字相同，十位數(shù)字相加為十結(jié)果：積的后兩位=尾尾；積從百位起前面的數(shù)=頭頭+尾 例如：7838=29641452=2025171113 = 1001 373 = 11117的秘密：1247。 要理解新符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則（普通題：告訴你規(guī)則，直接代入就好；牛題：新運(yùn)算需要推導(dǎo)出來，方法：趙規(guī)律，通項(xiàng)歸納）252。是假分?jǐn)?shù)，且a≠b，必有 。形如：，則。⑸商不變性質(zhì)⑹改變運(yùn)算順序① 運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用：交換率、結(jié)合率② 連減的性質(zhì)③ 連除的性質(zhì)④ 同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)：搬家?guī)Х?hào)，加減括號(hào)，前面是－、247。 = +=+裂差：目的：兩兩相消（1） 分子全部相同，最簡單形式為1，不是1提取公因數(shù)（2） 分母均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)首尾相接；（3） 分母上的幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值； 分?jǐn)?shù)拆分： = + ==+, m, n是10的約數(shù)就可以；選取m, n的比不同就可以分成不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加；這里有（1,2）（2,5）（1,10）（1,5）（1,1）階乘：考試考到階乘通常是除法和逆運(yùn)算乘法，乘法往上5！，想6, 5！6 = 6！