【正文】 1．植樹問題①開放型與封閉型②間隔與株數(shù)的關(guān)系2．方陣問題外層邊長數(shù)2=內(nèi)層邊長數(shù) （即不論哪一層，每往里一層，每邊差2，每相鄰兩層的總數(shù)差8）（外層邊長數(shù)1）4=外周長數(shù)（即可以用螺旋法求每一層的總數(shù)，其他形狀的隊列也一樣）外層邊長數(shù)2中空邊長數(shù)2=實面積數(shù)，（即正方形、長方形的有時可以轉(zhuǎn)換成面積）3．列車過橋問題①車長+橋長=速度時間②車長甲+車長乙=速度和相遇時間③車長甲+車長乙=速度差追及時間列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題車長=速度和相遇時間車長=速度差追及時間4．年齡問題（1）牢記：年齡差不變；如果變了，一定有特殊的年齡情況，一定要找問題的關(guān)鍵，比如XX年沒有某人沒有出生等等；（2）年齡增加數(shù)一樣；年齡倍數(shù)是變的5．雞兔同籠假設(shè)法的解題思想、方程的方法常常會更簡單快，但解方程要準(zhǔn)確，但可以兩種方法進行檢驗假設(shè)法：全都是一種動物。 p為半周長 = （a +b +c）/2 則三角形的面積S = （13） 如果六邊形對邊相等，相隔一個頂點相連成的三角形的面積是六邊形面積的一半（14） 當(dāng)求一部分比另一部分的面積大多少時，除了直接求出每部分相減外，應(yīng)該可以考慮差不變得方法；立體圖形：長方體、正方體⑴規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式 幾個面，幾個棱等要記清； 圓柱體的體積和表面積 圓錐體的體積和表面積 三棱柱的體積和表面積⑵不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法⑶體積的等積變形 ①水中浸放物體：V升水=V物要先判斷是否水上升超過了侵入的物體，然后再算升高了多少； ②測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水⑷三視圖與展開圖 最短線路與展開圖形狀問題求堆積體表面積的常見方法——三視圖法，有些看不見的圖要額外加上求堆積體體積的常見方法——切片法⑸染色問題（含染色再切塊） 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長、頂點、面數(shù)的關(guān)系。(8)隱含條件的等價代換 例如弦圖中長短邊長的關(guān)系。 S1︰S2=a2︰A2②（即所謂梯形蝴蝶模型）S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab 。大家可以試下. 所以：一共有5個 187 367 547 727 9071最值問題 考慮平均化和極端化兩數(shù)和一定，差小積大； 兩數(shù)積一定，差小和小三、幾何圖形幾何出題特點及趨勢： 淡化幾何幾大模型的直接考察 勾股定理頻繁現(xiàn)身幾何題中 方程（組）作用非比尋常歐拉公式 = 頂點 + 區(qū)域 = 邊數(shù) + 維數(shù) – 1平面圖形⑴多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N2)180176。得出數(shù)為18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍數(shù)35，直到滿足“除3余2”4＋7＝1111＋7＝1818＋35＝53這種方法也可以解“中國剩余定理”解的題目。46＋42＝8846＋42＋42＝13046＋42＋42＋42＝172這是一種形式的，它的前提是條件中出現(xiàn)同余數(shù)的情況，如果遇到?jīng)]有的，下面講例二，一個班學(xué)生分組做游戲，如果每組三人就多兩人，每組五人就多三人，每組七人就多四人，問這個班有多少學(xué)生？解法：題目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。不行的話，只要再46加上6和7的最小公倍數(shù)42，一直加到能滿足“一個數(shù)被5除余2”?？吹侥莻€“被6除余4，被7除余4”了么，有同余數(shù)的話，只要求出6和7的最小公倍數(shù)，再加上4，就是滿足后面條件的數(shù)了，6X7＋4＝46。小學(xué)奧賽考試時學(xué)習(xí)過，也用過，現(xiàn)在把方法寫出來，如果懂的也別笑我，呵呵。） 關(guān)于“中國剩余定理”類型題目的另外解法“中國剩余定理”解的題目其實就是“余數(shù)問題”，這種題目，也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決。然后，2806＋2252＋1263=2508，因為，2508315，所以，2508－3157=303，就是所求的數(shù)。則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。然后，2805＋2251＋1262=1877，因為，1877315，所以，1877－3155=302，就是所求的數(shù)。則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。然后，1764＋3853＋3202=2499，因為，2499440，所以，2499－4405=299，就是所求的數(shù)。則〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。例3：一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。為了使56被3除余1，用562=112；使24被7除余1，用245=120。例2：一個數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個數(shù)最小是幾？題中8三個數(shù)兩兩互質(zhì)。為了使20被3除余1，用202=40；使15被4除余1，用153=45；使12被5除余1，用123=36。例1：一個數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數(shù)最小是幾？題中5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。用歌訣解題容易記憶，但有它的局限性，只能限于用7三個數(shù)去除，用其它的數(shù)去除就不行了。（任何一個一次同余式組，只要根據(jù)這個規(guī)律求出那幾個關(guān)鍵數(shù)字，那么這個一次同余式組就不難解出了。21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1。解法的意思就是用70乘3除所得的余數(shù)，21乘5除所得的余數(shù)，15乘7除所得的余數(shù)，然后總加起來，除以105的余數(shù)就是答案。 　　附：如70，其實是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。 　　解法中的三個關(guān)鍵數(shù)70，21，15，有何妙用，有何性質(zhì)呢?首先70是3除余1而5與7都除得盡的數(shù)，所以70a是3除余a,而5與7都除得盡的數(shù)，21是5除余1，而3與7都除得盡的數(shù)，所以21b是5除余b，而3與7除得盡的數(shù)。直至18世紀(jì) 。式中M39。1M1b1＋…＋M39。此定理的一般形式是設(shè)m = m1 ，… ，mk 為兩兩互素的正整數(shù)，m＝m1，…mk ，m＝miMi，i＝1，2，… ，k 。明朝程大位用歌謠給出了該題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓月正半，除百零五便得知。三 ，七七數(shù)之余二，問物幾何？”答為“23”。 　　公元前后的《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二 ，五五數(shù)之余 是數(shù)論中一個重要定理。 134134 = 0 所以最大公約數(shù)是134。p = ……1 如(1) p 是質(zhì)數(shù)，且a和p互質(zhì) 則：則ap1247。 322 = 1024 是第一個四位數(shù) 992 = 9801 四位數(shù)里最大的四位數(shù) 332 = 四位數(shù)里第1個奇數(shù)⑥ 一個完全平方數(shù)的個位數(shù)的個位數(shù)字一定是0,1,4,5,6,9⑦ 完全平方數(shù)除以4的性質(zhì)最重要，偶數(shù)除以4余0，奇數(shù)除以4余1，除以4余3一定不是完全平方數(shù)；12．孫子定理（中國剩余定理）見下13．余數(shù)應(yīng)用 求某數(shù)、某式的末一位、二位、三位……是幾？ （1）末一位，相當(dāng)于求除10 = 25 末二位，相當(dāng)于求除100 = 425 末三位，相當(dāng)于求除1000 = 8125 （2）以大化小 （3）找余數(shù)1：費馬小定理： 如a247。③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。②約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)積。③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)和。 a+b。b=q……r, 0≤r＜b a=bq+r6. 唯一分解定理任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 p2...pk約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 p2...pk那么：n的約數(shù)個數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) 證明：關(guān)鍵是乘法原理n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）約數(shù)積：約數(shù)是成對出現(xiàn)的例：12的約數(shù)積，1X12=12，3X4=12， 2X6=12 123兩數(shù)的約數(shù)也是兩數(shù)差的約數(shù)； （a,b）是a,b。當(dāng)r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）。⑥ 6672□□這樣的用試除法；⑦ ()k 247。③ 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。末位：（2,5）（22, 55）（23, 53）；數(shù)段和：（3,9）(99,33,11) (37, 111,333,999)數(shù)段差：（7,11,13）整除數(shù)特 征2末尾是0、8；也說明能被2整除的數(shù)，其個位數(shù)字只能是偶數(shù)；3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)113末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)，偶數(shù)位與奇數(shù)位的差99從后往前，兩位一段，各段之和是99的倍數(shù)，此數(shù)是99的倍數(shù)整除性質(zhì)① 如果c|a、c|b，那么c|(ab)。包括：整除問題；整除特征(小升初?？純?nèi)容)；余數(shù)問題；奇偶問題；質(zhì)數(shù)合數(shù)；約數(shù)倍數(shù)還有那個平方數(shù)的特征。 運算率別亂用；特殊數(shù)列求和運用相關(guān)公式：①② ③④ ⑤ ⑥⑦1+2+3+4…（n1）+n+（n1）+…4+3+2+1=n (a+b)2=a2+2ab+b2大數(shù)計算：找規(guī)律，可以先用小數(shù)算算找規(guī)律；湊9，99， 999 ……重復(fù)數(shù)字：324324324324=3241001001001頭同尾和十（1）概念：兩位數(shù)兩位數(shù)中，十位數(shù)字相同，個位數(shù)字相加為十結(jié)果：積的后兩位=尾尾；積從百位起前面的數(shù)=頭（頭+1）例如：7377=5621（2）尾同頭合十概念：兩位數(shù)兩位數(shù)中，個位數(shù)字相同，十位數(shù)字相加為十結(jié)果：積的后兩位=尾尾；積從百位起前面的數(shù)=頭頭+尾 例如：7838=29641452=2025171113 = 1001 373 = 11117的秘密：1247。 要理解新符號的運算規(guī)則（普通題：告訴你規(guī)則，直接代入就好；牛題：新運算需要推導(dǎo)出來，方法：趙規(guī)律，通項歸納）252。是假分?jǐn)?shù)，且a≠b，必有 。形如：，則。⑸商不變性質(zhì)⑹改變運算順序① 運算定律的綜合運用：交換率、結(jié)合率② 連減的性質(zhì)③ 連除的性質(zhì)④ 同級運算移項的性質(zhì)：搬家?guī)Х?，加減括號，前面是－、247。 = +=+裂差：目的：兩兩相消（1） 分子全部相同，最簡單形式為1，不是1提取公因數(shù)（2） 分母均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)首尾相接；（3） 分母上的幾個因數(shù)間的差是一個定值； 分?jǐn)?shù)拆分： = + ==+, m, n是10的約數(shù)就可以；選取m, n的比不同就可以分成不同的兩個分?jǐn)?shù)相加；這里有（1,2）（2,5）（1,10）（1,5）（1,1）階乘：考試考到階乘通常是除法和逆運算乘法，乘法往上5！，想6, 5！6 = 6！