【正文】 割 ],0[ 2uu ? 21 uuu ?]1,[),( 21 uuuuP ?],[),( 21 uuuuP ?? ７ ． Bezier曲線的升階 有時(shí)為了便于 Bezier曲線的修改 ， 需要增加控制頂點(diǎn)提高靈活性 ， 而不要改變原來曲線的形狀 ， 也就是將 n次的 Bezier曲線進(jìn)行升級表達(dá)為 n+1次的 Bezier曲線 ， 即： ? 只需將左邊乘以 然后比較 ? 的系數(shù) ， 即可得到 ?? ???????101,0, )()()(niniininii uBPuBPuP)]1([ uu ??)1( 1uu ini ? ??1, . ..,2,1,0,)11(1 1 ???????? ? niPn iPn iP iii? 幾何意義： ? 1） 新的控制頂點(diǎn)是對老的特征多邊形在參數(shù) 處進(jìn)行線性插值的結(jié)果； ? 2） 升階后的新的特征多邊形在老的特征多邊形的凸包內(nèi)； ? 3） 升階后的新的特征多邊形更逼近 Bezier曲線； )1/( ?ni? 例如對于二次 Bezier曲線： ? 升階后的控制頂點(diǎn)為 ? ????????????????????????PPPuuuP21020010221211)(PPPPPPPPPP232121010031323231??????????9. Bezier曲線的拼接 設(shè)有兩條 Bezier曲線 和 ， 其控制頂點(diǎn)分別為：Ｐ 0,Ｐ 2,? Ｐ n 和 Q0,Q2,? Qm： )(uP )(wQ]1,0[,)()(]1,0[,)()(0,0,????????wwBPwQuuBPuPmjmjjninii? 現(xiàn)考慮兩條曲線的拼接，不同階幾何連續(xù)的條件如下： 1)一階連續(xù)性 根據(jù)端矢量條件： 其連續(xù)條件為 即 ： )()0()()1(011nQPPmP mm?????? ?)0()1( QP ??? ?)( 101 PPnm mm ???? ? ? 1） 二階連續(xù)性 ? 根據(jù)二階導(dǎo)矢量： ? 為滿足連續(xù)性條件： ? 可得： ? )2)(1()0()2)(1()1(01221QnnQPPPmmP mmm???????????? ??)0()1( QP ????? ?)2()1()1()(2 2121022PPPnnmmPPnm mmmmm ??? ?????????????? ? Bezier 曲線的拼接 ? 有理 Bezier曲線 有理 Bezier曲線的定義式為： 與 Bezier曲線相比，除了可以調(diào)節(jié)有理 Bezier曲線的控制頂點(diǎn)外，還可以調(diào)節(jié)其權(quán)因子的大小來改變曲線的形狀；因而具有更強(qiáng)的造型功能； ?????? ??niininiininiiiniPuRuBPuBuP0,0,0,)()()()(??? 其性質(zhì)包括： 1)端點(diǎn)性質(zhì)： 2)端點(diǎn)切矢量 3)凸包性質(zhì) 。 C=Q[0] 。 i=nk。 k=n。i++ ) Q[i]=P[i] 。 nPPP ,. . . , 10u????????? ???rninruuPuPuuP ririri, . . . ,0, . . . ,1)()()1()( 111ii PuP ?)(0 )(0 uP nuDeCasteljau (P,n,u,C) { /* Compute point on a Bezier curve using DeCasteljau algorithm */ /* Input : P,n,u */ /* Output: C (a point) */ for(i=0。 例子： 已知三次 Bezier曲線上的四個(gè)點(diǎn)分別為Q0(120,0),Q1(45,0), Q2(0,45),Q3(0,120),它們對應(yīng)的參數(shù)分別為 0, 1/3, 2/3, 1,反求三次 Bezier曲線的控制頂點(diǎn) 。 iPniu ?)( niC? 6）凸包性 ? 因?yàn)槭嵌噙呅胃黜旤c(diǎn)Ｐ 0,Ｐ 1,? Ｐ n的加權(quán)平均 ， 而權(quán)因子 ， 這反映在幾何圖形上有兩重含義： ? a. Bezier曲線 C(u)位于其控制頂點(diǎn)Ｐ 0,Ｐ 1,? Ｐ n的凸包之內(nèi)； ? b. Bezier曲線 C(u)隨著其控制多邊形的變化而變化； 1)(0 , ?? uB ni凸包 ? 7） 變差縮減性 ? 對于平面 Bezier曲線 C(u)， 平面內(nèi)任意條直線與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于該直線與其控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 。 ? 5） 幾何不變性 ? Bezier曲線的位置和形狀只與特征多邊形的頂點(diǎn)的位置有關(guān) ， 它不依賴坐標(biāo)系的選擇 。 nPCPC ?? )1(,)0( 0????? ??1011,39。 先計(jì)算 t=，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo) P()。 控制多邊形是 C(u)的大致形狀的勾畫； C(u)是對Ｐ 0,Ｐ1,? Ｐ n的逼近 。 例：已知兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)值及其一階導(dǎo)數(shù)，求其 Hermite三次曲線方程。(0) Rk+1 = p 180。(0)= Rk p 180。 調(diào)和函數(shù) : F1(t) = 2t33t2+1 F2(t) = 2t3+3t2 F3(t) = t32t2+t F4(t) = t3t2 參數(shù)三次（ pc） 樣條曲線幾何形式可以表示為： p(u)=(2u33u2+1) p0+ (2u3+3u2) p1+ (u32u2+u) p’0+ (u3u2) p’1 簡化： p(u)=F1 (u) p0+ F2 (u) p1+ F3 (u) p’0+ F4 (u) p’1 表示該曲線：兩點(diǎn)的 坐標(biāo) 及其 一階導(dǎo)數(shù) +調(diào)和函數(shù) ， u的取值范圍： [0， 1] 通常，用基函數(shù)和控制點(diǎn)信息來決定一條該曲線 三次 Hermite樣條曲線 （插值方法） 上例產(chǎn)生的是： 三次 Hermite（法國數(shù)學(xué)家命名）樣條曲線： 幾何意義： 由兩個(gè)端點(diǎn)（ Pk 、 Pk+1）和端點(diǎn)切矢（ Rk 、Rk+1 ） 來定義。 （ 式二） 將式二代入式一，解得： D = C= B= A= 將 A、 B、 C、 D分別代入式一中 ,整理得 : p(t)=( ？ ) p0+ ( ？ ) p1+ ( ？ ) p’0+ ( ？ ) p’1 (t ?[0， 1] ) 三次樣條曲線推導(dǎo) ? 簡化為： p(t)=At3+Bt2+Ct+D （ 式一） p’(t)= （ 寫出 ） p0= , p1= , p’0= , p’1 = 。 ? 曲線的參數(shù)空間： – 笛卡兒坐標(biāo) x,y,z定義的三維空間，其參數(shù)空間為 (x,t)、 (y,t)、 (z,t)， 能把任意一條參數(shù)曲線分解成參數(shù)空間的三個(gè)分量。 樣條的插值 ? 樣條的插值 ? 一般：進(jìn)行分段插值（三次曲線，不高不低） – n+1個(gè)控制點(diǎn)將線段分 n段，每段有 4個(gè)待定系數(shù)。 得出結(jié)論： C1連續(xù) ， 則 G1連續(xù) ， 反之不然 – G2連續(xù) （ 二階幾何連續(xù) ） —— 兩相鄰曲線段的連接點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)均成比例 （ 此時(shí) ， 兩曲線段在交點(diǎn)出的曲率相等 ） 。 曲線段間的連續(xù)性定義 ? 幾何連續(xù)性 : – G0連續(xù) （ 0階幾何連續(xù) ） ——與 C0連續(xù)相同 。 – C1連續(xù) （ 一階參數(shù)連續(xù) ） ——連接點(diǎn)處 一階導(dǎo)數(shù) 相同 。 直線上的插值點(diǎn)可以下兩式表示 變換為： 6)易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化計(jì)算； ]1,0[?t]1,0[?t],[ bau ?)()( abaut ???babauaabubuxtbattx?????????)()1()( ? 多條曲線首尾相連形成一條曲線，要求：連接處 具有合乎要求的連續(xù)性 。 ? 空間一點(diǎn)的位置矢量有三個(gè)坐標(biāo)分量 ， 而空間曲線是空間動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡 ， 也就是空間矢量端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的矢端曲線 ， 其矢量方程為： )](),(),([)( uzuyuxuCC ??? 曲線曲面表示方法： – 非參數(shù)形式 ? f(x,y,z)=0 – 參數(shù)形式 ? p(t)=(x(t),y(t),z(t)) ? 規(guī)范化區(qū)間： 若 t的區(qū)間 [a,b]? t’=(ta)/(ba)?[0,1] 參數(shù)化表示的優(yōu)點(diǎn) – 點(diǎn)動(dòng)成線（ t可看為時(shí)間，曲線成為隨時(shí)間而動(dòng)的軌跡） – 幾何不變性 – 可以表示無窮大斜率 – 用規(guī)格化參數(shù)變量 –…… 此式也稱為單參數(shù)的矢函數(shù)。其連接必須是光滑的。 ? 統(tǒng)一性的高要求是，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式既能表示自由型曲線曲面，也能表示初等解析曲線曲面，建立統(tǒng)一數(shù)據(jù)庫，便于形狀信息的傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換。 幾何不變性 易于定界 ? 工程中，曲線曲面的形狀總是有界的，形狀的數(shù)學(xué)描述應(yīng)該易于定界。（傳統(tǒng)上采用：模線樣板法是按模擬量傳遞，不能保證形狀定義的惟一性） 幾何不變性 ? 當(dāng)用有限的信息決定圖形時(shí)，如 4點(diǎn)決定一條 3次曲線，當(dāng)這些點(diǎn)的相對位置固定后，形狀也就固定的，不應(yīng)該隨坐標(biāo)系更改而改變。 P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 ? 1963年， 波音，將曲線曲面表示為參數(shù)的矢函數(shù)方法（參數(shù)三次曲線） ? 1964， Coons曲面 ? 1964， 樣條函數(shù) ? 1971， Bezier控制多邊形定義曲線 （法，雷諾汽車 ） ? 1972， De Boor， B樣條標(biāo)準(zhǔn)算法 ? 80年代， 非有理 B樣條（ NURBS） ? 在計(jì)算機(jī)內(nèi)表示曲線曲面，其形狀的數(shù)學(xué)描述應(yīng)保留產(chǎn)品的形狀的盡可能多的性質(zhì)。 ? 擬合：是指在曲線曲面的設(shè)計(jì)過程中 ， 用插值或逼近的方法使生成的曲線曲面達(dá)到某些設(shè)計(jì)要求 。 插值設(shè)計(jì)方法要求建立的曲線曲面數(shù)學(xué)模型 ， 嚴(yán)格通過已知的每一個(gè)型值點(diǎn) 。 ? 控制點(diǎn) ——指用來 控制或調(diào)整曲線曲面形狀的特殊點(diǎn) ， 曲線曲面本身不一定通過控制點(diǎn) 。曲線上點(diǎn)的數(shù)量取多少，直線段取多長，取決于繪制曲線的精度要求和圖形輸出設(shè)備的精度。 曲線的表示方法 ： 1. 直角坐標(biāo)曲線 顯式 y = f(x) 隱式 f(x,y) = 0 2. 極 坐標(biāo)曲線 Ｐ =ρ(θ) 3. 參數(shù)坐標(biāo)曲線 x = x(t)。 不規(guī)則曲線 ——不能確切給出描述整個(gè)曲線的方程，而是由從實(shí)際測量中得到的一系列離散數(shù)據(jù)點(diǎn)采用曲線擬合的方法來逼近的。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 第 7章 曲線和曲面 本章主要內(nèi)容 – 曲線曲面基礎(chǔ) ? 數(shù)學(xué)描述的發(fā)展，表示要求 ? 參數(shù)化表示的優(yōu)點(diǎn) ? 插值與擬合 ? 連續(xù)性條件 – 三次樣條曲線 – Bezier曲線 – B樣條曲線 – NURBS曲線 我們需要曲線曲面 ? Geri Geri’s model Geri’s game 3D藝術(shù)的神話 PIXAR經(jīng)典動(dòng)畫短片回顧 第 7章 曲線和曲面 ? 背景 離散點(diǎn)近似決定曲線曲面。 – 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（ CAGD， Computer Aided Geometric Design） – 曲線曲面基礎(chǔ)