【正文】 ? 權因子重確定 ? 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質 ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲面有理分式表示 ? 控制頂點 Pi,j(i=0,1,… ,m。因此 ， 就可選取比原來所需要的那部分曲線更長些 。 ? 重復這一過程 ， 直到定義區(qū)間內包括兩端節(jié)點在內的節(jié)點數目等于 k+2為止 。 ? ② 所拾取曲線部分所在定義區(qū)間由插入單個節(jié)點進行細分 。 ? 但插入節(jié)點后 ， 新控制頂點隨后被移動 ， 可能導致曲線參數的幾何的不連續(xù) 。 ? 這時需要同時改變兩個權因子 ωi和 ωi+1使之改變?yōu)棣豬*和 ωi+1*來達到 。 ? 這可由重新確定相應的權因子 ωi使之改變?yōu)?ωi*來達到： ωi* =ωi {1+[s/(Ri,k(u)(|pPi|s))]}； ? s取有向距離：若 p*在 p和 Pi之間 ， 即曲線被拉向頂點 Pi， 則 s為正；反之 s為負 。 11???????☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ? 控制頂點定位 ? 反插節(jié)點 ? 權因子重確定 ? 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質 ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 重新確定權因子 ? 權因子對 NURBS曲線的影響是： ? 當保持控制頂點與其它權因子不變 ， 減少或增加權因子時 ， 起到把曲線推離和拉向相應頂點的作用 。39。 但卻為重新定位控制頂點及改變權因子以修改曲線的形狀擴大了應用范圍 。 ? 當插入新節(jié)點時 ， 將有 k1個老控制頂點被包括 p’在內的k個新控制頂點所替代； ? 若含有重節(jié)點 ， 則生成新頂點與被替代的老頂點都相應地減少 。 這就是所謂 反插節(jié)點 ?！?NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ? 控制頂點定位 ? 反插節(jié)點 ? 權因子重確定 ? 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質 ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 反插節(jié)點 ? 已給一條 k次 NURBS曲線 。0,39。 ? ? ? ? ? ?? ?? ? cPPuRcppsuRcPuRPpikinjikjjkii??????????? ???39。 ? 最大影響頂點對應于 p點參數 u處的一組有理基函數中取最大值的那個基函數 。u所在節(jié)點區(qū)間 u∈ [uj,uj+1]也就確定 ， 曲線上該點至多與k+1個控制頂點 Pjk,Pjk+1,… ,Pj有關 。 若指定該曲線 參數為 u的點 p、 一個方向矢量 c和 一個距離 s， 那么 ， 控制頂點 Pi移到新位置 P’i使曲線上點 p沿 c移動距離 s到新位置 p’： ? 待移動控制頂點的選擇必須適當 ， 否則將事與愿違 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ? 控制頂點定位 ? 反插節(jié)點 ? 權因子重確定 ? 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質 ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 重新定位控制頂點 ? 最簡單的形狀修改方法是移動控制頂點 。zier曲線 、 非有理和有理 B樣條曲線在更高層次上組合 。 ? 這些算法都應對高一維的帶權控制頂點執(zhí)行 ，然后 ， 取其在 ω=1超平面上的投影即為所求 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ? 交比的定義 ? 形狀因子意義 ? 形狀因子 /交比 ? NURBS權因子 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質 ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲線形狀修改 ? 像非有理 B樣條曲線那樣 ， NURBS曲線也可按所取節(jié)點向量劃分成四種類型 。 ? ωi→+∞ 時 ， p趨近與控制頂點 Pi重合 。 ? 形狀因子對曲線形狀的影響 – 若 固定所有控制頂點 及 除 ωi外所有其它權因子不變： ? 當 ωi變化時 ， p點隨之移動 ， 它在空間掃描出一條過控制頂點 Pi的一條直線 。 ? 這四個點中前三個點是特定點 。 P2P3P1P0P3P3mnp(( ωω i→→ + ∞∞ ))(( ωω i = 0)0)(( ωω i = 1)1)(( ωω i ≠≠ 0,1)0,1)ωω →→ ∞∞ωωωωωω ≠≠☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ? 交比的定義 ? 形狀因子意義 ? 形狀因子 /交比 ? NURBS權因子 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質 ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲線的形狀因子 ? 形狀因子的幾何意義 – 權因子 ωi等于 過控制頂點 Pi的一條直線上 分別具 有權因子ωi=+∞,0,1和 ωi≠0,1的四個點 Pi,m,n,p的交比 。 ? 可以證明： p點和 n點分直線段之比就是形狀因子 。ωi=1)； ? 當 ωi≠0,1時 ， 相應有點： p=P(u。ωi=0)=0；這時控制頂點對曲線不起作用 ，對應得到點： m=P(u。ωi→+∞)= 1， 故該直線通過控制頂點： Pi=P(u。 ? 這表明： 這一簇 NURBS曲線上參數 u值相同的點都位于同一直線上 。 – 給定一個 ωi便可得到一條曲線； ? 如果使 ωi在某個范圍內變化 ， 則得到一簇曲線 。 – 所有這樣的直線都與投影有關 。 ? 共線四點的交比 僅與 在投影中心的角度 有關 。 – ad及所分四線段都應理解為有向線段 → 所取長度為代數長 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質 ? 基函數表示 ? 基函數性質 ? 基函數性質 ? 齊次坐標表示 ? 齊次坐標表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質 ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 ? 用帶權控制點 Di(i=0,1,… ,n)定義一條三維的 k次 NURBS非有理 B樣條曲線： ? 將它投影到 ω=1平面上 ， 所得透視像即 xy平面上一條 k次 NURBS曲線： NURBS曲線齊次坐標表示 ? 對平面內給定控制頂點 Pi=[xi yi](i=0,1,… ,n)及相聯(lián)系的權因子 ωi (i=0,1,… ,n)， 按下列步驟定義 k次 NURBS曲線： ? 確定所給控制頂點 Pi(i=0,1,… ,n)的帶權控制點： Di=[ωiPi ωi]=[ωixi ωiyi ωi](i=0,1,… ,n) ? ? ? ????nikii uBDup0,? ?? ?? ??????nikiinikiiiuBuBpuP0,0,??ω=1 X Y D 2 D 3 D 1 D 0 P 2 P 3 P 1 P 0 X Y ω ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質 ? 基函數表示 ? 基函數