【正文】 ? 權(quán)因子重確定 ? 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲面有理分式表示 ? 控制頂點 Pi,j(i=0,1,… ,m。因此 ， 就可選取比原來所需要的那部分曲線更長些 。 ? 重復(fù)這一過程 ， 直到定義區(qū)間內(nèi)包括兩端節(jié)點在內(nèi)的節(jié)點數(shù)目等于 k+2為止 。 ? ② 所拾取曲線部分所在定義區(qū)間由插入單個節(jié)點進行細分 。 ? 但插入節(jié)點后 ， 新控制頂點隨后被移動 ， 可能導(dǎo)致曲線參數(shù)的幾何的不連續(xù) 。 ? 這時需要同時改變兩個權(quán)因子 ωi和 ωi+1使之改變?yōu)棣豬*和 ωi+1*來達到 。 ? 這可由重新確定相應(yīng)的權(quán)因子 ωi使之改變?yōu)?ωi*來達到： ωi* =ωi {1+[s/(Ri,k(u)(|pPi|s))]}； ? s取有向距離：若 p*在 p和 Pi之間 ， 即曲線被拉向頂點 Pi， 則 s為正；反之 s為負 。 11???????☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ? 控制頂點定位 ? 反插節(jié)點 ? 權(quán)因子重確定 ? 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 重新確定權(quán)因子 ? 權(quán)因子對 NURBS曲線的影響是： ? 當保持控制頂點與其它權(quán)因子不變 ， 減少或增加權(quán)因子時 ， 起到把曲線推離和拉向相應(yīng)頂點的作用 。39。 但卻為重新定位控制頂點及改變權(quán)因子以修改曲線的形狀擴大了應(yīng)用范圍 。 ? 當插入新節(jié)點時 ， 將有 k1個老控制頂點被包括 p’在內(nèi)的k個新控制頂點所替代； ? 若含有重節(jié)點 ， 則生成新頂點與被替代的老頂點都相應(yīng)地減少 。 這就是所謂 反插節(jié)點 。☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ? 控制頂點定位 ? 反插節(jié)點 ? 權(quán)因子重確定 ? 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 反插節(jié)點 ? 已給一條 k次 NURBS曲線 。0,39。 ? ? ? ? ? ?? ?? ? cPPuRcppsuRcPuRPpikinjikjjkii??????????? ???39。 ? 最大影響頂點對應(yīng)于 p點參數(shù) u處的一組有理基函數(shù)中取最大值的那個基函數(shù) 。u所在節(jié)點區(qū)間 u∈ [uj,uj+1]也就確定 ， 曲線上該點至多與k+1個控制頂點 Pjk,Pjk+1,… ,Pj有關(guān) 。 若指定該曲線 參數(shù)為 u的點 p、 一個方向矢量 c和 一個距離 s， 那么 ， 控制頂點 Pi移到新位置 P’i使曲線上點 p沿 c移動距離 s到新位置 p’： ? 待移動控制頂點的選擇必須適當 ， 否則將事與愿違 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ? 控制頂點定位 ? 反插節(jié)點 ? 權(quán)因子重確定 ? 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 重新定位控制頂點 ? 最簡單的形狀修改方法是移動控制頂點 。zier曲線 、 非有理和有理 B樣條曲線在更高層次上組合 。 ? 這些算法都應(yīng)對高一維的帶權(quán)控制頂點執(zhí)行 ，然后 ， 取其在 ω=1超平面上的投影即為所求 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ? 交比的定義 ? 形狀因子意義 ? 形狀因子 /交比 ? NURBS權(quán)因子 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲線形狀修改 ? 像非有理 B樣條曲線那樣 ， NURBS曲線也可按所取節(jié)點向量劃分成四種類型 。 ? ωi→+∞ 時 ， p趨近與控制頂點 Pi重合 。 ? 形狀因子對曲線形狀的影響 – 若 固定所有控制頂點 及 除 ωi外所有其它權(quán)因子不變： ? 當 ωi變化時 ， p點隨之移動 ， 它在空間掃描出一條過控制頂點 Pi的一條直線 。 ? 這四個點中前三個點是特定點 。 P2P3P1P0P3P3mnp(( ωω i→→ + ∞∞ ))(( ωω i = 0)0)(( ωω i = 1)1)(( ωω i ≠≠ 0,1)0,1)ωω →→ ∞∞ωωωωωω ≠≠☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ? 交比的定義 ? 形狀因子意義 ? 形狀因子 /交比 ? NURBS權(quán)因子 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲線的形狀因子 ? 形狀因子的幾何意義 – 權(quán)因子 ωi等于 過控制頂點 Pi的一條直線上 分別具 有權(quán)因子ωi=+∞,0,1和 ωi≠0,1的四個點 Pi,m,n,p的交比 。 ? 可以證明： p點和 n點分直線段之比就是形狀因子 。ωi=1)； ? 當 ωi≠0,1時 ， 相應(yīng)有點： p=P(u。ωi=0)=0；這時控制頂點對曲線不起作用 ，對應(yīng)得到點： m=P(u。ωi→+∞)= 1， 故該直線通過控制頂點： Pi=P(u。 ? 這表明： 這一簇 NURBS曲線上參數(shù) u值相同的點都位于同一直線上 。 – 給定一個 ωi便可得到一條曲線； ? 如果使 ωi在某個范圍內(nèi)變化 ， 則得到一簇曲線 。 – 所有這樣的直線都與投影有關(guān) 。 ? 共線四點的交比 僅與 在投影中心的角度 有關(guān) 。 – ad及所分四線段都應(yīng)理解為有向線段 → 所取長度為代數(shù)長 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質(zhì) ? 基函數(shù)表示 ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 齊次坐標表示 ? 齊次坐標表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 ? 用帶權(quán)控制點 Di(i=0,1,… ,n)定義一條三維的 k次 NURBS非有理 B樣條曲線： ? 將它投影到 ω=1平面上 ， 所得透視像即 xy平面上一條 k次 NURBS曲線： NURBS曲線齊次坐標表示 ? 對平面內(nèi)給定控制頂點 Pi=[xi yi](i=0,1,… ,n)及相聯(lián)系的權(quán)因子 ωi (i=0,1,… ,n)， 按下列步驟定義 k次 NURBS曲線： ? 確定所給控制頂點 Pi(i=0,1,… ,n)的帶權(quán)控制點： Di=[ωiPi ωi]=[ωixi ωiyi ωi](i=0,1,… ,n) ? ? ? ????nikii uBDup0,? ?? ?? ??????nikiinikiiiuBuBpuP0,0,??ω=1 X Y D 2 D 3 D 1 D 0 P 2 P 3 P 1 P 0 X Y ω ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質(zhì) ? 基函數(shù)表示 ? 基函數(shù)