【正文】 ? 形狀因子意義 ? 形狀因子 /交比 ? NURBS權(quán)因子 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 形狀因子的幾何意義 ? 權(quán)因子 ωi僅影響定義在區(qū)間 [ui,ui+k+1]上那部分曲線的形狀 ， 對(duì)其它部分不發(fā)生影響 → 僅需考察整條曲線中的這部分 。 – 如果固定曲線的參數(shù) u， 而使 ωi變化 ， 則 NURBS曲線方程變成為以 ωi為參數(shù)的直線方程 。 P 2 P 3 P 1 P 0 P 3 P 3 權(quán)因子 ωi的幾何意義 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ? 交比的定義 ? 形狀因子意義 ? 形狀因子 /交比 ? NURBS權(quán)因子 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 形狀因子與交比 ? 把曲線與有理基函數(shù)的記號(hào)用包含權(quán)因子為變量的記號(hào)代替： ? 當(dāng) ωi→+∞ 時(shí) ,Ri,k(u。ωi→+∞) ； ? 當(dāng) ωi=0時(shí) ， Ri,k(u。ωi=0)； ? 當(dāng) ωi=1時(shí) ， 對(duì)應(yīng)得到點(diǎn)： n=P(u。ωi≠0,1)。 (Pin/nm)/(Pip/pm)=ωi 即：參數(shù)值相同的直線上四點(diǎn) Pi、 p、 n、 m的交比 。 ? 該直線是僅改變權(quán)因子 ωi所得一簇 NURBS曲線上具有某個(gè)相同參數(shù) u的點(diǎn)集合 。 ? 如果改變參數(shù)將得到另一條過控制頂點(diǎn) Pi的直線 。 – 權(quán)因子 ωi的減小和增加起到了對(duì)曲線形狀相對(duì)于頂點(diǎn) Pi的推拉作用 。 ? ωi增加 ， 則曲線在受影響范圍內(nèi)被 拉向 控制頂點(diǎn) Pi； ? ωi減小 ， 則曲線在受影響范圍內(nèi)被 推離 控制頂點(diǎn) Pi。 ? 非有理 B樣條曲線的 DeBoor算法求曲線上的點(diǎn) 、 插入節(jié)點(diǎn) 、 升階等都可以推廣到 NURBS曲線 。 ? 采用 NURBS方法可以將順序相連的各種連續(xù)性的各種非有理與有理 B233。 ? 采用類似非有理 B樣條的組合方法 ， 組合在一起 ，用一個(gè)統(tǒng)一方程表示 ， 成為最具一般意義的 NURBS曲線 。 ? 設(shè)已給一條 k次 NURBS曲線 。 ? 當(dāng)指定曲線上一點(diǎn) p， 該點(diǎn)的參數(shù) u可能已知或由反算得到 。 因此 ， 所選頂點(diǎn)應(yīng)是這 k+1個(gè)頂點(diǎn)之一 、 且應(yīng)考慮取 這 k+1個(gè)頂點(diǎn) 中 對(duì)曲線上 p點(diǎn)影響最大的頂點(diǎn) 或 某個(gè)合適的頂點(diǎn) 。 ? 實(shí)踐中常以曲線的分段點(diǎn)為曲線上要移動(dòng)的點(diǎn) 。,39。 現(xiàn)欲在該多邊形的 PiPi+1邊上任意選取一點(diǎn) p’， 要求插入一個(gè)新節(jié)點(diǎn) u’以使所選取的點(diǎn) p’成為一個(gè)新控制頂點(diǎn) 。 ? p’點(diǎn)可按有理線性插值表示出： ? 所以有： u’=ui+1+s(ui+k+1ui+1) 這就是為使 p’點(diǎn)成為新控制頂點(diǎn)而 要插入的新節(jié)點(diǎn) 。 ? 反插節(jié)點(diǎn)并沒有改變曲線的形狀 。 ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?iiiiiii iiiiii PPPpPpsssPsPsp???????????????1139。11139。 ? 若已給一條 k次 NURBS曲線上參數(shù)為 u的一點(diǎn) p， 欲將曲線在該點(diǎn)拉向或推離控制頂點(diǎn) Pi一個(gè)距離 s以得到一個(gè)新點(diǎn) p*。 ? 在多數(shù)情況下 ， 想要曲線在 p點(diǎn)同時(shí)拉向或推離順序兩相鄰頂點(diǎn) Pi和 Pi+1以得到新點(diǎn) p*。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ? 控制頂點(diǎn)定位 ? 反插節(jié)點(diǎn) ? 權(quán)因子重確定 ? 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 修改界定曲線部分 ? ① 在部分定義區(qū)間兩端設(shè)置重節(jié)點(diǎn) ， 由插入重節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn) 。 這樣的曲線在曲面構(gòu)造時(shí) ， 將引起曲面的不光滑 。 ? 首先 ， 判別區(qū)間兩端點(diǎn)參數(shù)值是否是現(xiàn)有節(jié)點(diǎn)；若否 ， 則把它們擦插入節(jié)點(diǎn)矢量； ? 然后 ， 逐次找出區(qū)間內(nèi)的最長節(jié)點(diǎn)區(qū)間 ， 取中點(diǎn)參數(shù)值 ，插入節(jié)點(diǎn)矢量 。 ? 優(yōu)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)矢量被細(xì)化后 ， 相應(yīng)部分控制多邊形更靠近曲線 ， 且曲線在所選取兩端點(diǎn)鄰近將不會(huì)改變太多 。 ? 缺點(diǎn)：新控制多邊形與曲線靠得太近 ， 凸包變小 ， 在控制多邊形與曲線之間的有效空間也將更小 ， 這限制可能的拉操作范圍 。 j=0,1,… ,n)呈拓?fù)渚匦侮嚵?， 形成一個(gè)控制網(wǎng)格 。 ? Bi,k(u)(i=0,1,… ,m)和 Bj,l(v)(j=0,1,… ,n)分別為 u向 k次和 v向 l次 、分別由節(jié)點(diǎn)向量 U={u0,u1,u2,… ,um+k+1)和 Ｖ ={v0,v1,v2,… ,vn+l+1)按遞推公式?jīng)Q定的規(guī)范 B樣條基函數(shù) 。 ? 由此可以看出：它不是兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積 ， 所以 ，一般地 ， 一張 NURBS曲面不是一張量積曲面 。 ? 帶權(quán)控制頂點(diǎn)在高一維空間里定義了一張量積的非有理 B樣條曲面 P(u,v)。 ? P(u,v) 在 ω=1 超 平 面 的 投 影 ( 或稱透視像 )H{P(u,v)}便定義了一張 NURBS曲面 。 ? 由上述等價(jià)方程表示的 NURBS曲面 ， 通常在確定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)矢量 U和 V時(shí) ， 就使其有規(guī)范的單位正方形定義域0≤u,v≤1。 ? NURBS曲面是一種特殊形式的分片有理參數(shù)多項(xiàng)式曲面 ， 其中每一子曲面片定義在單位正方域中某個(gè)具有非零面積的子矩形域上 。 ? 在重復(fù)度為 r的 u節(jié)點(diǎn)處沿 u向是 kr次連續(xù)可微的； ? 在重復(fù)度為 r的 v節(jié)點(diǎn)處沿 v向是 lr次連續(xù)可微的 。 ? 有理雙變量基函數(shù) Ri,k,j,l(u,v)是雙變量 B樣條基函數(shù)的推廣 ， 即：當(dāng)所有 ωi,j=1時(shí) , Ri,k,j,l(u,v)= Bi,k(u)Bj,l(v)。zier曲面及非有理 B樣條曲面的合適推廣 。 ? 類似 NURBS曲線的情況 ， 權(quán)因子 ωi,j是附加的形狀參數(shù)：它們對(duì)曲面的局部推拉作用可以精確地定量確定 。 ? 對(duì)于開曲面 ， 甚至于閉曲面 ， 每個(gè)節(jié)點(diǎn)矢量的兩端節(jié)點(diǎn)通常都取成重節(jié)點(diǎn) ， 重復(fù)度等于該方向參數(shù)次數(shù)加 1。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 曲面一般性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲面權(quán)因子 ? 曲面權(quán)因子 ωi,j至多影響到子區(qū)域 uiuui+k+1， vivvj+l+1上的那部分曲面 。ωi,j=0)； ? n=P(u,v。ωi,j≠0,1)。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 三次參數(shù)曲線性質(zhì)比較 ? 三次 Hermite曲線 、 B233。 – 連續(xù)性指的是通常情況下容易獲得的連續(xù)階數(shù) ， 對(duì)于三次 B233。 Hermite曲線 B233。zier曲線 、 B樣條曲線都是多項(xiàng)式曲線 ，它們不過是曲線不同的表示形式 。 ? 三次 Hermite曲線可用矩陣表示為： P(u)=GHU； 三次 B233。MBEZMB ? 從 Hermite形式轉(zhuǎn)換為另外兩種形式： GHMBEZ = GBEZ=GHM1BEZ； GHMB = GBi=GHM1B。zier形式轉(zhuǎn)換為另外兩種形式： GBEZMH = GH=GBEZM1H； GBEZMB = GBi=GBEZM1B。MB=GHMB GBiMBEZ = GBez=GBiM1BEZ