曲線積分和曲面積分的計(jì)算-閱讀頁(yè)
2025-07-10 15:26本頁(yè)面
【正文】 有向曲面以任何方法分割為小塊。如果取的是上側(cè)，這時(shí)所有算作正的。設(shè)有界函數(shù)定義在上，在每一小塊任取一點(diǎn)，作和式 其中表示的面積。設(shè)為的致敬，記。注：有時(shí)也會(huì)碰到幾個(gè)積分連在一起的情形，例如：。三 兩類曲面積分的聯(lián)系及第二類曲面積分的計(jì)算 第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系設(shè)為曲面的指定法向, 則 . 定理1 設(shè)是定義在光滑曲面D上的連續(xù)函數(shù), 以的上側(cè)為正側(cè)(即), 則有 .類似地, 對(duì)光滑曲面D, 在其前側(cè)上的積分 .對(duì)光滑曲面 D, 在其右側(cè)上的積分 .計(jì)算積分時(shí), 通常分開來計(jì)算三個(gè)積分 , , .為此,分別把曲面投影到Y(jié)Z平面, . 推論 設(shè),是定義在光滑曲面D上的連續(xù)函數(shù),則 =曲面的方向?yàn)樯蟼?cè), 則等式前取“＋”號(hào)。 例：計(jì)算積分，為球面取外側(cè). 解： 對(duì)積分, 分別用和記前半球面和后半球面的外側(cè), 則有 : 。 : .因此, + . 對(duì)積分, 分別用和記上半球面和下半球面的外側(cè), 則有 :
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