【正文】 且流體在這閉區(qū)域上各點處的流速為(常向量)v, 又設(shè)n為該平面的單位法向量, 那么在單位時間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一個底面積為A、斜高為|v|的斜柱體. 當(dāng)(v,^n)時, 這斜柱體的體積為 A|v|cosq=A vn. 當(dāng)(v,^n)時, 顯然流體通過閉區(qū)域A的流向n所指一側(cè)的流量F為零, 而Avn=0, 故F=Avn。(DSi)yz , cosbiDSi187。(DSi)xy ,因此上式可以寫成 。0取上述和的極限, 就得到流量F的精確值. 這樣的極限還會在其它問題中遇到. 抽去它們的具體意義, 就得出下列對坐標(biāo)的曲面積分的概念. 提示: 把DSi看成是一小塊平面, 其法線向量為ni, 則通過DSi流向指定側(cè)的流量近似地等于一個斜柱體的體積. 此斜柱體的斜高為|vi|, 高為|vi|cos(vi,^ni)=vini, 體積為viniDSi .因為 ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k, vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k, viniDSi=[P(xi, hi, zi)cosai+Q(xi, hi, zi)cosbi+R(xi, hi, zi)cosgi]DSi , 而 cosaiDSi187。(DSi)zx , cosgiDSi187。P(xi, hi, zi)(DSi)yz+Q(xi, hi, zi)(DSi)zx+R(xi, hi, zi)(DSi)xy . 對于S上的一個小塊s, 顯然在Dt時間內(nèi)流過s的是一個彎曲的柱體. 它的體積近似于以s為底, 而高為 (|V|Dt)cos(V,^n)=Vn Dt的柱體的體積: VnDtDS, 這里n=(cosa, cosb, cosg)是s上的單位法向量, DS表示s的面積. 所以單位時間內(nèi)流向s 指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于 VnDS187。 , n), 單位時間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于 m. 按對面積的曲面積分的定義, . 舍去流體這個具體的物理內(nèi)容, 我們就抽象出如下對坐標(biāo)的曲面積分的概念. 定義 設(shè)S為光滑的有向曲面, 函數(shù)R(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n塊小曲面DSi(DSi同時也代表第i小塊曲面的面積). 在xOy面上的投影為(DSi)xy, (xi, hi, zi )是DSi上任意取定的一點. 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l174。 當(dāng)S取下側(cè)時, 積分前取“”. 這是因為, 按對坐標(biāo)的曲面積分的定義, 有 =. 當(dāng)S取上側(cè)時, cos g0, 所以(DSi)xy =(Dsi)xy.又因(xi, hi, zi)是S上的一點, 故zi=z(xi, hi). 從而有 . 令l174。S時, zi=z(xi, hi). 從而有 . 同理當(dāng)S取下側(cè)時, 有 . 這是因為n=(cosa, cosb , cosg), , , . 類似地, 如果S由x=x(y, z)給出, 則有 . 如果S由y=y(z, x)給出, 則有 . 應(yīng)注意的問題: 應(yīng)注意符號的確定. 例1. 計算曲面積分 , 其中S是長方體W的整個表面的外側(cè), W=((x, y, z) |0163。a, 0163。b, 0163。c ). 解: 把W的上下面分別記為S1和S2。 左右面分別記為S5和S6. S1: z=c (0163。a, 0163。b)的上側(cè)。x163。y163。 S3: x=a (0163。b, 0163。c)的前側(cè)。y163。z163。 S5: y=0 (0163。a, 0163。c)的左側(cè). S6: y=b (0163。a, 0163。c)的右側(cè)。0, y179。0, y179。0, y179。1(x179。0). 于是 . 三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 設(shè)積分曲面S由方程z=z(x, y)給出的, S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy , 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)R(x, y, z)在S上連續(xù). 如果S取上側(cè), 則有. 另一方面, 因上述有向曲面S的法向量的方向余弦為 , , , 故由對面積的曲面積分計算公式有 . 由此可見, 有 . 如果S取下側(cè), 則有 . 但這時, 因此仍有 , 類似地可推得 , . 綜合起來有 , 其中cos a、cos b、cos g是有向曲面S上點(x, y, z)處的法向量的方向余弦. 兩類曲面積分之間的聯(lián)系也可寫成如下向量的形式: , 或, 其中A=(P, Q, R), n=(cos a, cos b, cos g)是有向曲面S上點(x, y, z)處的單位法向量, dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy), 稱為有向曲面元, An為向量A在向量n上的投影. 例3 計算曲面積分, 其中S是曲面介于平面z=0及z=2之間的部分的下側(cè). 解 由兩類曲面積分之間的關(guān)系, 可得 . 在曲面S上, (提示: 曲面上向下的法向量為(x, y, 1) ) , , . 故 =8p. 解: 由兩類曲面積分之間的關(guān)系, 可得 =8p. 提示: . 167。 S3取外側(cè). 根據(jù)三重積分的計算法, 有 . 另一方面, 有 , , , 以上三式相加, 得 . 所以 . 類似地有 , , 把以上三式兩端分別相加, 即得高斯公式. 例1 利用高斯公式計算曲面積分, 其中S為柱面x2+y2=1及平面z=0, z=3所圍成的空間閉區(qū)域W的整個邊界曲面的外側(cè). 解 這里P=(yz)x, Q=0, R=xy, , , . 由高斯公式, 有 . 例2 計算曲面積分, 其中S為錐面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h (h0)之間的部分的下側(cè), cosa、cosb、cosg是S上點(x, y, z)處的法向量的方向余弦. 解 設(shè)S1為z=h(x2+y2163。10. 7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 一、斯托克斯公式 定理1 設(shè)G為分段光滑的空間有向閉曲線, S是以G為邊界的分片光滑的有向曲面, G的正向與S 的側(cè)符合右手規(guī)則, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在曲面S(連同邊界)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 . 記憶方式: ,或 , 其中n=(cosa , cosb , cosg)為有向曲面S的單位法向量. 討論: 如果S是xOy面上的一塊平面閉區(qū)域, 斯托克斯公式將變成什么? 例1 利用斯托克斯公式計算曲線積分, 其中G為平面x+y+z=1被三個坐標(biāo)面所截成的三角形的整個邊界, 它的正向與這個三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則. 解 按斯托克斯公式, 有 . 由于S的法向量的三個方向余弦都為正, 又由于對稱性, 上式右端等于, 其中Dxy為xOy 面上由直線x+y=1及兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形閉區(qū)域, 因此 . 解 設(shè)S為閉曲線G所圍成的三角形平面, S在yOz面、zOx面和xOy面上的投影區(qū)域分別為Dyz、Dzx和Dxy , 按斯托克斯公式, 有 . 例2 利用斯托克斯公式計算曲線積分 , 其中G是用平面截立方體: 0163。1, 0163。1, 0163。1的表面所得的截痕, 若從x軸的正向看去取逆時針方向. 解 取S為平面的上側(cè)被G所圍成的部分, S的單位法向量, 即. 按斯托克斯公式, 有 . , 其中Dxy為S在xOy平面上的投影區(qū)域, 于是 . 提示 : . . . 二、環(huán)流量與旋度 旋度: 向量場A=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))所確定的向量場 稱為向量場A的旋度, 記為rotA, 即 . 旋度的記憶法: . 斯托克斯公式的另一形式: , 或 其中n是曲面S上點(x, y, z)處的單位法向量, t是S的正向邊界曲線G上點(x, y, z)處的單位切向量. 沿有向閉曲線G的曲線積分 叫做向量場A沿有向閉曲線G的環(huán)流量. 上述斯托克斯公式可敘述為: 向量場A沿有向閉曲線G 的環(huán)流量等于向量場A的旋度場通過G所張的曲面S的通量. 內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研