【正文】 2+y2+z2=1 得 x2+2y22y=0. 這就是交線C關于xOy面的投影柱面方程. 兩球面的交線C在xOy面上的投影方程為 . 例5 求由上半球面和錐面所圍成立體在xOy面上的投影. 解 由方程和消去z 得到x2+y2=1. 這是一個母線平行于z軸的圓柱面, 容易看出, 這恰好是半球面與錐面的交線C關于xOy面的投影柱面, 因此交線C在xOy面上的投影曲線為 . 這是xOy面上的一個圓, 于是所求立體在xOy面上的投影, 就是該圓在xOy面上所圍的部分:x2+y2163。7. 5 平面及其方程 一、平面的點法式方程 法線向量: 如果一非零向量垂直于一平面, 這向量就叫做該平面的法線向量. 容易知道, 平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直. 唯一確定平面的條件: 當平面P上一點M0 (x0, y0, z0)和它的一個法線向量n=(A, B, C)為已知時, 平面P的位置就完全確定了. 平面方程的建立: 設M (x, y, z)是平面P上的任一點. 那么向量必與平面P的法線向量n垂直, 即它們的數(shù)量積等于零: . 由于 n =(A, B, C), , 所以 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0. 這就是平面P上任一點M的坐標x, y, z所滿足的方程. 反過來, 如果M (x, y, z)不在平面P上, 那么向量與法線向量n不垂直, 從而. , 即不在平面P上的點M的坐標x, y, z不滿足此方程. 由此可知, 方程A(xx0)+B(yy0)+C(z z0)=0就是平面P的方程. 而平面P就是平面方程的圖形. 由于方程A(xx0)+B(yy0)+C(z z0)=0是由平面P上的一點M0(x0, y0, z0)及它的一個法線向量n =(A, B, C)確定的, 所以此方程叫做平面的點法式方程. 例1 求過點(2, 3, 0)且以n=(1, 2, 3)為法線向量的平面的方程. 解 根據(jù)平面的點法式方程, 得所求平面的方程為 (x2)2(y+3)+3z=0, 即 x2y+3z8=0. 例2 求過三點M1(2, 1, 4)、M2(1, 3, 2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程. 解 我們可以用作為平面的法線向量n. 因為, , 所以 . 根據(jù)平面的點法式方程, 得所求平面的方程為 14(x2)+9(y+1)(z 4)=0, 即 14x+9y z15=0. 二、平面的一般方程 由于平面的點法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一點及它的法線向量來確定, 所以任一平面都可以用三元一次方程來表示 . 反過來, 設有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0. 我們?nèi)稳M足該方程的一組數(shù)x0, y0, z0, 即 Ax0+By0+Cz0 +D=0. 把上述兩等式相減, 得 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0, 這正是通過點M0(x0, y0, z0)且以n=(A, B, C)為法線向量的平面方程. 由于方程 Ax+By+Cz+D=0. 與方程 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0同解, 所以任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的圖形總是一個平面. 方程Ax+By+Cz+D=0稱為平面的一般方程, 其中x, y, z的系數(shù)就是該平面的一個法線向量n的坐標, 即 n=(A, B, C). 例如, 方程3x4y+z9=0表示一個平面, n=(3, 4, 1)是這平面的一個法線向量. 討論: 考察下列特殊的平面方程, 指出法線向量與坐標面、坐標軸的關系, 平面通過的特殊點或線. Ax+By+Cz=0。 Cz+D=0, Ax+D=0, By+D=0. 提示: D=0, 平面過原點. n=(0, B, C), 法線向量垂直于x軸, 平面平行于x軸. n=(A, 0, C), 法線向量垂直于y軸, 平面平行于y軸.n=(A, B, 0), 法線向量垂直于z軸, 平面平行于z軸.n=(0, 0, C), 法線向量垂直于x軸和y軸, 平面平行于xOy平面.n=(A, 0, 0), 法線向量垂直于y軸和z軸, 平面平行于yOz平面.n=(0, B, 0), 法線向量垂直于x軸和z軸, 平面平行于zOx平面. 例3 求通過x軸和點(4, 3, 1)的平面的方程. 解 平面通過x軸, 一方面表明它的法線向量垂直于x軸, 即A=0。0), 便得所求的平面方程為 y3z=0. 例4 設一平面與x、y、z軸的交點依次為P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三點, 求這平面的方程(其中a185。0, c185。 平面P 1和P 2平行或重合相當于. 例5 求兩平面 xy+2z6=0和2x+y+z5=0的夾角. 解 n1=(A1, B1, C1)=(1, 1, 2), n2=(A2, B2, C2)=(2, 1, 1), , 所以, 所求夾角為. 例6 一平面通過兩點M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1)且垂直于平面x+y+z=0, 求它的方程. 解 方法一: 已知從點M1到點M2的向量為n1=(1, 0, 2), 平面x+y+z=0的法線向量為n2= (1, 1, 1). 設所求平面的法線向量為n=(A, B, C). 因為點M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1)在所求平面上, 所以n^n1, 即A2C=0, A=2C. 又因為所求平面垂直于平面x+y+z=0, 所以n^n1, 即A+B+C=0, B=C. 于是由點法式方程, 所求平面為 2C(x1)+C(y1)+C(z1)=0, 即2xyz=0. 方法二: 從點M1到點M2的向量為n1=(1, 0, 2), 平面x+y+z=0的法線向量為n2= (1, 1, 1).設所求平面的法線向量n 可取為n1180。7. 6 空間直線及其方程 一、空間直線的一般方程 空間直線L可以看作是兩個平面P1和P2的交線. 如果兩個相交平面P1和P2的方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直線L上的任一點的坐標應同時滿足這兩個平面的方程, 即應滿足方程組. (1) 反過來, 如果點M不在直線L上, 那么它不可能同時在平面P1和P2上, 所以它的坐標不滿足方程組(1). 因此, 直線L可以用方程組(1)來表示. 方程組(1)叫做空間直線的一般方程. 設直線L是平面P1與平面P2的交線, 平面的方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么點M在直線L上當且僅當它同時在這兩個平面上, 當且僅當它的坐標同時滿足這兩個平面方程, 即滿足方程組 . 因此, 直線L可以用上述方程組來表示. 上述方程組叫做空間直線的一般方程. 通過空間一直線L的平面有無限多個, 只要在這無限多個平面中任意選取兩個, 把它們的方程聯(lián)立起來, 所得的方程組就表示空間直線L. 二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程 方向向量: 如果一個非零向量平行于一條已知直線, 這個向量就叫做這條直線的方向向量. 容易知道, 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 確定直線的條件: 當直線L上一點M 0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s = (m, n, p)為已知時, 直線L的位置就完全確定了. 直線方程的確定: 已知直線L通過點M0(x0, y0, x0), 且直線的方向向量為s = (m, n, p), 求直線L的方程. 設M (x, y, z)在直線L上的任一點, 那么 (xx0, yy0, zz0)//s , 從而有 . 這就是直線L的方程, 叫做直線的對稱式方程或點向式方程. 注: 當m, n, p中有一個為零, 例如m=0, 而n, p185。 當m, n, p中有兩個為零, 例如m=n=0, 而p185。(2ij+3k)4ij3k. 因此, 所給直線的對稱式方程為 . 令, 得所給直線的參數(shù)方程為 . 提示: 當x=1時, 有, 此方程組的解為y=2, z=0. . 令, 有x=1+4t, y=2t, z=3t . 三、兩直線的夾角 兩直線的方向向量的夾角( 通常指銳角)叫做兩直線的夾角. 設直線L1和L2的方向向量分別為s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夾角j就是和兩者中的銳角, 因此. 根據(jù)兩向量的夾角的余弦公式, 直線L1和L2的夾角j可由來確定. 從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結論: 設有兩直線L1:, L2:, 則 L 1^L 2219。 L1 // L2219。 L/ / P 219。 求過點(2, 1, 2)且與直線垂直相交的直線的方程. 解 過已知點與已知直線相垂直的平面的方程為 (x2)+(y1)+2(z2)=0, 即x+y+2z=7. 此平面與已知直線的交點為(1, 2, 2). 所求直線的方向向量為 s=(1, 2, 2)(2, 1, 2)=(1, 1, 0), 所求直線的方程為 , 即. 提示: 求平面x+y+2z=7與直線的交點: 直線的參數(shù)方程為x=2+t, y=3+t, z=4+2t , 代入平面方程得 (2+t)+(3+t)+2(4+2t)=7, 解得t=1, 代入直線的參數(shù)方程得x=1, y=2, z=2. 平面束: 設直線L的一般方程為 , 其中系數(shù)ABC1與ABC2不成比例. 考慮三元一次方程: A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0, 其中l(wèi)為任意常數(shù). 因為系數(shù)ABC1與ABC2不成比例, 所以對于任何一個l值, 上述方程的系數(shù)不全為零, 從而它表示一個平面. 對于不同的l值, 所對應的平面也不同, 而且這些平面都通過直線L , 也就是說, 這個方程表示通過直線L的一族平面. 另一方面, 任何通過直線L的平面也一定包含在上述通過L的平面族中. 通過定直線的所有平面的全體稱為平面束. 方程A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0就是通過直線L 的平面束方程. 例7 求直線在平面x+y+z=0上的投影直線的方程. 解 設過直線的平面束的方程為 (x+yz1)+l(xy+z+1)=0, 即 (1+l)x+(1l)y+(1+l)z+(1+l)=0, 其中l(wèi)為待定的常數(shù). 這平面與平面 x + y + z = 0垂直的條件是 (1+l)1+(1l)1+(1+l)1=0, 即 l=1. 將l=1代入平面束方程得投影平面的方程為2y2z2=0, 即 yz1=0. 所以投影直線的方程為 . 內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研