【正文】 msn=165。aq發(fā)散； n174。nn=0165。nsn=165。165。0 , n為偶數(shù)limsn不存在，sn=237。165。a , n為奇數(shù)n=165。ln是否收nn=1165。174。sn=11111(1)+()+23235111L+()22n12n+111=(1).22n+1高等數(shù)學教案1sn=，所以原級數(shù)收斂 由于limn174。: ①如果229。kunn=1n=1165。也收斂，其和為ks；若229。則229。0)=1165。un、229。n=1165。s，分別為s、則229。vn)也收斂，其和為s177。un收斂，則對這級數(shù)n=1165。165。例3證明調(diào)和級數(shù) 1111+++L++L : 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂，部分sn=，和為s，則limn174。im(s2nsn)=ss=，ln174。另一方面，高等數(shù)學教案111s2nsn=++L+ n+1n+22n111++L+ 2n2n2n1=，2(s2nsn)185。165。發(fā)散，n=1n165。14P225⑤.由于級數(shù)229。高等數(shù)學教案11q=的幾何級數(shù)，而q=1，所22165。1以229。n是公比n=12n=1311為q=的幾何級數(shù)，而q=1，33165。1165。n與229。11229。 常數(shù)項級數(shù)的審斂法: 229。0).n=1165。{sn}n=1165。un、229。165。vn.①若229。un收斂；n=1165。165。②若229。un、n=1n=1165。vn都是正項級數(shù).165。①若229。N時有un163。②若229。N，使當n179。kvn(k0)成立，=高等數(shù)學教案165。1時，由于1np179。165。n=1n229。=12165。logn=，而229。1發(fā)散，=12165。165。111解:由于229。ln3，而229。1p=ln31，是p級數(shù)，所以229。1收斂，=13165。165。anbn；②229。165。證: ①由于229。bn均收斂，n=1n=1165。所以229。an+bn179。②由于高等數(shù)學教案(an+bn)=an+2anbn+bn，而229。n=1n=1165。bn與229。165。(an+bn)=11③由于229。2均收斂，所n=1n=1n165。(an+2)收斂，而an+2179。=1n165。且165。n=1n=1an163。bn，求證:=高等數(shù)學教案165。an與229。165。(bnan)=1165。163。n=1165。an179。(bnan)收斂，故229。an收斂，從n=1165。: 設(shè)n=1229。vn均是正項級數(shù)，n=1165。高等數(shù)學教案165。vn收斂，則①若limn174。n==1165。un=l(0l+165。vn②若limn174。n==1165。且229。165。=1165。165。n174。1n=1nn165。1n+n1n=+1nn1解:由于l=lim=2，而n174。12n165。11n+，所以229。: 由于nn212ln2l=lim=lim=ln2n174。n174。11n，165。1n而229。(21)=1n=(達朗貝爾判別法): 設(shè)229。高等數(shù)學教案un+1lim=174。un①若r1，則229。②若r1或r=+165。un發(fā)n=1165。un可能收斂也n=1165。1n!=01解: 由于r=lim，n174。1(n1)!165。n!=110: 由于(n+1)!n+1n+110r=lim=lim=+165。165。165。n!=110(柯西判別法): 設(shè)229。165。①若r1，則229。②若r1或r=+165。un發(fā)n=1165。un可能收斂也n=1165。: 由于2n1nn(r=lim)n174。3n12n()3n1=limn174。nn3n1，2n1n所以229。u1u2+u3u4+L，或u1+u2u3+u4L，其中u1，u2…: 如果交錯級數(shù)229。①un179。mun=0，②ln174。(1)un收斂，其和s163。項的絕對值rn163。n11的斂: 由于高等數(shù)學教案11①179。un+1； nn+11=0，即limu=0②lim，nn174。n174。n165。(1)=: 如果229。=1165。(1)n=1165。un收斂，n=高等數(shù)學教案165。un發(fā)散，=1n=1165。例如，級數(shù)229。165。1證: 令Vn=(un+un)，21Wn=(unun)，則un179。0，2un179。所以229。Wnn=1n=1n=高等數(shù)學教案165。165。(VnWn)=229。165。un+1nu=r，如果lim=r或limnn174。un174。nr1，229。165。: 由于lim(1)n174。以229。n1n1n185。5n=12收斂，若收斂是條件收斂，還是絕對收斂.165。n，解: 由于nsin而229。1np收斂，所以229。(1)ln(1+)nn=1是否收斂，若收斂是條件收斂，165。165。1n229。165。165。165。1165。 發(fā)散，所以229。1n散，故229。 冪級數(shù): u1(x)+u2(x)+L+un(x)+=x0206。n=1收斂，則稱x0為229。an(xx0)165。anx=2n165。anx當nn=0165。0)時收斂，如果nn=0n=0165。229。: 如果高等數(shù)學教案n=0229。也不是在整個數(shù)軸上收斂，則存在R0，使得①當xR時，冪級數(shù)絕對收斂；②當xR時，冪級數(shù)發(fā)散；③當x=R與x=R時，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.)為稱R為收斂半徑，稱(R , R)、收斂區(qū)間，收斂域是(R , R[R , R)、(R , R]或[R , R]這四高等數(shù)學教案個區(qū)間之一(由x=177。.，如果nn=0165。165。1 , r185。239。R=237。 , r=0 ,239。.239。(1)=1nn(1)n+1=1解: 由于r=lim，所n1n174。(1)n1以R==1.165。=229。(1)n1xn165。=229。(1)，229。(3x)=01+nn165。nn13解: 229。165。165。165。165。2(3x)= =01+nn=01+n165。的收斂域為(3x)2n=01+n高等數(shù)學教案11[ , ].33(1)(x3)的收斂n=1n165。2(x3)= =1nn=1n165。2tn=1nn+1(1)2(n+1)r=lim=1R=1，.nn174。(1)2n165。高等數(shù)學教案nn(1)n1當t=1時，229。2收n=1nn=1n165。n斂.(1)n165。2t=229。(1)，229。(1)n區(qū)間為[1 , 1]，故229。2n+ =03165。165。nx= 229。165。nx= 229。165。nx 的收斂域為n=03(3 , 3).165。anxn=0165。n和s(x)=229。則n=0165。165。anx177。bnx=nn=0229。bn)x=s(x)177。}.:①229。②229。斂域I上可積，并有逐項積分公式242。0229。n)=229。0anxdx nn=0165。x(x206。ann+1165。anx的收斂半徑相229。高等數(shù)學教案③229。斂區(qū)間(R , R)內(nèi)可導，并有逐項求導公式162。165。(x)=229。(anx)162。nanx(xR)，n1n=1n=1165。nanx165。anx的收斂半徑相nn=0165。高等數(shù)學教案1n+1R=1.=1解: r=lim，n174。1n165。n1n1當x=1時，229。(1)收nn=1n==1時，229。n1此，229。n1令s(x)=229。x1)，則 n=1n162。165。(x)=229。(x)162。165。x n1n=1165。 x 0s162。x10dx+0 =1ln(1xx)(1163。1xn+1在其收斂n=1n1 , 1)165。165。[1 , 1).(n+1)x在其收斂域nn=1165。(n+1)x，則nn=1165。0s(x)dx=229。0(n+1)xdxnn=1x165。xn+1n=1165。 0s(x)dx]162。 1x22xx=2(1x)(1x1).(1 , 1)nn=1165。nx=229。x229。165。165。(n+1)x229。165。間(1 , 1)=1:165。(n+2)x=229。x nnn=1165。2xx=2(1x)x +1x高等數(shù)學教案3x2x=2(1x)2(1 , 1).167。162。(x0)(xx0)+(xx0)2!f(x0)n+L+(xx0)+Ln!稱為f(x)的泰勒級數(shù).(n)如果泰勒級數(shù)收斂于f(x)，則高等數(shù)學教案第四篇：高等數(shù)學教案[xn1 , xn]，A=DA1+DA2+L+DAn，Dxi=xixi1(i=1 , 2 , L , n).②在每個小區(qū)間[xi1 , xi]上任取一點xi，DAi187。229。f(xi)174。v(ti)Dti，高等數(shù)學教案s187。v(ti)=1n③l=max{Dt1 , Dt2 , L , Dtn}.s=lim229。0i=: 設(shè)y=f(x)在[a , b]上有界.①把區(qū)間[a , b]分成n個小區(qū)間:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1][xn1 , xn]，高等數(shù)學教案Dxi=xixi1(i=1 , 2 , L , n).②在每個小區(qū)間[xi1 , xi]上任取一點xi，229。f(xi)Dxil174。0bi=1n注意：定積分242。 af(x)dx=242。 af(u)du b b .(必要條件).如果f(x , y)在D上可積，則f(x , y)在D上.(充分條件): ①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，則f(x)在[a , b]上可積.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a , b]：①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)179。 af(x)dx=s(S是曲邊梯高等數(shù)學教案形的面積).②.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)163。 af(x)dx=s(S是曲邊梯形的面積).③如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)的值有正有負，則 b242。 af(x)dx=b②當時，ba242。bf(x)：①242。g(x)]dx=242。242。 akf(x)dx=k242。 af(x)dx=242。 cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)186。 a1dx=242。0，則b242。[a , b]上f(x)163。 af(x)dx163。 ag(x)dx，242。242。f(x)163。242。M(b.⑦(積分中值定理)如果f(x)高等數(shù)學教案在[a , b]上連續(xù)，則在[a , b]上至少存在一點x，使得b242。f(x)163。242。M(ba)，f(x)dx242。163。 af(x)dx=f(x)ba即b242。 aba[a , b]: 對任意實數(shù)l，有 12242。0，1 122l2l242。 0f(x)dx179。 0f(x)dx]4242。0，即242。[242。 af(x)dx242。(ba)b b.167。 af(t)dt x206。 af(t)dt可導，且xdF162。 (x)=242。(x)=sintdt242。0x174。+165。+165。x x2 0t2x=limx174。(1+2x=limx174。1+2高等數(shù)學教案162。 f(x)f(t)dt]=f[y(x)]y162。(x)y(x)1=.+bd x+af(t)dt dx=f[(x+b)]f[(x+a)].例15.(242。=ee2x xx=(x)在[a , b]上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明:x1 F(x)=f(t)dt242。(a , b)時，f(x)(xa)242。(x)= 2(xa)f(x)(xa)f(x)(xa)=2(xa)xf(x)f(x)=(xa)高等數(shù)學教案(axx).由于f(x)在[a , b]上單調(diào)增加，而axx，所以f(x)f(x)F162。 af(x)dx=F(b)F(a)=F(.高等數(shù)學教案為F(x)、xF(x)=242。 af(t)dt=0，得C=F(a)，F(xiàn)(x)=F(x)F(a)，F(xiàn)(b)=F(b)F(a)，b即F(b)=242。 0(1x)dx+242。x , x206。238。[1 , 2] ，高等數(shù)學教案2求F(x)=242。237。 x2 0tdt , x206。242。 x 0t 1tdt , x206。x3 , =239。3239。13+12(x21), 236。, 237。238。[0 ,x206。[0 , x206。0tdt 在(165。) , x0解: f(x)=237。0242。02236。2 =237。 , x179。 定積分的換元法和分部積分法:bb242。af[f(t)]f162。 1 tdt 2t 321=242。 1(2t+2)12 t=2242。 pcost p24高等數(shù)學教案sin2tcostdt2p 例=242。 p2(csc2 pt1)dt4=(cottt)p2p4= p5 02sinxcosxdx=242。 0(2x)d(2x)225111=[(2x)]02531=.(x)在[a , a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則a a242。 0f(x): a 0 a242。 af(x)dx+242。 af(x)dx x=t 242。 af(t)dt =242。 0f(x) a 0所以a a a242。 0f(x)dx+242。 0f(x)(x)在[a , a]上連續(xù)且a為奇函數(shù)，則242。 121+x解: 原式1sinx 1(arctanx).=242。22 11+x1+xsinx由于f(x)=2是奇函數(shù)，1+x高等數(shù)學教案以(arctanx)是偶函數(shù)，所g(x)=21+x(arctanx)原式=0+2242。 0(arctanx)d(arctanx)122312=[(arctanx)]0332p=()(x)在[0 , a]上連續(xù)，高等數(shù)學教案p.=3證明: 242。 0f(ax) a證242。 af(at)(dt)a:=242。 0f(at)dt =242。f(sinx)dx=高等數(shù)學教案p2 0242。f(sinx)dxp x=t 2 p2 0f(cost)(d242。f(cost)dtp2 0=242。 0xf(sinx)dx= (sinx)dx242。 0xf(sinx)dx0 x=pt 242。 0(pt)f(sint)dt =