【正文】 系數(shù)的另一個(gè)表達(dá)式是： r = 。 ii?Y 2 . 6 9 1 1 0 . 4 7 9 5 X?88 ? X增加 1%， Y將平均增加 %。 ?截距項(xiàng) ：即使咖啡價(jià)格降到 0，則平均每人咖啡消費(fèi)可望達(dá)到每日 。 ii?Y 2 4 4 . 5 0 . 5 1 X??87 咖啡的例子 ?其中， X表示咖啡價(jià)格（單位：美元）， Y表示每日咖啡的消費(fèi)（單位：杯）。 ?截距項(xiàng) ： X樣本中不含 X=0的點(diǎn)，所以截距項(xiàng)沒(méi)有什么意義，通常不用解釋它。 全部估計(jì)量 線性無(wú)偏估計(jì)量 BLUE估計(jì)量 線性估計(jì)量 結(jié) 論 （第 3版教材第 23頁(yè)） 85 經(jīng)濟(jì)解釋 ? 基本含義： ? X增加 1個(gè)單位 ， Y將平均增加 個(gè)單位 ii XY 10 ??? ?? ??1??86 家庭可支配收入與消費(fèi)的例子 ?其中， X表示月收入（樣本范圍為 800到 2600元）， Y表示月消費(fèi)，單位：元。 0)?(V 1 ??? TT arL i m ?A B T=10 T=100 ??()P???84 ? 普通最小二乘估計(jì)量具有線性性、無(wú)偏性、最小方差性等優(yōu)良性質(zhì)。證明過(guò)程略。 證：?????????????22221)(?iiiiiiiiiiixxYxYxxYYxxyx?令??2iiixxk ，因 ? ? ??? 0)( XXx ii ，故有?????iiiiiYkYxx21?? ? ? ?????????iiiiiiiYwYkXnXYkYnXY )1(1??10??01? ?,??（第 3版教材第 18頁(yè)） 81 2. 無(wú)偏性 (Unbiasedness) 參數(shù)估計(jì)量的均值等于總體回歸參數(shù)真值 : ? ? ? ?0 0 1 1? ?,E βE??? ? ?（第 3版教材第 18頁(yè)） 82 3. 有效性 (Efficiency) 在所有線性無(wú)偏估計(jì)量中，最小二乘估計(jì)量具有最小方差。 最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 高斯 — 馬爾可夫定理 (GaussMarkov theorem) 如果經(jīng)典線性回歸的假定 (14)成立 ， 則最小二乘估計(jì)量是 具有最小方差的線性無(wú)偏估計(jì)量 。 對(duì)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)量的一些總結(jié) ? ? ? ? ? ?2 2 210 22? ?β ,( 2 ) 2i i iiie e XSSn x n n x? ? ???? ? ???? ?0?S ?76 思考：影響回歸系數(shù)方差的因素有哪些？ 77 課堂習(xí)題 對(duì)于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 Y=β0+β1X+u，其 OLS估計(jì)量參數(shù)的特性在下列情況下會(huì)受到什么影響？ （ 1）觀測(cè)值數(shù)目 n增加； （ 2） X各觀測(cè)值差額增加； （ 3） X各觀測(cè)值近似相等。 3. 樣本容量 n 越大，這 兩個(gè)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差越小。 2. 兩個(gè)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差都包含 X的離差平方和 ∑x2。 2 S . E .F o r e c a s t : Y FA c t u a l : YF o r e c a s t s a m p l e : 1 9 8 8 1 9 9 8I n c l u d e d o b s e r v a t i o n s : 1 1R oo t M ea n S qu ar ed E r r or 09 20 0M ea n A bs ol ute E r r or 69 18 7M ea n A bs . P er c en t E r r or 24 79 8T he i l I ne qu al i ty C oe ffi c i en t 30 30 5 B i as P r op or ti on 00 00 0 V ar i an c e P r op or ti on 99 45 6 C ov ar i an c e P r op or ti on 00 54 4二 、 yt 的分布 ? 對(duì)于一元線性回歸模型： yt=?0+?1xt+ut ? 根據(jù)假定條件 ut ? N (0, ?u? ) E(yt) = E(?0+?1xt+ut) =?0+?1xt+E(ut) = ?0+?1xt Var(yt)=Var(?0+?1xt+ut) =Var(?0+?1xt) +Var(ut) =?u? ? yt是 ut的線性函數(shù)，所以 yt ? N (?0+?1xt , ?u? ) 74 三、 的分布 由線性性： 可得（證明略）： ? ? ? ? ? ?2 2 210 22? ?β ,( 2 ) 2i i iiie e XSSn x n n x? ? ???? ? ???10 ?,? ??? ?? ?2102,~,0~uiiuiXNYNu??????? ?? iiii YbYa 10 ?,? ??211 22200 2? ~,? ~,uiuiiNxXNnx?????????????????????（第 3版教材第 1821頁(yè)：公式： 、 、 ） 2 2 21? 2uisen??? ? ?75 1. 兩個(gè)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差都包含隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的估計(jì)量 s2。 其平方根 為 Y對(duì)估計(jì)的回歸線的 標(biāo)準(zhǔn)誤差 ，也稱(chēng)為 回歸方程的精度 。 隨機(jī)誤差項(xiàng)及相關(guān)的一些分布 2u?10 ?,? ??69 收入 X（元）支出 Y（元）XX ? YY ? ))(( YYXX ??2)( XX ?2X Y? 2)?( YY ?1 800 700 900 410 369000 810000 640000 652 23212 1000 650 700 460 322022 490000 1000000 754 107403 1200 900 500 210 105000 250000 1440000 855 19844 1400 950 300 160 48000 90000 1960000 957 535 1600 1100 100 10 1000 10000 2560000 1059 16746 1800 1150 100 40 4000 10000 3240000 1161 1197 2022 1200 300 90 27000 90000 4000000 1263 39358 2200 1400 500 290 145000 250000 4840000 1365 12579 2400 1550 700 440 308000 490000 5760000 1466 699510 2600 1500 900 390 351000 810000 6760000 1568 4649平均 1700 1110求和 1680000 3300000 32202200 11100 33727Y X2 Y 70 0 65 0 90 0 95 0 1 1 0 0 1 1 5 0 120 0 140 0 155 0 150 0X 80 0 100 0 120 0 140 0 160 0 180 0 200 0 220 0 240 0 260 0例： 每月家庭收入與消費(fèi)支出調(diào)查的數(shù)據(jù)（單位：元）如下，試建立回歸模型。 （第 3版教材第 13頁(yè)） （第 3版教材第 14頁(yè)） 67 注意 ：當(dāng)回歸方程中去掉截距項(xiàng)0??（即回歸直線過(guò)原點(diǎn)）時(shí)， Q 表示為， Q = ??Titu12?= ???TittYY12)?(= ???TittXY121)?( ? 正規(guī)方程只剩下一個(gè)， 1???? Q= 2???TittXY11)?( ?( Xt) = ???TitttXYY121)?( ?=?????TitTittXXY1211??= 0 1??=??2tttXYX 由于正規(guī)方程中沒(méi)了約束 ????TittXY110)??( ??= ??Titu1?= 0 所以，沒(méi)有截距項(xiàng)0??的 O L S 回歸方程， 不能保證殘差和等于零 。 y 0 x66 思考 ?自己推導(dǎo)離差形式（原點(diǎn)變換）的 OLS估計(jì)結(jié)果 ?過(guò)原點(diǎn)的回歸（ regression through the origin） 考慮截距為零的一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)。 ? 估計(jì)值是估計(jì)量的計(jì)算值。 1. 確定回歸直線的方法 ?ie?ie? 2ie59 誰(shuí)提出的 OLS估計(jì)方法？ （ C F Gauss, 17771855） C F Gauss 1809年提出 OLS估計(jì)方法 。 ? 以“ 殘差平方和最小 ”確定直線位置 即， 達(dá)到最小。 ? 用 “ 殘差絕對(duì)值和最小 ” 確定直線位置 即， 達(dá)到最小。從上圖可以看出擬合殘差（ Residual）： iiiiiii XYXYYYe 1010 ??)??(? ???? ????????58 ? 用 “ 殘差和最小 ” 確定直線位置 即， 達(dá)到最小。 y x南開(kāi)大學(xué) 56 1. 確定回歸直線的方法 2. 普通最小二乘法 3. OLS回歸直線的性質(zhì) 167。 普通最小二乘法 167。 yt ? N (?0+?1xt , ?? ) 53 重要提示 ? 幾乎沒(méi)有哪個(gè)實(shí)際問(wèn)題能夠同時(shí)滿(mǎn)足所有基本假設(shè)； ? 通過(guò)模型理論方法的發(fā)展，可以克服違背基本假設(shè)帶來(lái)的問(wèn)題； ? 違背基本假設(shè)問(wèn)題的處理構(gòu)成了單方程線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法的主要內(nèi)容： 異方差問(wèn)題（違背同方差假設(shè)） 序列相關(guān)問(wèn)題（違背序列不相關(guān)假設(shè)） 共線性問(wèn)題（違背解釋變量不相關(guān)假設(shè)） 隨機(jī)解釋變量（違背解釋變量確定性假設(shè)） 54 167。研究表明：如果一個(gè)隨機(jī)變量受到大量微小的、相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，則這個(gè)隨機(jī)變量就服從正態(tài)分布。 （ 5）隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布 (在對(duì)回歸參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)時(shí)，須作此假定；并結(jié)合假定 2) ?i～ N(0, ?2) 隨機(jī)誤差項(xiàng) ?i正態(tài)分布的假定對(duì)模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)是很重要的 。 無(wú)自相關(guān) 正的自相關(guān) 負(fù)的自相關(guān) 52 Cov(Xi, ?i)=0 （ 4）隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間不相關(guān) Xi與 ?i相互獨(dú)立，互不相關(guān)，即隨機(jī)誤差項(xiàng) ?i和解釋變量 Xi是各自獨(dú)立對(duì) 應(yīng)變量 Yi產(chǎn)生影響。 0)(E)(E)(E jiji ??????因?yàn)??i與 ?j相互獨(dú)立，有： 0)(E)]Y(EY)][Y(EY[E)Y,Y(C o v jijjiiji ???????0)(E)](E)][(E[E),(C o vjijjiiji????????????? Xi X Y ?i ?j E(Y|Xi)= ?0+?1Xi Xj Yi Yj 無(wú)自相關(guān)假定表明：產(chǎn)生誤差（干擾）的因素是完全隨機(jī)的，此次干擾與彼次干擾互不相關(guān)，互相獨(dú)立。Yi可能取值的分散程度也是相同的。即 Y取不同值時(shí)， ?i相對(duì)各自均值（零均值）的分散程度是相同的。 古典假定條件 （第 3版教材第 9頁(yè)） 50 （ 1） 隨機(jī)誤差項(xiàng)具有 零均值 ： E(?i)=0 表明：平均地看，隨機(jī)誤差項(xiàng)有互相抵消的趨勢(shì)。 表 周家庭收入與消費(fèi)支出（美元） 46 樣本回歸函數(shù) 4060801 0 01 2 01 4 01 6 01 8 040 80 1 2