[研究生入學(xué)考試]線(xiàn)性代數(shù)第9講-文庫(kù)吧資料
2024-10-22 21:37本頁(yè)面
【正文】 tj j j i j i i j j ij j i i jx x k k xb a a? ? ? ? ???????? ?????? ??? ? ? ? ?驗(yàn)證 b1,b2,...,bt線(xiàn)性相關(guān) , 考察 x1b1+x2b2+...+xtbt=0, () 即 2021/11/10 7 當(dāng) 10 , 1 , 2 , , , ( 3 . 1 2 )ti j jjk x i s????時(shí) , ()式顯然成立 . 而 ()式是 t個(gè)未知量 x1,x2,...,xt的齊次線(xiàn)性方程組 , 由于 ts(方程個(gè)數(shù) ), 故方程組 ()式有非零解 , 即有不全為零的 x1,x2,...,xt使()式成立 , 所以 b1,b2,...,bt線(xiàn)性相關(guān) . 2021/11/10 8 推論 1 如果向量組 b1,b2,...,bt可由向量組a1,a2,...,as線(xiàn)性表示 , 且 b1,b2,...,bt線(xiàn)性無(wú)關(guān) , 則t?s. 推論 2 若秩 {a1,a2,...,as}=r, 則 a1,a2,...,as中任何 r+1個(gè)向量都是線(xiàn)性相關(guān)的 . 證 不妨設(shè) a1,a2,...,ar是向量組 a1,a2,...,as中的 r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量 , 由于該向量組中任一個(gè)向量可由 a1,a2,...,ar線(xiàn)性表示 , 由定理 4立即可得其中任何 r+1個(gè)向量都線(xiàn)性相關(guān) . 2021/11/10 9 如此 , 向量組的秩可等價(jià)地定義為 : 若向量組中存在 r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量 , 且任何 r+1個(gè)向量都線(xiàn)性相關(guān) , 就稱(chēng)數(shù) r為 向量組的秩 . 由此可知 , 秩為 r的向量組中 , 任一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的部分組最多只含 r個(gè)向量 . 因此 , 秩為 r的向量組中含有 r個(gè)向量的線(xiàn)性無(wú)關(guān)組 , 稱(chēng)為該向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組 . 一般情況下 , 極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組不唯一 , 但不同的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)是相同的 . 2021/11/10 10 推論 3 設(shè)秩 {a1,...,as}=p, 秩 {b1,...bt}=r, 如果向量組 b1,...bt可由向量組 a1,...,as線(xiàn)性表示 , 則r?p. 證 不妨設(shè) a1,...,ap和 b1,...br分別是兩個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組 , 因此有 ,).,1(1 11 11? ?? ??? ?? ????????????????????pjjsiijkisipjjijkiksiikikcbcbtrkbaabab所以??1( 1 , , ) .pi i j jjc i saa????又已知 2021/11/10 11 即 b1,...br可由 a1,...,ap線(xiàn)性表示 , 于是由推論 1可得 r?p. 由推論 3立即可得 , 等價(jià)的向量組的秩相等 . 2021/11/10 12 矩陣的秩 2021/11/10 13 對(duì)于矩陣 A, 把它的每一行 (列 )稱(chēng)為 A的一個(gè)行(列 )向量 , 把 A的行 (列 )向量組的秩稱(chēng)為 A的行(列 )秩 . 顯然 , m?n矩陣 A的行秩 ?m, 列秩 ?n. 2021/11/10 14 階梯形矩陣 11 12 13 14 1523 24 2534 35000 0 00 0 0 0 0a a a a aa a aAaa?????????(其中 a11?0, a23?0, a34?0)的行秩 =3, 列秩 =3, 2021/11/10 15 這是因?yàn)?, 把 A按行和按列分塊為 ? ?121 2 3 4 534, , , , , ,AAaab b b b baa??????????????則 (i)由 x
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