[研究生入學(xué)考試]線性代數(shù)第8講-文庫吧資料
2024-12-29 12:38本頁面
【正文】 ?? ???? ?? ????= = = ???? ????????2021/11/10 26 證 設(shè) x1a1+x2a2+...+xrar=0, () 即 1 1 1 2 12 1 2 2 2121200. ( 3 . 8 )0rrrn n n ra a aa a ax x xa a a? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? =? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?將 ()式左端作線性運算 , 再與右端相等 , 即得方程 (). 因此 , 如果 a1,a2,...,ar線性相關(guān) , 就必有不全為零的數(shù) x1,x2,...,xr使 ()成立 , 即齊次線性方程組 ()有非零解 . 反之 , 如 ()有非零解 , 即有不全為零的數(shù) x1,x2,...,xr使 ()成立 , 故 a1,a2,...,ar線性相關(guān) . 2021/11/10 27 定理 2的等價命題是 : a1,a2,...,ar線性無關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組 ()只有零解 . 因此 , 判定一組向量是否線性相關(guān)或者線性無關(guān)的基本技術(shù)是求解齊次線性方程組 (). 在定理 2中 , 如果 nr, 由高斯消元法可知 , 方程組 ()求解必有自由未知量 , 即必有非零解 . 因此 , 任何 n+1個 n維向量都是線性相關(guān)的 . 所以在 Rn中 , 任何一組線性無關(guān)的向量最多只能含 n個向量 . 2021/11/10 28 定理 3 若向量組 a1,a2,...,ar線性無關(guān) , 而 b, a1,a2,...,ar線性相關(guān) , 則 b可由 a1,a2,...,ar線性表示 , 且表示法唯一 . 證 因 b,a1,a2,...,ar線性相關(guān) , 存在不全為零的數(shù) k,k1,k2,...,kr, 使得 kb+k1a1+k2a2+...+krar=0, () 其中 k?0(如 k=0, 則由線性無關(guān)又得必須全為零 , 這與不全為零矛盾 ), 于是 1212 .rrk k kk k kb a a a= 2021/11/10 29 再證表示法唯一 , 設(shè)有兩種表示法 : b=l1a1+l2a2+...+lrar =h1a1+h2a2+...+hrar, 于是 (l1h1)a1+(l2h2)a2+...+(lrhr)ar=0. 由于 a1,a2,...,ar線性無關(guān) , 所以必有 lihi=0, 即 li=hi, i=1,2,...,r, 故 b由 a1,a2,...,ar線性表示的表示法唯一 .證畢 . 由定理 2和定理 3可得如下推論 : 推論 如果 Fn中 n個向量 a1,a2,...,an線性無關(guān) , 則Fn中任一向量可由 a1,a2,...,an唯一地線性表示 . 2021/11/10 30 例 4 設(shè) a1=[1,1,1], a2=[1,2,0], a3=[1,0,3], a4=[2,3,7]. 問 : (1)a1,a2,a3是否線性相關(guān) ? (2) a4可否由 a1,a2,a3線性表示 ? 如能表示求其表示式 . 解 (1)根據(jù)定理 (2), 作矩陣 1 2 3| | | 1 1 11 2 01 0 3| | |A a a a? ? ? ?? ?
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