【正文】 ()最終計(jì)算得 () 上平衡控制器設(shè)計(jì)根據(jù)上述的描述，在上平衡情況下。將該初始條件代入得： () 通過(guò)以上的線性化模型，我們可以使用LQR方法全狀態(tài)反饋控制器。其中 ()在平衡情況下，電機(jī)提供的轉(zhuǎn)矩主要克服兩根桿重力相對(duì)于支撐點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩，因此倒立擺機(jī)器人的平衡點(diǎn)可作如下定義: ()將倒立擺機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程對(duì)于狀態(tài)向量求偏微分則有 .. ()將倒立擺機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程對(duì)于控制輸入求偏微分則有 ()根據(jù)不同平衡點(diǎn)的不同，并結(jié)合前面應(yīng)用系統(tǒng)辨識(shí)出的參數(shù)常量的值，就可以得到系統(tǒng)平衡點(diǎn)處的線性化模型形式： ()得到線性化模塊后，根據(jù)LQR方法設(shè)計(jì)全狀態(tài)反饋控制器。分別為倒立擺機(jī)器人的平衡狀態(tài)向量及控制輸入。泰勒級(jí)數(shù)近似表達(dá)式用于線性化。：xdxuLQR控制器控制對(duì)象圖 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖當(dāng)?shù)沽[機(jī)器人達(dá)到垂直向上不穩(wěn)定平衡位置附近時(shí)，用LQR方法設(shè)計(jì)平衡控制器來(lái)控制倒立擺機(jī)器人，使之在垂直向上不穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近保持平衡。通過(guò)這個(gè)函數(shù)的參量，也可以說(shuō)明了值與的取值有著直接的關(guān)系?？梢?jiàn)，此處決定值大小的關(guān)鍵在于指標(biāo)函數(shù)加權(quán)矩陣和的選擇。 控制器設(shè)計(jì)本實(shí)驗(yàn)采用LQR最優(yōu)控制方法，首先通過(guò)系統(tǒng)模型建立空間狀態(tài)方程 ()設(shè)計(jì)LQR控制器，使二次型目標(biāo)函數(shù)取最小值，其表達(dá)式如下： ()在系統(tǒng)完全可控的條件下，其全狀態(tài)反饋為 ()其中?！　?duì)于線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，如果其性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和(或)控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問(wèn)題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題，簡(jiǎn)稱為線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題或線性二次問(wèn)題。特別地 ，LQR可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律 ，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。LQR理論的設(shè)計(jì)目標(biāo)是設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，并使二次型目標(biāo)函數(shù)取最小值，而由權(quán)矩陣與唯一決定，故此、的選擇尤為重要。216。 實(shí)驗(yàn)過(guò)程運(yùn)行EasyControl，設(shè)置示波器時(shí)間范圍。電源作用為驅(qū)動(dòng)器提供電壓。 Itq(i,1)=trapz(Time(i:i+10),tdq1(i:i+10))。 DL(i,4)=dL4(i+10)dL4(i)。 DL(i,2)=dL2(i+10)dL2(i)。% tdq1為電機(jī)輸入能量，在這里將驅(qū)動(dòng)器增益常數(shù)和電機(jī)力矩常數(shù)考慮在需辨識(shí)的參數(shù)中% signal_Gain%為輸入電壓，tdq1=signal_Gain.*dq1 **。dL4=(g*sin(q1))。dL2=(*dq1.^2+dq1.*dq2 +*dq2.^2)。 %第三個(gè)采樣周期主動(dòng)臂的速度值g=。 %第二個(gè)采樣周期欠驅(qū)動(dòng)臂的速度值dq2 (3)=0。 %第二個(gè)采樣周期主動(dòng)臂的速度值dq2 (1)=0。 () 圖 倒立擺機(jī)器人控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)運(yùn)行的Simulink程序圖 速度平均濾波方式Simulink程序(2) 參數(shù)辨識(shí)程序?qū)崿F(xiàn)采用Matlab的m語(yǔ)言編寫非負(fù)最小二乘辨識(shí)程序，程序代碼如下所示：dq1 (1)=0。(1) 數(shù)據(jù)采集程序數(shù)據(jù)采集程序采用Simulink來(lái)編寫，主要任務(wù)為采集在激勵(lì)信號(hào)下主動(dòng)臂和欠驅(qū)動(dòng)臂的角度信號(hào)和角速度信號(hào)。通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)求得平均值，然后設(shè)計(jì)控制器，驗(yàn)證辨識(shí)結(jié)果的可實(shí)用性。首先，打開(kāi)EasyControl 軟件，設(shè)置采樣周期，打開(kāi)檢測(cè)主動(dòng)臂和欠驅(qū)動(dòng)臂角位移和速度的示波器，并利用示波器的數(shù)據(jù)儲(chǔ)存功能將數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在Matlab的Workplace中；然后給定系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)，本實(shí)驗(yàn)所采用的激勵(lì)信號(hào)為一階階躍信號(hào)，信號(hào)幅值要求主動(dòng)臂擺動(dòng)瞬間超過(guò)0度，但小于90度，最終穩(wěn)定在45到0度之間即可；最后進(jìn)行辨識(shí)實(shí)驗(yàn)。由于為常數(shù)，而可以通過(guò)給定信號(hào)和反饋信號(hào)計(jì)算獲得，所以式()可以通過(guò)最小二乘法得到辨識(shí)參數(shù)。建立式()總動(dòng)能的等價(jià)表達(dá)式： 其中。首先，列出倒立擺機(jī)器人控制系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式 ()以及勢(shì)能表達(dá)式 ()通過(guò)動(dòng)力學(xué)方程可知，動(dòng)能和勢(shì)能的具體表達(dá)式如下， 由于倒立擺機(jī)器人的動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式與系統(tǒng)所需辨識(shí)參數(shù)關(guān)系為線性的，因此可利用新參數(shù)簡(jiǎn)化式()和式()，便于辨識(shí)算法的設(shè)計(jì)。針對(duì)被控對(duì)象的輸入能量和輸出能量建立能量守恒方程，通過(guò)梯度法、最小二乘等方法求得所需的辨識(shí)參數(shù)。由動(dòng)力學(xué)方程可知，方程含有很多正常數(shù)項(xiàng)，主要是系統(tǒng)中各部分的質(zhì)量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和長(zhǎng)度，所以為了簡(jiǎn)化方程，便于控制器設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)系統(tǒng)常數(shù)如下： ()這5個(gè)參數(shù)即為系統(tǒng)所需辨識(shí)的參數(shù)。倒立擺機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型通過(guò)拉格朗日動(dòng)力學(xué)建立。第三章 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)首先，針對(duì)倒立擺機(jī)器人控制系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)需要了解倒立擺機(jī)器人控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)倒立擺機(jī)器人控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型建立相應(yīng)辨識(shí)方程。這種方法僅需計(jì)算Pendubot的動(dòng)能與勢(shì)能，因而與牛頓一歐拉方程相比更為簡(jiǎn)潔，而且還能夠充分反映Pendubot的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)特征。在建立Pendubot機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，把Pendubot看作是一個(gè)個(gè)關(guān)節(jié)連接起來(lái)的剛體。 ()于是，速度的笛卡兒坐標(biāo)分量為 ()速度的平方值為 ()從而欠驅(qū)動(dòng)臂的平移動(dòng)能為 ()連桿的高度已經(jīng)給出，由式()，它的勢(shì)能為 ()同時(shí)我們注意到系統(tǒng)除了平移動(dòng)能外，還存在旋轉(zhuǎn)動(dòng)能，由式()可得系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能部分為 ()拉格朗日算子為，因此根據(jù)上述式子，可得 ()為了求得動(dòng)力學(xué)方程，現(xiàn)在根據(jù)式()，對(duì)拉格朗日算子進(jìn)行微分，即 ()由以上的各微分項(xiàng)，根據(jù)第二類拉格朗日方程，我們就可以直接得到主動(dòng)關(guān)節(jié)的力矩表達(dá)式為 ()再把拉格朗日算子對(duì)和求微分，進(jìn)而得到欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)方程： ()于是欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)方程為 () 式和式可以簡(jiǎn)寫成如下形式： () 在考慮摩擦力矩的情況下，上述表達(dá)式可以拓展成為 ()其中，其中各個(gè)參數(shù)的表達(dá)式如下：如果系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型表示成式()，那么有一個(gè)特征要注意：和并非兩個(gè)完全獨(dú)立的矩陣，兩者之間是一個(gè)反對(duì)稱矩陣。根據(jù)上述模型，進(jìn)行系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能的推導(dǎo)。由于假設(shè)兩桿均為剛體，所以其動(dòng)能與勢(shì)能可根據(jù)每一桿的總質(zhì)量與相對(duì)于重心的慣量來(lái)確定。二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型 拉格朗日方程對(duì)于任何機(jī)械系統(tǒng)，其拉格朗日函數(shù)都可以定義成該系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能之差，即 () 系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可以用任意選取的坐標(biāo)系來(lái)表示。倒立擺機(jī)器人擺臂分為主動(dòng)臂和欠驅(qū)動(dòng)臂，其角度信號(hào)分別通過(guò)高精度光電編碼器返回，上位機(jī)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)化實(shí)驗(yàn)控制器使驅(qū)動(dòng)器控制力矩電機(jī)，使其實(shí)現(xiàn)控制要求。由于拉格朗日動(dòng)力學(xué)方法僅需計(jì)算Pendubot的動(dòng)能與勢(shì)能，與牛頓一歐拉方程相比更為簡(jiǎn)潔，而且還能夠充分反映Pendubot的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)特征，因此本論文采用拉格朗日動(dòng)力學(xué)方法建立Pendubot動(dòng)力學(xué)模型，也就是基于運(yùn)動(dòng)能量來(lái)進(jìn)行。牛頓一歐拉方程的方法，需從動(dòng)力學(xué)出發(fā)求得加速度，并消去各個(gè)內(nèi)作用力，這對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)十分繁雜。拉格朗日動(dòng)力學(xué)和與牛頓的力學(xué)原理在經(jīng)典力學(xué)的范疇內(nèi)是等價(jià)的，但它們研究的途徑或方法則不相同[4345]，因此基于這兩種理論所建立的動(dòng)力學(xué)模型是等價(jià)的，只是描述形式不同。建立機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型主要采用以下兩種理論:(1)動(dòng)力學(xué)基本理論，如牛頓一歐拉方程。 38 第