【正文】 【考點】相似形綜合題． 【專題】壓軸題． 【分析】（ 1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到 AP=BP= AB=2，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，得到 EF∥ AB， EF= AB= ，再由勾股定理得到結(jié)果； （ 2）連接 EF，設(shè) ∠ ABP=α ，類比著（ 1）即可證得結(jié)論． （ 3）連接 AC 交 EF 于 H，設(shè) BE 與 AF 的交點為 P，由點 E、 G 分別是 AD， CD 的中點，得到EG是 △ ACD的中位線于是證出 BE⊥ AC，由四邊形 ABCD 是平行四邊形，得到 AD∥ BC， AD=BC=2， ∠ EAH=∠ FCH根據(jù) E， F分別是 AD， BC的中點，得到 AE=BF=CF= AD= ，證出四邊形ABFE是平行四邊形，證得 EH=FH，推出 EH， AH分別是 △ AFE的中線，由（ 2）的結(jié)論得即可得到結(jié)果． 【解答】解：（ 1） ∵ AF⊥ BE， ∠ ABE=45176。 ， ∴∠ 1=∠ 3， ∴ tan∠ 1=tan∠ 3， ∴ = ． 設(shè)點 F的坐標為（ xF，﹣ 2xF+4）， ∴ = ， 解得 xF=5，﹣ 2xF+4=﹣ 6， ∴ 點 F的坐標為（ 5，﹣ 6）， 此時拋物線 w′ 的函數(shù)表達式為 y=﹣ x2+ x； 【點評】本題考查了拋物線與 x 軸的交點問題，（ 1）利用了自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（ 2）利用了余角的性質(zhì)，正切函數(shù)的性質(zhì)，利用等角的正切函數(shù)值相等得出關(guān)于 F點橫坐標的方程是解題關(guān)鍵 23．我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為 “ 稱為中垂三角形 ” ，例如圖 1，圖 2，圖 3中，AF， BE是 △ ABC的中線， AF⊥ BE，垂足為 P，像 △ ABC這樣的三角形均稱為 “ 中垂三角形 ” ，設(shè) BC=a， AC=b， AB=c． 特例探索 （ 1）如圖 1，當 ∠ ABE=45176。 ，如圖． 此時拋物線 w′ 的對稱軸與 x軸的交點為 G， ∵∠ 1+∠ 2=90176。 ， ∠ DCF=45176。 ， ∴∠ BCE=30176。 ，攔截點 D處到公路的距離 DA=BE+CF． 在 Rt△ BCE中， ∵∠ E=90176。 方向前進了相同的距離，剛好在 D 處成功攔截藍方，求攔截點 D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）． 【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題． 【分析】過 B 作 AB 的垂線，過 C 作 AB 的平行線，兩線交于點 E；過 C 作 AB 的垂線，過 D作 AB 的平行線，兩線交于點 F，則 ∠ E=∠ F=90176。 ， ∵ BC=6， ∴ BD=CD=6， ∴ 的長度 = 的長度 = = ； ∴ 、 的長度之和為 + = ． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長的計算；熟練掌握全等三角形和等邊三角形的判定與性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵． 19．如圖，已知函數(shù) y= （ x＞ 0）的圖象經(jīng)過點 A、 B，點 B 的坐標為（ 2， 2）．過點 A 作AC⊥ x 軸，垂足為 C，過點 B 作 BD⊥ y 軸，垂足為 D， AC 與 BD 交于點 F．一次函數(shù) y=ax+b的圖象經(jīng)過點 A、 D，與 x軸的負半軸交于點 E （ 1）若 AC= OD，求 a、 b的值； （ 2）若 BC∥ AE，求 BC的長． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（ 1）首先利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)得出 k的值，再得出 A、 D 點坐標，進而求出 a， b的值； （ 2）設(shè) A點的坐標為：（ m， ），則 C點的坐標為：（ m， 0），得出 tan∠ ADF= = ，tan∠ AEC= = ，進而求出 m的值，即可得出答案． 【解答】解；（ 1） ∵ 點 B（ 2， 2）在函數(shù) y= （ x＞ 0）的圖象上， ∴ k=4，則 y= ， ∵ BD⊥ y軸， ∴ D點的坐標為：（ 0， 2）， OD=2， ∵ AC⊥ x軸， AC= OD， ∴ AC=3，即 A點的縱坐標為： 3， ∵ 點 A在 y= 的圖象上， ∴ A點的坐標為：（ ， 3）， ∵ 一次函數(shù) y=ax+b的圖象經(jīng)過點 A、 D， ∴ ， 解得： ； （ 2）設(shè) A點的坐標為：（ m， ），則 C點的坐標為：（ m， 0）， ∵ BD∥ CE，且 BC∥ DE， ∴ 四邊形 BCED為平行四邊形， ∴ CE=BD=2， ∵ BD∥ CE， ∴∠ ADF=∠ AEC， ∴ 在 Rt△ AFD中， tan∠ ADF= = ， 在 Rt△ ACE中， tan∠ AEC= = ， ∴ = ， 解得： m=1， ∴ C點的坐標為：（ 1， 0），則 BC= ． 【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出A， D點坐標是解題關(guān)鍵． 20．如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路上的 A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的 B處沿南偏西 60176。 ， ∵ BD=CD=BC， ∴△ BDC為等邊三角形， ∴∠ DBC=∠ DCB=60176。 ，然后根據(jù)弧長公式求出 、 的長度，即可得出結(jié)果． 【解答】（ 1）證明：根據(jù)題意得： BD=CD=BC， 在 △ ABD和 △ ACD中， ， ∴△ ABD≌△ ACD（ SSS）． ∴∠ BAD=∠ CAD， 即 AD平分 ∠ BAC； （ 2）解： ∵ AB=AC， ∠ BAC=50176。 ，由等邊三角形的性質(zhì)得出 ∠ DBC=∠DCB=60176。 25%=200人， ∴ 一等獎的學生人數(shù)為 200 （ 1﹣ 20%﹣ 25%﹣ 40%） =30人； （ 2）列表： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC ∵ 共有 12種等可能的結(jié)果，恰好選中 A、 B的有 2種， ∴ P（選中 A、 B） = = ． 【點評】本題考查了列表與樹狀圖的知識，解題的關(guān)鍵是通過列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來，然后利用概率公式求解，難度不大． 18．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC，分別以 B、 C 為圓心， BC長為半徑在 BC 下方畫弧．設(shè)兩弧交于點 D，與 AB、 AC 的延長線分別交于點 E、 F，連接 AD、 BD、 CD （ 1）求證： AD平分 ∠ BAC； （ 2）若 BC=6， ∠ BAC=50176。 ． 【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】原式第一項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算，第二項利用零指數(shù)冪法則計算，第三項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，最后一項利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果． 【解答】解：原式 =4﹣ 1+2﹣ +4 =5+ ． 【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵． 16．解方程： ． 【考點】解分式方程． 【分析】觀察可得最簡公分母是 2（ 2x﹣ 1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解． 【解答】解：方程的兩邊同乘 2（ 2x﹣ 1），得 2=2x﹣ 1﹣ 3， 解得 x=3． 檢驗：把 x=3代入 2（ 2x﹣ 1） ≠ 0． 所以原方程的解為： x=3． 【點評】本題考查了解分式方程，注意： （ 1）解分式方程的基本思想是 “ 轉(zhuǎn)化思想 ” ，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解． （ 2）解分式方程一定注意要驗根． 17．國務(wù)院辦公廳在 2022年 3月 16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總體方案》，這是中國足球史上的重大改革，為進一步普及足球知識，傳播足球文化，我市某區(qū)在中小學舉行了 “ 足球在身邊 ” 知識競賽，各類獲獎學生人數(shù)的比例情況如圖所示，其中獲得三等獎的學生共50名，請結(jié)合圖中信息，解答下列問題： （ 1）獲得 一等獎的學生人數(shù)； （ 2）在本次知識競賽活動中， A， B， C， D四所學校表現(xiàn)突出，現(xiàn)決定從這四所學校中隨機選取兩所學校舉行一場足球友誼賽，請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到 A， B 兩所學校的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計圖． 【分析】（ 1）根據(jù)三等獎所在扇形的圓心角的度數(shù)求得總?cè)藬?shù)，然后乘以一等獎所占的百分比即可求得一等獎的學生數(shù)； （ 2）列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來，利用概率公式求解即可． 【解答】解：（ 1） ∵ 三等獎所在扇形的圓心角為 90176。 ， 在 △ ABF與 △ CBF中， ， ∴△ ABF≌△ CBF（ SAS）， ∴① 正確； 過點 E作 EG⊥ AB，過點 F作 MH⊥ CD， MH⊥ AB，如圖： ∵ CE=2， BC=6， ∠ ABC=120176。 角的直角三角形的性質(zhì)得出點 E 到 AB 的距離是 2 ，得出 ② 正確，同時得出； △ ABF 的面積為 得出 ④ 錯誤，得出 tan∠ DCF= ，得出 ③ 正確． 【解答】解： ∵ 菱形 ABCD， ∴ AB=BC=6， ∵∠ DAB=60176。 ． 【點評】本題考查了圓心角和圓周角的關(guān)系及三角形外角的性質(zhì)，圓心角和圓周角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 13．關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+ =0有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的實數(shù) a，b的值： a= 4 ， b= 2 ． 【考點】根的判別式． 【專題】開放型． 【分析】由于關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+ =0 有兩個相等的實數(shù)根，得到 a=b2，找一組滿足條件的數(shù)據(jù)即可． 【解答】關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+ =0有兩個相等的實數(shù)根， ∴△ =b2﹣ 4 a=b2﹣ a=0， ∴ a=b2， 當 b=2時， a=4， 故 b=2， a=4時滿足條件． 故答案為： 4， 2． 【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握判別式的意義是解題的關(guān)鍵． 14．如圖，在菱形 ABCD 中， AB=6， ∠ DAB=60176。 ﹣ ∠ BDC=110176。=70176。 ， ∠ BOC=∠ B+∠ BDC， ∴∠ BDC=∠ BOC﹣ ∠ B=100176。 ， ∴∠ BOC=2∠ A=100176。 ，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求得 ∠ BDC=70176。 ，則 ∠ ADC的度數(shù)為 110176。 ． 又 ∵ BD⊥ DE，點 F是 BE的中點， DF=4， ∴ BF=DF=EF=4． ∴ CF=4﹣ BC=4﹣ y． ∴ 在直角 △ DCF中， DC2+CF2=DF2，即 x2+（ 4﹣ y） 2=42=16， ∴ x2+（ y﹣ 4） 2=x2+（ 4﹣ y） 2=16． 故選： D． 【點評】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線以及矩形的性質(zhì)．根據(jù) “ 直角 △ BDE的斜邊上的中線等于斜邊的一半 ” 求得 BF 的長度是解題的突破口． 二、填空題． 11．分解因式： x3﹣ 6x2+9x= x（ x﹣ 3） 2 ． 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用． 【專題】因式分解． 【分析】先提取公因式 x，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解． 【解答】解： x3﹣ 6x2+9x， =x（ x2﹣ 6x+9）， =x（ x﹣ 3） 2． 故答案為： x（ x﹣ 3） 2． 【點評】本題考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，關(guān)鍵在于需要進行二次分解因式． 12．如圖，點 A， B， C 在 ⊙ O上， CO 的延長線交 AB 于點 D， ∠ A=50176。 ， ∠ OCD=∠ ODC=30176。 ， ∴∠ AOB=60176。的直角三角形的性質(zhì)可得 OE， CD 的長，再根據(jù)陰影部分的面積 =扇形 OCD 的面積﹣三角形OCD的面積，列式計算即可求解． 【解答】解：過 O點作 OE⊥ CD于 E， ∵ AB為 ⊙ O的切線， ∴∠ ABO=90176。 ， ∠ OCD=∠ ODC=30176。 ， ⊙ O的半徑為 2，則圖中陰影部分的面積為（ ） A． ﹣ B． ﹣ 2 C． π ﹣ D． ﹣ 【考點】扇形面積的計算；切線的性質(zhì)． 【分析】過 O點作 OE⊥ CD于 E，首先根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得 ∠ AOB=60176。 ， ∴∠ 2=∠ AMO=115176。 +55176。 ， ∴∠ ANM=55176。 【考點】平行線的性質(zhì)． 【分析】如圖，首先證明 ∠ AMO=∠ 2；然后運用對頂角的性質(zhì)求出 ∠ ANM=55176。 C． 115176。 ，則 ∠ 2的度數(shù)為（ ） A． 105176。 角的直角三角板 ABC（ ∠ A=60176。 ， c=2 時， a= ， b= ． 如圖 2，當 ∠ ABE=30176。 方向前進實施攔截，紅方行駛 1000米到達 C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西 45176。 ． 16．解方程： ． 17．國務(wù)院辦公廳在 2022年 3月 16日 發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總體方案》，這是中國足球史上的重大改革，為進一步普及足球知識，傳播足球文化，我市某區(qū)在中小學舉行了 “ 足球在身邊 ” 知識競賽，各類獲獎學生人數(shù)的比例情況如圖所