【正文】 ）對稱軸為 x=1， 根據(jù)對稱性，拋物線與 x 軸的另一交點(diǎn)為（ 3， 0）， 觀察圖象，當(dāng) y＞ 0 時(shí)，﹣ 1＜ x＜ 3， ∴ 不等式 ax2+bx+c＞ 0 的解集為：﹣ 1＜ x＜ 3， 故答案為：﹣ 1＜ x＜ 3． 【點(diǎn)評】 本題考查了二次函數(shù)與不等式，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與對稱性，找出拋物線 y=ax2+bx+c 的完整圖象． 19．如圖， △ ABC 中， ∠ C=90176。． （ 2）如圖，在 △ ABC 中， AC=2， BC= ， CD 是 △ ABC 的完美分割線，且 △ ACD是以 CD 為底邊的等腰三角形，求完美分割線 CD 的長． 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 16 個(gè)小題， 110 題，每小題 3 分； 1116 題，每小題 3分，共 42 分。； （ 3）如圖，當(dāng) ∠ EAF 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè) CE=x， CF=y，求 x 與 y 的關(guān)系式． 24．（ 10 分）某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為 20 元 /千克．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量 w （千克）與銷售價(jià) x （元 /千克）有如下關(guān)系： w=﹣ 2x+80．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為 y （元）． （ 1）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，自變量 x 的取值范圍； （ 2）當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？ （ 3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不得高于 28 元 /千克，該農(nóng)戶想要每天獲得 150 元的銷售利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？ （參考關(guān)系：銷售額 =售價(jià) 銷量，利潤 =銷售額﹣成本） 25．（ 10 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù) y= （ x＞ 0）的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（ 1， 2）和點(diǎn) B（ m， n）（ m＞ 1），過點(diǎn) B 作 y 軸的垂線，垂足為 C． （ 1）求該反比例函數(shù)解析式； （ 2）當(dāng) △ ABC 面積為 2 時(shí)，求點(diǎn) B 的坐標(biāo)． （ 3） P 為線段 AB 上一動點(diǎn)（ P 不與 A、 B 重合），在（ 2）的情況下，直線 y=ax﹣ 1 與線段 AB 交于點(diǎn) P，直接寫出 a 的取值范圍． 26．（ 12 分）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引起一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形， 另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線． （ 1）在 △ ABC 中， ∠ A=48176。角繞點(diǎn) A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊 BC、 DC 的延長線交于點(diǎn) E、 F，連接 EF． （ 1） AC= ； （ 2）如圖，當(dāng) ∠ EAF 被對角線 AC 平分時(shí)， ∠ FAC= 176。 AC=BC=2，取 BC 邊中點(diǎn) E，作 ED∥ AB， EF∥ AC，得到四邊形 EDAF，它的面積記作 S1；取 BE 中點(diǎn) E1，作 E1D1∥ FB， E1F1∥ EF，得到四邊形 E1D1FF1，它的面積記作 S2，照此規(guī)律作下去，則 S1= ， S2022= ． 三、解答題 20．（ 8 分）如圖，均勻的正四面體的各面依次標(biāo)有 1， 2， 3， 4 四個(gè)數(shù)字．小明做了 60 次投擲試驗(yàn)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 朝下數(shù)字 1 2 3 4 出現(xiàn)的次數(shù) 16 20 14 10 （ 1）計(jì)算上述試驗(yàn)中 “4 朝下 ”的頻率是 ； （ 2）隨機(jī)投擲正四面體兩次，請用列表或畫樹狀圖法，求兩次朝下的數(shù)字之和大于 4 的概率． 21．（ 8 分）如圖，矩形 ABCD 中， AC、 BD 交于 O 點(diǎn)， DE∥ AC， CE∥ BD， DE、CE 交于點(diǎn) E 連接 OE． 求證： OE⊥ CD． 22．（ 10 分）某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組為了測得該校地下停車場的限高 CD（ CD⊥ AE），在課外活動時(shí)間測得下列數(shù)據(jù)：如圖，從地面 E 點(diǎn)測得地下停車場的俯角為 30176。 ∴ CD= CF= ， ∴ AC= CD=3， ∴ AF=2， 過 O 作 OG⊥ AF 于 G， ∴ GF= AF=1，四邊形 ODCG 是矩形， ∴ CG=2， OG=CD= ， ∴ OC= = ． 28．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 y=x2﹣ 2x+n﹣ 1 與 y 軸交于點(diǎn) A，其對稱軸與 x 軸交于點(diǎn) B． （ 1）當(dāng) △ OAB 是等腰直角三角形時(shí)，求 n 的值； （ 2）點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 3， 0），若該拋物線與線段 OC 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象求 n 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)；等腰直角三角形． 【分析】 （ 1）先求得點(diǎn) B 的坐標(biāo)，再根據(jù) △ OAB 是等腰直角三角形得出點(diǎn) A 的坐標(biāo)，代入求得 n 即可； （ 2）分兩種情況：拋物線的頂點(diǎn)在 x 軸上和拋物線的頂點(diǎn)在 x 軸下方兩種情況求解可得． 【解答】 解：（ 1）二次函數(shù)的對稱軸是 x=﹣ =1，則 B 的坐標(biāo)是（ 1， 0）， 當(dāng) △ OAB 是等腰直角三角形時(shí)， OA=OB=1， 則 A 的坐標(biāo)是（ 0， 1）或（ 0，﹣ 1）． 拋物線 y=x2﹣ 2x+n﹣ 1 與 y 軸交于點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（ 0， n﹣ 1）． 則 n﹣ 1=1 或 n﹣ 1=﹣ 1，解得 n=2 或 n=0； （ 2） ① 當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在 x 軸上時(shí)， △ =（﹣ 2） 2﹣ 4（ n﹣ 1） =0， 解得： n=2； ② 當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在 x 軸下方時(shí)， 如圖， 由圖可知當(dāng) x=0 時(shí)， y＜ 0；當(dāng) x=3 時(shí)， y≥ 0， 即 ， 解得：﹣ 2≤ n＜ 1， 綜上，﹣ 2≤ n＜ 1 或 n=2． 29．若拋物線 L： y=ax2+bx+c（ a， b， c 是常數(shù)，且 abc≠ 0）與直線 l 都經(jīng)過 y 軸上的同一點(diǎn)，且拋物線 L 的頂點(diǎn)在直線 l 上，則稱此拋物線 L 與直線 l 具有 “一帶一路 ”關(guān)系，并且將直線 l 叫做拋物線 L 的 “路線 ”，拋物線 L 叫做直線 l 的 “帶線 ”． （ 1）若 “路線 ”l 的表達(dá)式為 y=2x﹣ 4，它的 “帶線 ”L 的頂點(diǎn)在反比例函數(shù) y= （ x＜ 0）的圖象上，求 “帶線 ”L 的表達(dá)式； （ 2）如果拋物線 y=mx2﹣ 2mx+m﹣ 1 與直線 y=nx+1 具有 “一帶一路 ”關(guān)系，求 m，n 的值； （ 3）設(shè)（ 2）中的 “帶線 ”L 與它的 “路線 ”l 在 y 軸上的交點(diǎn)為 A．已知點(diǎn) P 為 “帶線 ”L 上的點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn) P 為圓心的圓與 “路線 ”l 相切于點(diǎn) A 時(shí)，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）找出直線與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，由此設(shè)出拋物線的解析式，再由直線的解析式找出直線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可得出結(jié)論； （ 2）找出直線 y=nx+1 與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可求出 m的值；再根據(jù)拋物線的解析式找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入直線解析式中即可得出結(jié)論； （ 3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 B，則點(diǎn) B 坐標(biāo)為（ 1，﹣ 1），過點(diǎn) B 作 BC⊥ y 軸于點(diǎn) C，根據(jù)點(diǎn) A 坐標(biāo)為（ 0， 1）得到 AO=1， BC=1， AC=2．然后根據(jù) “路線 ”l 是經(jīng)過點(diǎn) A、B 的直線且 ⊙ P 與 “路線 ”l 相切于點(diǎn) A，連接 PA 交 x 軸于點(diǎn) D，則 PA⊥ AB，然后求解交點(diǎn)坐標(biāo)即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ “帶線 ”L 的頂點(diǎn)在反比例函數(shù) （ x＜ 0）的圖象上， 且它的 “路線 ”l 的表達(dá)式為 y=2x﹣ 4， ∴ 直線 y=2x﹣ 4 與 的交點(diǎn)為 “帶線 ”L 的頂點(diǎn)， 令 ，解得 x1=﹣ 1， x2=3（舍去） ∴ “帶線 ”L 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ 6）． 設(shè) L 的表達(dá)式為 y=a（ x+1） 2﹣ 6， ∵ “路線 ”y=2x﹣ 4 與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0，﹣ 4） ∴ “帶線 ”L 也經(jīng)過點(diǎn)（ 0，﹣ 4），將（ 0，﹣ 4）代入 L 的表達(dá)式，解得 a=2 ∴ “帶線 ”L 的表達(dá)式為 y=2（ x+1） 2﹣ 6=2x2+4x﹣ 4； （ 2） ∵ 直線 y=nx+1 與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 1）， ∴ 拋物線 y=mx2﹣ 2mx+m﹣ 1 與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)也為（ 0， 1），得 m=2， ∴ 拋物線表達(dá)式為 y=2x2﹣ 4x+1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1，﹣ 1） ∴ 直線 y=nx+1 經(jīng)過點(diǎn)（ 1，﹣ 1），解得 n=﹣ 2， ∴ “帶線 ”L 的表達(dá)式為 y=2x2﹣ 4x+1“路線 ”l 的表達(dá)式為 y=﹣ 2 x+1； （ 3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 B，則點(diǎn) B 坐標(biāo)為（ 1，﹣ 1）， 過點(diǎn) B 作 BC⊥ y 軸于點(diǎn) C，又 ∵ 點(diǎn) A 坐標(biāo)為（ 0， 1）， ∴ AO=1， BC=1， AC=2． ∵ “路線 ”l 是經(jīng)過點(diǎn) A、 B 的直線 且 ⊙ P 與 “路線 ”l 相切于點(diǎn) A， 連接 PA 交 x 軸于點(diǎn) D，則 PA⊥ AB， 顯然 Rt△ AOD≌ Rt△ BCA， ∴ OD=AC=2， D 點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ 2， 0） 則經(jīng)過點(diǎn) D、 A、 P 的直線表達(dá)式為 ， ∵ 點(diǎn) P 為直線 與拋物線 L： y=2x2﹣ 4x+1 的交點(diǎn)， 解方程組 得 （即點(diǎn) A 舍去）， 即點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ． 九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共 16 個(gè)小題， 110 題，每小題 3 分； 1116 題，每小題 3分，共 42 分。 ∵ AD 是 ∠ BAC 的平分線， ∴∠ 3=30176。 ∴∠ ODB=∠ C， ∴ OD∥ AC， ∴∠ 3=∠ 2， ∴∠ 1=∠ 3， ∴ AD 是 ∠ BAC 的平分線； （ 2）解：連接 DF， ∵∠ B=30176。解直角三角形得到 AF=2，過 O 作 OG⊥ AF 于 G，得到四邊形 ODCG是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 CG=2， OG=CD= ，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論． 【解答】 （ 1）證明：連接 OD， ∴ OD=OA， ∴∠ 1=∠ 2， ∵ BC 為 ⊙ O 的切線， ∴∠ ODB=90176。 CF=1，求 OC 的長． 【考點(diǎn)】 切線的性質(zhì)；含 30 度角的直角三角形． 【分析】 （ 1）連接 OD．根據(jù)圓的半徑都相等的性質(zhì)及等邊對等角的性質(zhì)知： ∠1=∠ 2；再由切線的性質(zhì)及平行線的判定與性質(zhì)證明 ∠ 1=∠ 3；最后由角平分線的性質(zhì)證明結(jié)論； （ 2）連接 DF，根據(jù)角平分線的定義得到 ∠ 3=30176。請說明 △ ABC 的最小覆蓋圓圓心所在位置； （ 3）請?jiān)趫D 4 中對鈍角 △ ABC 的最小覆蓋圓進(jìn)行探究，并結(jié)合（ 1）、（ 2）的結(jié)論，寫出關(guān)于任意 △ ABC 的最小覆蓋圓的規(guī)律． 【考點(diǎn)】 作圖 —復(fù)雜作圖；三角形的外接圓與外心． 【分析】 （ 1）作 △ ABC 的外接圓即可． （ 2）以 AB 為直徑作圓即可． （ 3）以最長邊 AB 為直徑作圓即可．由（ 1）（ 2）不難得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1）銳角 △ ABC 的最小覆蓋 圓是它的外接圓．如圖 2 中所示， （ 2）直角 △ ABC 最小覆蓋圓的圓心是斜邊中點(diǎn)，如圖 3 中所示， （ 3） ① 銳角 △ ABC 的最小覆蓋圓是它的外接圓， ② 直角 △ ABC 的最小覆蓋圓是它的外接圓（或以最長邊為直徑的圓）， ③ 鈍角 △ ABC 的最小覆蓋圓是以最長邊為直徑的圓． 26． “昊天塔 ”又稱多寶佛塔，是北京地區(qū)惟一的樓閣式空心磚塔，位于良鄉(xiāng)東北1 公里的燎石崗上 ．此塔始建于隋，唐朝曾重修，現(xiàn)存塔是遼代修建的，已歷經(jīng)一千多年．某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行社會實(shí)踐活動時(shí)，想利用所學(xué)的解直角三角形的知識測量它的高度．他們的測量工具有：高度為 的測角儀（測量仰角、俯角的儀器）、皮尺．請你幫他們設(shè)計(jì)一種測量方案，求出昊天塔的塔頂?shù)降孛娴母叨?AB，注意：因?yàn)橛凶o(hù)欄，他們不能到達(dá)塔的底部． 要求：（ 1）畫出測量方案的示意圖，標(biāo)出字母，寫出圖中需要并且能測量的角與線段（用圖中的字母表示）； （ 2）結(jié)合示意圖，簡要說明你測量與計(jì)算的思路（不必寫出結(jié)果）． 【考點(diǎn)】 解直 角三角形的應(yīng)用 仰角俯角問題． 【分析】 （ 1）要求使用測角儀和皮尺，可根據(jù)常見的題目中的計(jì)算方法，按示意圖設(shè)計(jì)；構(gòu)造直角三角形 △ ACD 與 △ ACF；測出 ∠ ADC 與 ∠ AFC 及 DF，利用公共邊關(guān)系構(gòu)造方程并解之可得答案． （ 2）由 tan∠ ADC= 得 CD= ，在 Rt△ ABD 中，由 tan∠ AFC= 得 CF=，利用 CF﹣ CD=DF，可得到關(guān)于 AC 的方程，解這個(gè)方程求出 AC 的值． 【解答】 解：（ 1）測量方案的示意圖： 需要測量的線段 EG=DF；需要測量的角： ∠ ADC、 ∠ AFC； （ 2）在 Rt△ ACD 中， ∵ tan∠ ADC= ， ∴ CD= ， 在 Rt△ ABD 中