【正文】 ? . 若 0a? ，則 b= 12 Z??，應(yīng)舍去； 若 1a? ，則 b=1∈ Z. ∴ 1, 1, 0abc? ? ?. 2． 5 映射的概念、指數(shù)函數(shù) 【知識網(wǎng)絡(luò)】 1．映射； 2．指數(shù)概念； 3．指數(shù)運(yùn)算； 4．指數(shù)函數(shù)； 5．指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)． 【典型例題】 例 1．（ 1）已知集合 P={ | 0 4}xx?? ， Q={ | 0 2}yy?? ,下列各表達(dá)式中不表示從 P 到 Q的映射的是（ C ） A． 2xy? B． 3xy? C． 23xy? D． 218yx? 提示：當(dāng) 04x?? 時， 022x??， 40 33x??， 280 33x??， 2028x??，故答案為 C． （ 2） 圖中曲線 1C 、 2C 、 3C 、 4C 分別是指數(shù)函數(shù) xay? 、 xby? 、 xcy? 、 xdy? 的圖象，則 a 、 b 、 c 、 d 與 1 的大小關(guān)系是（ D ） A、 a ＜ b ＜ 1＜ c ＜ d B、 a ＜ b ＜ 1＜ d ＜ c C、 b ＜ a ＜ 1＜ c ＜ d D、 b ＜ a ＜ 1＜ d ＜ c 提示：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)圖象的排列是“底大的在上”，增函數(shù)的底大于 1，減函數(shù)的底大于 0 且小于 1． （ 3）函數(shù) ||2)( xxf ?? 的值域是（ A ） A． ]1,0( B． )1,0( C． ),0( ?? D． R 提示：令 ||tx?? ，則 0t? ，∴ 2 (0 )tyt??，其值域?yàn)?]1,0( ，答案為 A． （ 4）函數(shù) 22)21( ???? xxy 得單調(diào)遞增區(qū)間是 ]2,21[ 提示：由 2 20xx? ? ? ? 得： 12x? ? ? ，以 12 為底的指數(shù)函數(shù)是 減函數(shù)，則二次函數(shù)2 2xx? ? ? ( 12x? ? ? )的減區(qū)間 ]2,21[ 就是所給函數(shù)的增區(qū)間． （ 5）已知 10a? ? ? ，則三個數(shù) 331,3 aaa 由小到大的順序是 提示： 1 333 0, 0, 0a aa? ? ?，又 01a?? ? ，故 1 33( ) ( )aa? ? ? ，所以， 1 33aa? ． 例 2． 計(jì)算下列各式： （ 1 ） )32()32(28)67( ?????????；（ 2 ）4133 33223338 (1 2 )24a a b b aaa ab b? ? ? ???． 解：（ 1）原式＝ 1 1 13 1 1 63 3 34 4 222( ) 1 2 2 ( 2 3 ) ( ) 2 4 2 7 1 1 033? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． （ 2）令 1133,a m b n??，則：原式 4 3 3 3 22 2 2 28 2 ( 8 )( 1 )2 4 2 4 2m m n n m m n mmm m n n m m m n n m n??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 2 2 322( 2 ) ( 2 4 )( 2 4 ) ( 2 )m m n m m n n mam m n n m n? ? ?? ? ?? ? ? 例 3． 已知函數(shù)11)( ??? xxaaxf ( 1)a?． （ 1）判斷函數(shù) ()fx的奇偶性；（ 2）求 ()fx的值域； （ 3）證明 ()fx在 (－∞， +∞ )上是增函數(shù) ． 解 ：（ 1）函數(shù)的定義域?yàn)?R． 1 1 1( ) ( )1 1 1x x xx x xa a af x f xa a a?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?，所以 ()fx是奇函數(shù) ． （ 2）由 11xxay a ?? ?得： 11x ya y?? ? ，由 0xa? ，得： 1 01 yy? ?? ，故 11y? ? ? ， ()fx函數(shù) 值域?yàn)?(－ 1， 1) ． .（ 3） 設(shè) 12xx? ， 則 1111)()(221121 ???????xxxx aaaaxfxf 。 )(xf 是定義在 ),0( ?? 上的增函數(shù)，且對于 0?x 滿足 )()()( yfxfyxf ?? 。 ④ 21 xy x??? ，其中在 (,0)? 上為減函數(shù)的是（ ） （ A）① （ B）④ （ C）①、④ （ D）①、②、④ )(xf 在 ),( ba 和 ),( dc 都是增函數(shù)，若 ),(),( 21 dcxbax ?? ，且 21 xx ? 那么（ ）A． )()( 21 xfxf ? B． )()( 21 xfxf ? C． )()( 21 xfxf ? D．無法確定 3. 已知函數(shù) )(xf 是定義在 )2,2(? 上的減函數(shù)，若 ( 1) (2 1)f m f m? ? ?，實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 ( ) A. m0 B. 30m2 C. 1m3 D. 1322m? ? ? ]3,1[,)2()( 2 ???? xxxf ，函數(shù) )1( ?xf 的單調(diào)遞減區(qū)間為 xxy 1??在 ]2,1[ 上的值域?yàn)? 2() 1axfx x? ? (a ≠ 0)在區(qū)間 (－ 1， 1)上的單調(diào)性。 6． 2( ) 2 3f x x m x? ? ?當(dāng) [ 2, )x? ? ?? 時是增函數(shù) ,當(dāng) ( , 2]x? ??? 時是減函數(shù) , 求 (1)f 7． 已知 ()fx在定義域內(nèi)是減函數(shù)，且 ()fx 0，在其定義域內(nèi)下列函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)的為 ① ()y a f x?? （ 為常數(shù)）； ② ()y a f x?? （ a 為常數(shù)） ； ③ 1()y fx? ； ④ 2[ ( )]y f x? ． 8．函數(shù) ( 1 )( ) log [ 0 , 1 ]xxaf x a ??? 在上的最大和最小值的和為 a ，則 a = 9．設(shè) ()fx是定義在 (0, )?? 上的單調(diào)增函數(shù)，滿足 ( ) ( ) ( ) , ( 3 ) 1f x y f x f y f? ? ? 10． 求證 :函數(shù) ( ) ( 0)af x x ax? ? ?在 ( , )a ?? 上是增函數(shù) . 作業(yè) ：① 1xy x? ? 。（ 1）求證： 1)0( ?f ； （ 2）證明： Rx? 時恒有 0)( ?xf ；（ 3）求證： )(xf 在 R 上是減函數(shù)； （ 4）若 ( ) (2 ) 1f x f x? ? ?，求 x 的范圍。 作業(yè) 1．若 xxxf 1)( ?? ，則方程 xxf ?)4( 的根是 2．如果函數(shù) ()y f x? 的圖象 與函數(shù) ( ) 3 2g x x?? 的圖象 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則 ()y f x? 的表 達(dá)式為 3． 設(shè)函數(shù) ()fx對任意 x、 y 滿足 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?， 且 2) 4f ? ，則 (1)f ? ＝ 4． 函數(shù) 1)1( 2 ???? xy 的圖象與函數(shù) 1)1( 2 ??? xy 的圖象關(guān)于 對稱 5． 設(shè)函數(shù) )(xfy? 與函數(shù) )(xg 的圖象關(guān)于 3?x 對稱，則 )(xg 的表達(dá)式為 6．某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走余下的路程 .在下圖中縱軸表示離學(xué)校的距離 d ，橫軸表示出發(fā)后的時間 t ，則下列四個圖形中較符合該生走法的是（ ） 7．設(shè) f (x－ 1)=3x－ 1,則 f (x)= ． 8．在 x 克 a %的鹽水中，加入 y 克 b %的鹽水，濃度變成 c % ),0,( baba ?? ， 則 x 與 y的函數(shù)關(guān)系式 是 9．若函數(shù)2 1()0xfx ?? ?????? )0()0()0(???xxx ，則 ( ( ( 2022 )))fff ?? 10．設(shè) 22 1)( ??xxf， 求 )6()5()0()4()5( fffff ???????? ??的值為 11．設(shè)函數(shù) 2 2 ( 2 )()2 ( 2 )xxfx ??? ? ??? ?＋，求 f（ － 4） ；若 0( ) 8fx? ，求 0x ． 12．（ 1）已知 f (x )是一次函數(shù)，且滿足 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 1 7f x f x x? ? ? ? ?，求 ()fx； （ 2）已知 ? ?221)(,21)( x xxgfxxg ???? (x ?0)， 求 )21(f ． 13． 已知定義域?yàn)?R 的函數(shù) ()fx滿足 22( ( ) ) ( )f f x x x f x x x? ? ? ? ?,若 (2) 3f ? ，求(1)f ；又若 (0)fa? ，求 ()fa． 14． 用長為 1 的鐵 絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若半圓半徑為 x ，求此框架圍成的面積 y 與 x 的函數(shù)式 ()y f x? ，并寫出它的定義域 ． 15．函數(shù) ()fx對于任意實(shí)數(shù) x 滿足條件 1( 2) ()fx fx?? ， 若 (1) 5f ?? ，求 ( (5))ff ． 16．設(shè) )(xfy? 是定義在區(qū)間 ]1,1[? 上的函數(shù)，且滿足條件： （ 1） ( 1) (1) 0ff? ? ? ；（ 2）對任意的 , [ 1 ,1 ] , | ( ) ( ) | | |u v f u f v u v? ? ? ? ?都 有 ． （Ⅰ）證明：對任意的 [ 1 ,1 ] , 1 ( ) 1x x f x x? ? ? ? ? ?都 有 ； （Ⅱ）證明：對任意的 , [ 1 ,1 ] , | ( ) ( ) | 1u v f u f v? ? ? ?都 有 ． 2． 2 函數(shù)的定義域與值域 【知識網(wǎng)絡(luò)】 1．函數(shù)的定義域； 2．函數(shù)的值域． 【典型例題】 例 1．（ 1）函數(shù) )13lg (13)( 2 ???? xxxxf 的定義域是 （ 2）已知 ()fx = 11?x ，則函數(shù) ( ( ))f f x的定義域是 （ 3） 函數(shù) ＝ 2 68y kx x k? ? ? ?的定義域?yàn)?R，則 k 的取值范圍是 _ （ 4）下列函數(shù)中 ,最小值是 2 的是 _ _(正確的序號都填上 ).① ?1 2)y x xx? ? ? ；②2232xy x?? ? ；③ 9 14xy x? ? ? ；④ xxy cottan ?? ． （ 5）若 的最大值是則 yxyx 43,122 ??? ______ 例 2．（ 1）求下列函數(shù)的定義域：xxxxxxf ??????02 )1(65)( 的定義域． （ 2）已知函數(shù) ()fx的定義域是 (, )ab，求函數(shù) ( ) ( 3 1 ) ( 3 1 )F x f x f x? ? ? ?的定義域． 例 3． 求下列函數(shù)的值域： （ 1） 24 3 2y x x? ? ? ?； （ 2） 12y x x? ? ? ； （ 3） 22 12 2 3xxy ???； （ 4） 35y x x? ? ? ?； 例 4．已知函數(shù) 2( ) 3y f x x ax? ? ? ?在區(qū)間 [? 1， 1]上的最小值為 ? 3，求實(shí)數(shù) a 的值． 【課內(nèi)練習(xí)】 1．函數(shù) 23)( xxxf ?? 的定義域?yàn)椋? ） A． [0，32 ] B． [0， 3] C． [? 3， 0] D．（ 0， 3） 2．函數(shù) 251xy x? ? 的值域?yàn)?（ ） A 5{ | }2yy?B{ | 0}yy? C{ | 2 5}y y y??且 D 2{ | }5yy? 3．若函數(shù) ()fx的定義域?yàn)?[, ]ab， 且 0ba?? ? ，則函數(shù) ( ) ( ) ( )g x f x f x? ? ?的定義域是（ ） A． [, ]ab B． [ , ]ba?? C． [ , ]bb? D． [ , ]aa? 4．函數(shù) 2211 xy x?? ?的值域?yàn)椋ǎ?A． [ 1,1]? B． ( 1,1]? C． [ 1,1)? D． ( , 1] [1, )?? ? ?? 5．函數(shù) 31 ???? xxy 的值域是 6．函數(shù) 24 8 136( 1)xxy x??? ? ( 1x?? )的值域是 7． 若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同 ,但其定義域不同 ,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)” ,那么函數(shù)解析式為 2yx? 、值域?yàn)?{1,4}的“同族函數(shù)”共有 個 . 8．求下列函數(shù)的定義域：（ 1） 2311xxy x ?? ??； （ 2）12log (2 )xy x? ? ． 9．求下列函數(shù)的值域： （ 1） 2 4 2 (1 4)y x x x? ? ? ? ? ?；（ 2） xxy sin2 sin2??? ；（ 3） 22 436xxy ??? ??． 10．已知函數(shù) 12)( 2 ??? axxxf 在區(qū)間 [ 1, 2]? 上的最大