【正文】 ?，即 ( ) ( )f x f x? ?? ， ∴ ()fx是奇函數(shù)． ∵ ( 3)fa?? ， ∴ ( 12) 2 ( 6) 4 ( 3 ) 4 ( 3 ) 4f f f f a? ? ? ? ? ? ?． 10． 已知函數(shù) 2 1( ) ( , , )axf x a b c Zb x c????是奇函數(shù)，又， (1) 2f ? ， (2) 3f ? ，求 a 、 b 、c 的值 . 解：由 ( ) ( )f x f x? ?? 得 ()bx c bx c? ? ? ? ? ∴c=0. 又 (1) 2f ? ，得 12ab?? ， 而 (2) 3f ? ，得 4131aa? ?? ，解得 12a? ? ? . 又 aZ? ， ∴ 0a? 或 1a? . 若 0a? ，則 b= 12 Z??，應(yīng)舍去； 若 1a? ，則 b=1∈ Z. ∴ 1, 1, 0abc? ? ?. 2． 5 映射的概念、指數(shù)函數(shù) 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 1．映射； 2．指數(shù)概念； 3．指數(shù)運(yùn)算； 4．指數(shù)函數(shù)； 5．指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)． 【典型例題】 例 1．（ 1）已知集合 P={ | 0 4}xx?? ， Q={ | 0 2}yy?? ,下列各表達(dá)式中不表示從 P 到 Q的映射的是（ C ） A． 2xy? B． 3xy? C． 23xy? D． 218yx? 提示：當(dāng) 04x?? 時(shí)， 022x??， 40 33x??， 280 33x??， 2028x??，故答案為 C． （ 2） 圖中曲線 1C 、 2C 、 3C 、 4C 分別是指數(shù)函數(shù) xay? 、 xby? 、 xcy? 、 xdy? 的圖象，則 a 、 b 、 c 、 d 與 1 的大小關(guān)系是（ D ） A、 a ＜ b ＜ 1＜ c ＜ d B、 a ＜ b ＜ 1＜ d ＜ c C、 b ＜ a ＜ 1＜ c ＜ d D、 b ＜ a ＜ 1＜ d ＜ c 提示：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)圖象的排列是“底大的在上”，增函數(shù)的底大于 1，減函數(shù)的底大于 0 且小于 1． （ 3）函數(shù) ||2)( xxf ?? 的值域是（ A ） A． ]1,0( B． )1,0( C． ),0( ?? D． R 提示：令 ||tx?? ，則 0t? ，∴ 2 (0 )tyt??，其值域?yàn)?]1,0( ，答案為 A． （ 4）函數(shù) 22)21( ???? xxy 得單調(diào)遞增區(qū)間是 ]2,21[ 提示：由 2 20xx? ? ? ? 得： 12x? ? ? ，以 12 為底的指數(shù)函數(shù)是 減函數(shù)，則二次函數(shù)2 2xx? ? ? ( 12x? ? ? )的減區(qū)間 ]2,21[ 就是所給函數(shù)的增區(qū)間． （ 5）已知 10a? ? ? ，則三個(gè)數(shù) 331,3 aaa 由小到大的順序是 提示： 1 333 0, 0, 0a aa? ? ?，又 01a?? ? ，故 1 33( ) ( )aa? ? ? ，所以， 1 33aa? ． 例 2． 計(jì)算下列各式： （ 1 ） )32()32(28)67( ?????????；（ 2 ）4133 33223338 (1 2 )24a a b b aaa ab b? ? ? ???． 解：（ 1）原式＝ 1 1 13 1 1 63 3 34 4 222( ) 1 2 2 ( 2 3 ) ( ) 2 4 2 7 1 1 033? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． （ 2）令 1133,a m b n??，則：原式 4 3 3 3 22 2 2 28 2 ( 8 )( 1 )2 4 2 4 2m m n n m m n mmm m n n m m m n n m n??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 2 2 322( 2 ) ( 2 4 )( 2 4 ) ( 2 )m m n m m n n mam m n n m n? ? ?? ? ?? ? ? 例 3． 已知函數(shù)11)( ??? xxaaxf ( 1)a?． （ 1）判斷函數(shù) ()fx的奇偶性；（ 2）求 ()fx的值域； （ 3）證明 ()fx在 (－∞， +∞ )上是增函數(shù) ． 解 ：（ 1）函數(shù)的定義域?yàn)?R． 1 1 1( ) ( )1 1 1x x xx x xa a af x f xa a a?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?，所以 ()fx是奇函數(shù) ． （ 2）由 11xxay a ?? ?得： 11x ya y?? ? ，由 0xa? ，得： 1 01 yy? ?? ，故 11y? ? ? ， ()fx函數(shù) 值域?yàn)?(－ 1， 1) ． .（ 3） 設(shè) 12xx? ， 則 1111)()(221121 ???????xxxx aaaaxfxf 。 = 1 2 1 2 1 21 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x x xx x x xa a a a a aa a a a? ? ? ? ? ??? ? ? ? ∵ 1a? ， 12xx? ，∴ 12xxaa? ， 又∵ 121 0, 1 0xxaa? ? ? ?， ∴ 12( ) ( ) 0f x f x??，即 12( ) ( )f x f x? ， ∴ 函數(shù) ()fx在 (－∞， +∞ )上是增函數(shù) ． 例 4．已知函數(shù) 2 2 1 ( 0 1 )xxy a a a a? ? ? ? ?且在區(qū)間 ]1,1[? 上的最大值是 14 ，求 a 的值 . 解： xta? ，則 222 1 ( 1 ) 2 ( )y t t t f t? ? ? ? ? ? ?， 對稱軸方程為 1??t . 當(dāng) 01a??時(shí)，∵ 11x? ? ? ，∴ 1ata?? ，此時(shí)， y 關(guān)于 t 單調(diào)增， ∴ m a x 21 1 2( ) 1 1 4yf a a a? ? ? ? ?，21215 0aa? ? ?，∴ 35aa? ? ?或 （ 舍 ），∴ 13a? ． 當(dāng) 1a? 時(shí)，∵ 11x? ? ? ，∴ 1 taa?? ，此時(shí)， y 關(guān)于 t 單調(diào)增， ∴ 2m a x ( ) 2 1 14y f a a a? ? ? ? ?， 2 2 15 0aa? ? ，∴ 35aa? ? ?或 （ 舍 ） 綜上： 3?a 或 13a? ． 【課內(nèi)練習(xí)】 1．已知映射 f ： A? B，其中 集合 A=｛－ 3，－ 2，－ 1，１，２，３，４｝，集合Ｂ中的元素都是Ａ中元素在映射 f 下的象，且對于任意的 a ?Ａ，在Ｂ中和它對應(yīng)的元素是 1||a ，則集合Ｂ中元素的個(gè)數(shù)是（ A） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ 提示： B 1 1 1{ , , 1, }3 2 4? 2． 35 4 ( 0)a aaa ? 的值是（ D ） A． 1 B、 a C、 15a D、 1710a 提示： 1 4 1 733 3 2 5 1 0415 4 52aa aaaaaa??? ? ??，答案為 D． 3．設(shè) m,n∈ N*, 0, 0ab??，則下列各式中正確的有（ C ）個(gè) ① m n mna a a?? ； ② ()m n mnaa? ；③ ()n n nab a b? ；④ ()m m ma abb ? ；⑤ ()m m ma abb ?? A． 5 B． 4 C． 3 D． 2 提示：②③⑤正確，①④錯(cuò)誤． a?0 時(shí)，函數(shù) y ax b? ? 和 y bax? 的圖象只可能是（ A ） 提示：先考慮直線 y ax b? ? 中的 a 、 b 的正負(fù)，再驗(yàn)證 y bax? 的單調(diào)性，易知，答案為A． 5． 在某種細(xì)菌培養(yǎng)過程中，每 30 分鐘分裂一次（一個(gè)分裂為兩個(gè)），經(jīng)過 4 個(gè)小時(shí)，這種細(xì)菌由一個(gè)可繁殖成 256 個(gè)． 提示： 經(jīng)過 4 個(gè)小時(shí) ，共有細(xì)菌 82 256? （個(gè)）． 6． 若函數(shù) ()fx的定義域?yàn)?(0,1) ，則函數(shù) (2 )xf ? 的定義域?yàn)? (0, )?? 提示：由 0 2 1x???得 0x?? ，∴ 0x? 7． 若 11223xx???，則 33222223xxxx??????? 25 . 提示：由 11223xx???得： 1 29xx?? ? ? ，∴ 1 7xx???， ∴ 222 49xx?? ? ? ，∴ 2247xx??? ∵ 3 3 1 1 1 132 2 2 2 2 2( ) 3 ( ) 2 7 9 1 8x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?，∴ 原式＝ 18 2 247 3 5? ?? ． 8．求函數(shù) yxx? ??15 11的定義域 . 解：要使函數(shù)有意義必須： 10 1 01001x xxxx xx??? ???? ? ? ??? ?? ????且 ∴ 定義域?yàn)椋?? ?x x R x x? ? ?且 0 1, 9．若 02x??，求函數(shù) 124 3 2 5x xy ?? ? ? ?的最大值與最小值 . 解：令 2xt? ，∵ 02x?? ∴ 14t?? 221 1 13 5 ( 3 )2 2 2y t t t? ? ? ? ? ? 當(dāng) 3t? 時(shí)， y 有最小值 12 ；當(dāng) 1t? 時(shí)， y 有最大值 52 . 10． 討論函數(shù) 10 10()10 10xxfx ???? ?的奇偶性與單調(diào)性及其值域 . 解：①函數(shù) 10 10()10 10xxfx ???? ?的定義域是 R ． 又∵ 1 0 1 0 1 0 1 0( ) ( )1 0 1 0 1 0 1 0x x x xx x x xf x f x????? ? ? ? ? ???，故函數(shù) ()fx為奇函數(shù) ． ②任取 12,x x R? ，且 12xx? ， 則 2 2 1 1 2 12 2 1 1 2 12212 221 0 1 0 1 0 1 0 2 ( 1 0 1 0 )( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 0 ( 1 0 1 ) ( 1 0 1 )x x x x x xx x x x x xf x f x??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 又∵ 10x 為增函數(shù) ∴當(dāng) 12xx? 時(shí)， 212210 10 0xx??，而 12221 0 1 0 ,1 0 1 0xx? ? ? ?， ∴ 21( ) ( ) 0f x f x??，即 21( ) ( )f x f x? ，所以 ()fx是 R 上的增函數(shù) ③ 2221 0 1 0 1 0 1 211 0 1 0 1 0 1 1 0 1x x xx x x xy????? ? ? ?? ? ? ∵ 210 1 1x ?? ∴210110 1x??? ∴222022 1x? ? ? ?? ∴221 1 110 1x? ? ? ?? ∴函數(shù)的值域?yàn)椋?? 1， 1） . 作業(yè)本 A 組 1．在 M 到 N 的映射中，下列說法正確的是（ D ） A． M 中有兩個(gè)不同的元素對應(yīng)的象必不相同 B． N 中有 兩個(gè)不同的元素的原象可能相同 C． N 中的每一個(gè)元素都有原象 D． N 中的某一個(gè)元素的原象可能不只一個(gè) 提示： M 中兩個(gè)不同的元素對應(yīng)的象可以相同， N 中的元素可以沒有原象．答案為 D． 2． 函數(shù) 2( 3 3) xy a a a? ? ? ?是指數(shù)函數(shù)，則有（ C） . A． 1a? 或 2a? B． 1a? C． 2a? D． 0a? 且 1a? 提示：2 3 3 101aaaa? ? ? ???????得： 2a? ，答案為 C． 3． 已知 21333211( ) , 2 , ( )22a b c?? ? ?，則下列關(guān)系中正確的是（ D ） A abc?? B c a b?? C a c b?? D 提示： 321()2b?，有 1()2xy? 在 R 上為減函數(shù)知 bac??，答案為 D． 4． (2 )xya?? 在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是 （ 1， 2） 提示： 由 0 2 1a? ? ? 解得： 12a?? 5． 若指數(shù)函數(shù) xay? 在 [－ 1,1]上的最大值與最小值的差是 1，則底數(shù) a? 提 示 ： 若 01a?? ，則 1 1aa? ?? ，即 2 10aa? ? ? ， 解 得 ：1 5 1 522aa? ? ? ???或 （ 舍 去 ）． 若 1a? ，則 1 1aa???即 2 10aa? ? ? ，解得： 1 5 1 522aa????或