【正文】 多項(xiàng)式函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)作為工具來研究其單調(diào)性。[解析]在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3， 即【名師指引】這里利用了分離參數(shù)的方法，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。本題考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉(zhuǎn)化化歸思想；題型2：利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍[例4] （2000年上海）已知函數(shù)若對(duì)任意恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍?！久麕熤敢繉?duì)于函數(shù)若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號(hào)是否成立，否則會(huì)得到而認(rèn)為其最小值為，但實(shí)際上，要取得等號(hào)，必須使得，這時(shí)所以，用均值不等式來求最值時(shí)，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。在區(qū)間上為增函數(shù)。 C．。f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函數(shù)，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.【名師指引】解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略.[新題導(dǎo)練]1．（珠海北大希望之星實(shí)驗(yàn)學(xué)校09屆高三）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）A．。f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）[解析]（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f 2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）證明：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f（0）=f（x）f（b）.（1）求證：f（0）=1；（2）求證：對(duì)任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；（4）若f（x）★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1 函數(shù)的單調(diào)性題型1：討論函數(shù)的單調(diào)性 [例1] (2008廣東)設(shè),函數(shù).試討論函數(shù)的單調(diào)性.[解題思路]分段函數(shù)要分段處理，由于每一段都是基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，所以應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)來研究。（3）基本不等式法：當(dāng)函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時(shí)常用此法（但有注意等號(hào)是否取得）。②復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則是“異減同增”2．函數(shù)的最值的求法（1）若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù)，常用配方法。如果用導(dǎo)數(shù)證明在某區(qū)間上遞增或遞減，那么就證明在某區(qū)間上或。但是要注意，不能用區(qū)間上的兩個(gè)特殊值來代替。★重、難點(diǎn)突破重點(diǎn)：掌握求函數(shù)的單調(diào)性與最值的方法難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的理解，尤其用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與最值重難點(diǎn)：（1） 函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論,所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求函數(shù)的定義域；（2）函數(shù)單調(diào)性定義中的，有三個(gè)特征：一是任意性；二是大小，即；三是同屬于一個(gè)單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可；（3）若用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，則在某區(qū)間上（）僅是為區(qū)間上的增函數(shù)（減函數(shù)）的充分不必要條件。方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。 （I）求的解析式； （II）是否存在實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。湖南改編）設(shè)函數(shù)若,則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為 [解析] 3；由,可得，從而方程等價(jià)于或，解得到或，從而得方程的解的個(gè)數(shù)為34．（05江蘇）已知為常數(shù)，若，則= [解析] 2；因?yàn)椋杂?，所以，解得或，所?．對(duì)記，函數(shù)的最小值是（ ）A.；B. ；C.；D.[解析] C；作出和的圖象即可得到函數(shù)的最小值是6．（中山市09屆高三統(tǒng)測）已知函數(shù) 其中， 。又若，求。[新題導(dǎo)練]9．（09年潮州金山中學(xué)）已知函數(shù)，則 [解析] 2；由已知得到10．（06山東改編）設(shè)則不等式的解集為 [解析] ；當(dāng)時(shí)，由得，得當(dāng)時(shí)，由得，得備選例題1： (2005[思路點(diǎn)撥]需將來絕對(duì)值符號(hào)打開，即先解，然后依分界點(diǎn)將函數(shù)分段表示，再畫出圖象。題型2：由分段函數(shù)的解析式畫出它的圖象例6] (2006已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（Ⅰ）從藥物釋放開媽，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ；（Ⅱ）據(jù)測定，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過 小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室。[解題思路]（1）由于已知是二次函數(shù)，故可應(yīng)用待定系數(shù)法求解；（2）用數(shù)表示形，可得求對(duì)于恒成立，從而通過分離參數(shù)，求函數(shù)的最值即可。題型2：求二次函數(shù)的解析式 [例4] （普寧市城東中學(xué)09屆高三第二次月考）二次函數(shù)滿足，且。[解析]由表中對(duì)應(yīng)值知=；當(dāng)時(shí)，不滿足條件當(dāng)時(shí)，滿足條件，當(dāng)時(shí)，不滿足條件，∴滿足的的值是【名師指引】用列表法表示函數(shù)具有明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是從表格發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，用好對(duì)應(yīng)關(guān)系即可。2．(2005高考中的熱點(diǎn)題型是“知式選圖”和“知圖選式”。[解析]由圖甲知，每個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水速度為每小時(shí)1個(gè)單位，兩個(gè)進(jìn)水口1個(gè)小時(shí)共進(jìn)水2個(gè)單位，3個(gè)小時(shí)共進(jìn)水6個(gè)單位，由圖丙知①正確；而由圖丙知，3點(diǎn)到4點(diǎn)應(yīng)該是有一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，出水口出水，故②錯(cuò)誤；由圖丙知，4點(diǎn)到6點(diǎn)可能是不進(jìn)水不出水，也可能是兩個(gè)進(jìn)水口都進(jìn)水，同時(shí)出水口也出水，故③不一定正確。二、分段函數(shù) 在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。故解得或。[新題導(dǎo)練] 3.（2008安徽文、理）函數(shù)的定義域?yàn)? ．[解析] ；由解得4．定義在上的函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域?yàn)? ) A．；B．；C．；D．無法確定 [解析] B；函數(shù)的圖象可以視為函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位而得到，所以，它們的值域是一樣的5．(2008江西改) 若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是 [解析] ；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以?duì)，但故6．(2008江西理改)若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是 [解析] ；可以視為以為變量的函數(shù)，令，則，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故的最大值是，最小值是2考點(diǎn)三：映射的概念【名師指引】理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的，是一個(gè)整體系統(tǒng)；（2）對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從集合B到集合A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；（3）集合A中每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對(duì)應(yīng)的本質(zhì)特征；（4）集合A中不同元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（5）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.[新題導(dǎo)練] 7．集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立從A到B的映射個(gè)數(shù)是__________，從B到A的映射個(gè)數(shù)是__________.[解析] 9 , 8；從A到B可分兩步進(jìn)行：第一步A中的元素3可有3種對(duì)應(yīng)方法（可對(duì)應(yīng)5或6或7），不同的映射種數(shù)N1＝33＝，道理相同，有N2＝222＝8種不同映射.8．若f :y=3x+1是從集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一個(gè)映射，求自然數(shù)a、k的值及集合A、B.[解析] a=2，k=5，A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}；∵f（1）=31+1=4，f（2）=32+1=7，f（3）=33+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定義知（1）或（2） ∵a∈N，∴方程組（1）無解.解方程組（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.★搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：1．(2007.【名師指引】求復(fù)合函數(shù)定義域,即已知函數(shù)的定義為，則函數(shù)的定義域是滿足不等式的x的取值范圍；一般地，若函數(shù)的定義域是，指的是，要求的定義域就是時(shí)的值域。湖北）設(shè)，則的定義域?yàn)椋? ）A. ；B. ；C. ；D. [解題思路]要求復(fù)合函數(shù)的定義域，應(yīng)先求的定義域。[解析]欲使函數(shù)有意義，必須并且只需，故應(yīng)選擇 【名師指引】如沒有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的的取值范圍，實(shí)際操作時(shí)要注意：①分母不能為0；② 對(duì)數(shù)的真數(shù)必須為正；③偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；④零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0；⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0；⑥若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合的交集；⑦如果涉及實(shí)際問題，還應(yīng)使得實(shí)際問題有意義，而且注意：研究函數(shù)的有關(guān)問題一定要注意定義域優(yōu)先原則，實(shí)際問題的定義域不要漏寫。B.；C. 。 C. y = 。佛山) 下列函數(shù)中與函數(shù)相同的是( )A .y = ()2 。第（5）小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)。[解析] （1）由于，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù).（2）由于函數(shù)的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù).（3）由于當(dāng)n∈N*時(shí)，2n177。如求函數(shù)的值域，因?yàn)?，而，所以，故?）利用基本不等式求值域：如求函數(shù)的值域當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若，則若，則，從而得所求值域是（6）利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)的值域因，故函數(shù)在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增，從而可得所求值域?yàn)椋?）圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域（求某些分段函數(shù)的值域常用此法）。（3）判別式法：通過對(duì)二次方程的實(shí)根的判別求值域。 D. [解析] A；依題意得，所以，故應(yīng)選A8．（09屆惠州第一次調(diào)研考）設(shè)A、B是非空集合，定義，已知A=，B=，則AB等于（ ）A．；B．；C．；D．[解析]D；，∴A=[0，2]，∴B=（1，＋∞），∴A∪B=[0, ＋∞），A∩B=（1，2]，則AB＝第2講 函數(shù)與映射的概念★知識(shí)梳理1．函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義：設(shè)是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中的每一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從到的一個(gè)函數(shù)，通常記為(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)中，叫做自變量，的取值范圍叫做的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域。 B.。C．。同時(shí)，要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.★搶分頻道UBA基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：1． （09年吳川市川西中學(xué)09屆第四次月考）設(shè)全集, 則右圖中陰影部分表示的集合為 ( )A．；B．；C．；D．[解析]C；圖中陰影部分表示的集合是，而，故2. （韶關(guān)09屆高三摸底考）已知 則=A．；B．；C．；D．[解析] A；因?yàn)?，所?. （蘇州09屆高三調(diào)研考）集合的所有子集個(gè)數(shù)為 [解析]8；集合的所有子集個(gè)數(shù)為4.（09年無