【正文】 S上上側(cè)，1S`)3Vh?上， （其中,`S是上，下底面面積，h 為棱臺(tái)的高） 圓臺(tái)——用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái). 圓臺(tái)的性質(zhì)：①圓臺(tái)的上下底面，與底面平行的截面都是圓；②圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；③圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐來(lái)研究。O CDA B HS rl h上 上 上上 上上 上上 上 上上 上 圓錐的性質(zhì)：①平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；②軸截面是等腰三角形；如右圖： SAB③如右圖： 22lhr??. 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以頂點(diǎn)為圓心，以母線長(zhǎng)為半徑的扇形。 ） （如上圖： ,SOBHSOBAA為直角三角形） 側(cè)面展開(kāi)圖：正 n 棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是有 n 個(gè)全等的等腰三角形組成的。 正棱錐——如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。B39。A39。C1D1B1 CDA BA1 上 上 上上 上 上 上上上 上F39。C39。B39。l 上上上上上上 相關(guān)棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的關(guān)系： ① ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?????底 面 是 正 多 形棱 垂 直 于 底 面斜 棱 柱棱 柱 正 棱 柱直 棱 柱 其 他 棱 柱②四棱柱 底面為平行四邊形 平行六面體 側(cè)棱垂直于底面 直平行六面體 底面為矩形 長(zhǎng)方體 底面為正方形 正四棱柱 側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等 正方體 棱柱的性質(zhì)：①側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；②兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；③過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；④直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，側(cè)面與對(duì)角面是矩形。其中，這條定直線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的軸。高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列》——高中數(shù)學(xué)必修二立體幾何初步一、基礎(chǔ)知識(shí)（理解去記）（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體——由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體. 圍成多面體的各個(gè)多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。1yx .例 9 已知 a0, a?1，試求使方程 loga(xak)=loga2(x2a2)有解的 k 的取值范圍。例 7 （經(jīng)典例題）解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化為xxx?????????????65321=1。解此類(lèi)方程的主要思想是通過(guò)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換元等進(jìn)行化簡(jiǎn)求解?！窘狻? 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t，則 p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以 9 t +12 t =16 t，即 1+.342tt???????記 x=tpq???????3412，則 1+x=x2，解得.251?x又 pq0，所以 =.251?例 5 （經(jīng)典例題）對(duì)于正整數(shù) a, b, c(a≤b≤c)和實(shí)數(shù) x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且 wzyx1??，求證：a+b=c.【證明】 由 ax=by=cz=70w 取常用對(duì)數(shù)得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以1lga= xlg70, 1lgb= ylg70, w1lgc= zlg70，相加得 w(lga+lgb+lgc)=???????xlg70，由題設(shè) wzyx1??，所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70.所以 abc=70=257.若 a=1，則因?yàn)?xlga=wlg70，所以 w=0 與題設(shè)矛盾，所以 a1.又 a≤b≤c，且 a, b, c 為 70 的正約數(shù)，所以只有 a=2, b=5, c=7.所以 a+b=c.例 6 （經(jīng)典例題） 已知 x?1, ac 1, a?1, c 1. 且 logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab.【證明】 由題設(shè) logax+logcx=2logbx，化為以 a 為底的對(duì)數(shù)，得bcxaaalog2llog??，因?yàn)?ac0, ac?1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab.注：指數(shù)與對(duì)數(shù)式互化，取對(duì)數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。所以 f(t)min=f( 42c)= + 2，所以 u≥ 42c+ +2.當(dāng) x=y= 2時(shí)，等號(hào)成立. 所以 u 的最小值為2+ c+2.2．指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算技巧。【解】u= =xy+ xy1?≥xy+ +2***注釋?zhuān)焊鶕?jù)許多省市的 2022 年高考大綱，柯西不等式已經(jīng)淡化，同學(xué)只需大致了解就即可，不需深入做題?！咀C明】 令 f(x)= （ ?ni12）x22(??nii1)x+ ?nib12=?iiix2)(,因?yàn)??nia120，且對(duì)任意 x∈R, f(x)≥0，所以△=4(??niiba1)4（ ?nia12）( ?nib12)≤0.展開(kāi)得（ ?ni12）( ?ni12)≥( ?nii1)2。所以要證原不等式成立，只需證 f(1)0 且 f(1)0（因?yàn)?a1）.因?yàn)?f(1)=(b+c)+bc+1=(1b)(1c)0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10.例 2 （ 06） （柯西不等式）若 a1, a2,…,an 是不全為 0 的實(shí)數(shù)，b1, b2,…,bn∈R，則（??nia1）二、基礎(chǔ)例題（必懂）1．構(gòu)造函數(shù)解題。 （請(qǐng)同學(xué)自己用定義證明）6．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若 ab, f(x)在[a, b]上連續(xù)，且 f(a)4．對(duì)數(shù)的性質(zhì)（M0, N0） ；1）ax=M ?x=logaM(a0, a?1)；2）loga(MN)= loga M+ loga N；3）loga（M）= loga M loga N；4）loga Mn=n loga M（萬(wàn)能恒等式）5）loga n=1loga M；6）aloga M=M。3．對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如 y=logax(a0, a?1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，+∞） ，值域?yàn)?R，圖象過(guò)定點(diǎn)（1，0） 。第三章、基本初等函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)（必會(huì)）1．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如 y=ax(a0, a?1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)?R，值域?yàn)椋?，+∞） ，當(dāng) 0a1 時(shí)，y=ax 是減函數(shù)，當(dāng) a1 時(shí)，y=ax 為增函數(shù)，它的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，1） 。定理 1 若 a, b∈R, |a||b|≤|a+b|≤|a|+|b|.——絕對(duì)值不等式【證明】 因?yàn)閨a|≤a≤|a|,|b|≤b≤|b|，所以(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若 m0，則m≤x≤m 等價(jià)于|x|≤m）.又|a|=|a+bb|≤|a+b|+|b|,即|a||b|≤|a+b|.綜上定理 1 得證。綜上，充分性得證。再證充分性，若 A≥0，B≥0，C≥0 且 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，1）若 A=0，則由 B2+C2≤2BC 得(BC)2≤0，所以 B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。綜上，a 的取值范圍是 1a≤2.14．充分性與必要性。ⅱ）當(dāng) a= 時(shí)，a=1a，①無(wú)解?！窘狻? 因?yàn)榉匠?x2x+aa2=0 的兩根為 x1=a, x2=1a,若 a≤0，則 x1x2.①的解集為 ax1a，由②得 x12a.因?yàn)?12a≥1a，所以 a≤0,所以不等式組無(wú)解。ⅱ) 2b(b+1)，即 b2 時(shí)，x2+bx 在[0，(b+1)]上是減函數(shù)，所以 x2+bx 的最小值為 b+1,b+1= 21,b=3.綜上，b= 23.。y=5u2u+1=5 09????????u,且當(dāng) 10?即 x=?3 時(shí)，ymin= 21.例 7 設(shè)變量 x 滿(mǎn)足 x2+bx≤x(b1)，并且 x2+bx 的最小值是 21?，求 b 的值。例 6 （經(jīng)典例題）當(dāng) x 取何值時(shí)，函數(shù) y=24)1(5?x取最小值？求出這個(gè)最小值。即方程的正根比 1 小，負(fù)根比1 大。例 5 （經(jīng)典例題） 已知關(guān)于 x 的方程(ax+1)2=a2(ax2), a1，求證：方程的正根比 1 小，負(fù)根比1 大。10．利用二次函數(shù)表達(dá)式解題。所以 f(f(x))x，所以方程 f(f(x))=x 無(wú)實(shí)根。例 3 （經(jīng)典例題） 已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a?0)，若方程 f(x)=x 無(wú)實(shí)根，求證：方程 f(f(x))=x 也無(wú)實(shí)根。例 1 （經(jīng)典例題） 設(shè)方程 x2x+1=0 的兩根是 α，β，求滿(mǎn)足 f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1 的二次函數(shù) f(x).【解】 設(shè) f(x)=ax2+bx+c(a?0),則由已知 f(α)=β,f(β)=α 相減并整理得（αβ）[（α+β）a+b+1]=0，因?yàn)榉匠?x2x+1=0 中△ 0，所以 α ?β，所以(α+β)a+b+1=0.又 α+β=1,所以 a+b+1=0.又因?yàn)?f(1)=a+b+c=1，所以 c1=1，所以 c=2.又 b=(a+1)，所以 f(x)=ax2(a+1)x+2.再由 f(α)=β 得 aα2(a+1)α+2=β,所以 aα2aα+2=α+β=1，所以 aα2aα+1=0.即 a(α2α+1)+1a=0,即 1a=0，所以 a=1,所以 f(x)=x22x+2.8．方程的思想例 2 （） 已知 f(x)=ax2c 滿(mǎn)足4≤f(1)≤1, 1≤f(2)≤5，求 f(3)的取值范圍。同理若 xy 也可得出矛盾。14?x23?= )23)((512??x0,所以 f(x)在（∞， ）上遞增，同理 f(x)在[ 4，+∞）上遞增。即 y=f1(x)在(∞,+ ∞)遞增。若 f(x)在(∞,+ ∞)上遞增，求證：y=f1(x)在(∞,+ ∞)上也是增函數(shù)。6．關(guān)于反函數(shù)?！窘狻坑珊瘮?shù)解析式得(y1)x2+3(y+1)x+4y4=0. ①當(dāng) y?1 時(shí)，①式是關(guān)于 x 的方程有實(shí)根。5．判別式法?！窘狻苛?x?1+ ?=u，因?yàn)?x∈[0,1]，所以 2≤u2=2+2 2?≤4,所以2≤u≤2,所以 2≤u≤2，1≤ 2u≤2，所以 y=?u,u2∈[ +2，8]。4．換元法。例 7 （經(jīng)典例題） 求函數(shù) y=x+ 12?x的值域。同理有 m+n=0,x= 54,但與 m0 矛盾。全國(guó)） 解方程：(3x1)( 15692??x)+(2x3)( 1324??x+1)=0.【解】 令 m=3x1, n=2x3，方程化為m( 42?m+1)+n( 42?n+1)=0. ①若 m=0，則由①得 n=0，但 m, n 不同時(shí)為 0，所以 m?0, n 0.ⅰ)若 m0，則由①得 n0，設(shè) f(t)=t( 42?t+1),則 f(t)在（0，+∞）上是增函數(shù)。例 5 （全國(guó)） 設(shè) f(x)是定義在（∞，+∞）上以 2 為周期的函數(shù)，對(duì) k∈Z, 用 Ik表示區(qū)間(2k1, 2k+1]，已知當(dāng) x∈I0 時(shí)，f(x)=x2，求 f(x)在 Ik 上的解析式?！窘狻? 因?yàn)?f(x) 是奇函數(shù)，所以 f(1a2)=f(a21)，由題設(shè) f(1a)f(a21)。事實(shí)上，若 ab，則 f(b)f(a)=b3a3+1997(ba)=(ba)(b2+ba+a2+1997)0，所以 f(t)遞增。所以 f(x)max= .10?！窘狻? f(x)=2 )0()()3()(??x，記點(diǎn) P(x, x2)，xyx11xA（3，2） ，B（0，1） ，則 f(x)表示動(dòng)點(diǎn) P 到點(diǎn) A 和 B 距離的差。例 1（） 求方程|x1|= x1的正根的個(gè)數(shù).【解】 分別畫(huà)出 y=|x1|和 y= 的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)正根。定義 3 如果命題“若 p 則 q”為真，則記為 p?q 否則記作 p?“若 p 則 q”中，如果已知 p?q,則 p 是 q 的充分條件；如果 q p，則稱(chēng) p 是 q 的必要條件；如果 p?q但 q 不 p，則稱(chēng) p 是 q 的充分非必要條件；如果 p 不 q 但 p q，則 p 稱(chēng)為 q 的必要非充分條件；若 p q 且 q p，則 p 是 q 的充要條件。一個(gè)命題的逆命題和否命題同真假。定義 2 原命題：若 p 則 q（p 為條件，q 為結(jié)論） ；逆命題：若 q 則 p；否命題：若非 p 則q；逆否命題：若非 q 則非 p。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或” 、 “且” 、 “非”的命題叫做簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。f(x)在[m, n]上的最小值為 f(m)；當(dāng) x0n 時(shí)，f(x)在[m, n]上的最小值為 f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出） 。