【正文】 [解] 見圖 106，以 A 為原點(diǎn)，直線 AB 為 x 軸建立坐標(biāo)系，H 為 OM 與圓的交點(diǎn)，N 為T1T2 與 OM 的交點(diǎn)，記 BC=1。2 時，軌跡方程為 x2+y2=4；當(dāng) sinα=1 時，軌跡方程為 x=0.7．與圓有關(guān)的問題。代入已知圓的方程得 t2t?2sinα=0.所以 t=0 或 t=2sinα。例 7 如圖 105 所示，過原點(diǎn)引直線交圓 x2+(y1)2=1 于 Q 點(diǎn)，在該直線上取 P 點(diǎn)，使 P到直線 y=2 的距離等于|PQ|，求 P 點(diǎn)的軌跡方程。[解] （1）由已知得????????,032,4xy或?????????.032,41xy解得點(diǎn)(x, y)所在的平面區(qū)域如圖 104 所示，其中各直線方程如圖所示。又因?yàn)閙21≤2m，所以 12???，所以 SΔABC≥.41當(dāng) m=1 時， （SΔABC）max= 43；當(dāng) m=1 時， （SΔABC）min= .5．線性規(guī)劃。所以 SΔABC=???????22。在①，③中取 x=1, y=0，知等式成立，所以 A(1, 0)為 l1 與 l3 的交點(diǎn)；在②，③中取 x=0, y=m+1，等式也成立，所以 B(0, m+1)為 l2 與 l3 的交點(diǎn)。例 5 已知三條直線 l1: mxy+m=0, l2: x+mym(m+1)=0, l3: (m+1)xy+m+1=0 圍成ΔABC，求 m 為何值時，ΔABC 的面積有最大值、最小值。例 4 求函數(shù) 1163)(2424 ?????xxxf的最大值。所以命題成立。例 3 設(shè)雙曲線 xy=1 的兩支為 C1，C2，正 ΔPQR 三頂點(diǎn)在此雙曲線上，求證：P，Q，R 不可能在雙曲線的同一支上。所以∠EDF=600。[證明] 以 A 為原點(diǎn)，平行于正三角形 ABC 的邊 BC 的直線為 x 軸，建立直角坐標(biāo)系見圖102，設(shè)⊙D 的半徑等于 BC 邊上的高，并且在 B 能上能下滾動到某位置時與 AB，AC 的交點(diǎn)分別為 E，F(xiàn)，設(shè)半徑為 r，則直線 AB，AC 的方程分別為 y3?, x?.設(shè)⊙D 的方程為(xm)2+y2=r2.①設(shè)點(diǎn) E，F(xiàn) 的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則 ,11223xy??，分別代入 ①并消去 y 得 .03).(0)( 22211 ?????rxmxrm所以 x1, x2 是方程 4x22mx+m2r2=0 的兩根。例 2 （經(jīng)典例題）半徑等于某個正三角形高的圓在這個三角形的一條邊上滾動。因?yàn)?BD?AE，所以 k1k2= 21?k，所以直線 AE 方程為xy21?，由 ??????ayx2,解得點(diǎn) E 坐標(biāo)為??????a32,4。設(shè)點(diǎn) B，C 坐標(biāo)分別為（0,2a）,(2a,0)，則點(diǎn) D 坐標(biāo)為（a, 0） 。例 1 （經(jīng)典例題） 在 ΔABC 中，AB=AC，∠A=900，過 A 引中線 BD 的垂線與 BC 交于點(diǎn) E，求證：∠ADB=∠CDE。不難證明這三條直線交于一點(diǎn)或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。 (D2D3)x+(E2E3)y+(F2F3)=0。若點(diǎn) P(x0, y0)為圓上一點(diǎn)，則過點(diǎn) P 的切線方程為.02022 ???????????????FyExDyx ①14．根軸：到兩圓的切線長相等的點(diǎn)的軌跡為一條直線（或它的一部分） ，這條直線叫兩圓的根軸。13．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F0)。11．解決簡單的線性規(guī)劃問題的一般步驟：（1）確定各變量，并以 x 和 y 表示；（2）寫出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)；（3）畫出滿足約束條件的可行域；（4）求出最優(yōu)解。8．點(diǎn) P(x0, y0)到直線 l: Ax+By+C=0 的距離公式： 20||BACyd??。且兩者不重合，則 l1//l2 的充要條件是 k1=k2；l1 ?l2 的充要條件是 k1k2=1。5．到角與夾角：若直線 l1, l2 的斜率分別為 k1, k2，將 l1 繞它們的交點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到與 l2 重合所轉(zhuǎn)過的最小正角叫 l1 到 l2 的角；l1 與 l2 所成的角中不超過 900 的正角叫兩者的夾角。根據(jù)直線上一點(diǎn)及斜率可求直線方程。3．直線的傾斜角和斜率：直線向上的方向與 x 軸正方向所成的小于 1800 的正角，叫做它的傾斜角。如 x2+y2=1 是以原點(diǎn)為圓心的單位圓的方程。5.（2022 重慶文）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)（A）只有 1 個 （B）恰有 3 個（C）恰有 4 個 （D）有無窮多個【答案】 D【解析】放在正方體中研究,顯然，線段 1O、EF、FG、GH、HE 的中點(diǎn)到兩垂直異面直線 AB、CD 的距離都相等， 所以排除 A、B、C，選 D亦可在四條側(cè)棱上找到四個點(diǎn)到兩垂直異面直線 AB、CD 的距離相等6.（2022 浙江文）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（A）352cm3 （B）0cm3（C）243cm3 （D）1603cm3【答案】B【解析】選 B，本題主要考察了對三視圖所表達(dá)示的空間幾何體的識別以及幾何體體積的計算，屬容易題7.（2022 福建文）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其側(cè)面積等于 ( )A． 3 B．2 C． 2 D．6【答案】D【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為 2，高為1 的正三棱柱，所以底面積為 324??，側(cè)面積為 316??，選 D．8.（2022 全國卷 1 文）已知在半徑為 2 的球面上有 A、B、C、D 四點(diǎn)，若 AB=CD=2,則四面體 ABCD 的體積的最大值為(A) 23 (B)43 (C) 3 (D) 83【答案】B【解析】過 CD 作平面 PCD，使 AB⊥平面 PCD,交 AB 與 P,設(shè)點(diǎn) P 到 CD 的距離為 h,則有ABCD12233Vh???四 面 體,當(dāng)直徑通過 AB 與 CD 的中點(diǎn)時,2max13??,故max4平面解析幾何初步一、基礎(chǔ)知識（理解去記）1．解析幾何的研究對象是曲線與方程。A /a????????上三、趨近高考（必懂）1.（2022 全國卷 2 理）已知正四棱錐 SABCD?中， 23S?，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為（A）1 （B） 3 （C）2 （D）3【答案】C【解析】設(shè)底面邊長為 a，則高 所以體積，設(shè) ，則 ，當(dāng) y 取最值時， ，解得 a=0 或a=4 時，體積最大，此時 ，故選 C.2.（2022 陜西文）若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 [B]（A）2 （B）1（C） 3（D） 3【答案】 B【解析】 如圖，該立體圖形為直三棱柱，所以其體積為1212??平行關(guān)系平面幾何知識線線平行線面平行 面面平行垂直關(guān)系平面幾何知識線線垂直線面垂直 面面垂直判定 性質(zhì) 判定推論性質(zhì)判定判定 性質(zhì)判定面面垂直定義1. ,/aba??? 2. ,/ 3. ,/a? 4. /,a?? 5. /,???? ? ?平行與垂直關(guān)系可互相轉(zhuǎn)化3.（2022 遼寧文）已知 ,SABC是球 O表面上的點(diǎn)， SABC?平 面 ， A?，1SAB?， 2?，則球 的表面積等于（A）4 ? （B）3 ? （C）2 ? （D） ?【答案】A【解析】選 ，球 O的直徑為 2RS?， ?表面積為 ??4.（2022 安徽文）一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積是（A）372 （B）360 （C）292 （D）280【答案】B【解析】該幾何體由兩個長方體組合而成，其表面積等于下面長方體的全面積加上面長方體的 4 個側(cè)面積之和。AB a??證明平行關(guān)系，垂直關(guān)系等方面的問題。你認(rèn)為正確的命題需要證明它，你認(rèn)為錯誤的命題必須找出反例。OA BCP理； 三垂線定理及逆定理的主要應(yīng)用：（1）證明異面直線垂直；（2）作、證二面角的平面角；（3）作點(diǎn)到線的垂線段；【如圖】 面面斜交①二面角：（1）定義：【如圖】 ,OBlAlOBl??????上范圍： [0,18]??②作二面角的平面角的方法：（1）定義法；（2）三垂線法（常用） ；（3）垂面法. 面面垂直（1）定義：若二面角 l???的平面角為 90?，則 ???；（2）判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平????????（線面垂直 面面垂直）（3）性質(zhì)：①若 ，二面角的一個平面角為 MON?，則90MON???；②aABa??????????（面面垂直 ?線面垂直） ；③aA????????. ④二、基礎(chǔ)題型（必懂）概念辨析題：（1）此題型一般出現(xiàn)在 填空題，選擇題中，解題方法可采用排除法，篩選法等?！救鐖D】 PBCO?； PABO?（II）三垂線定理及逆定理：已知 ??，斜線 PA 在平面 內(nèi)的射影為 OA， a??， ①若 A?，則 ——垂直射影 ?垂直斜線，此為三垂線定理； ②若 aP，則 O——垂直斜線 垂直射影，此為三垂線定理的逆定【如圖】（四）垂直關(guān)系（包括線面垂直，面面垂直）①定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。/ababab????????? 【如上圖②】判定 2：：,/???.【如右圖 】③判定與證明面面平行的依據(jù)：（1）定義法；（2）判定定理及推論（常用） （3）判定 2??,/39。b39。范圍： ??0,9???，注：若 /ll?或 ，則直線 l與平面 所成的角為 0?；若 l??，則直線 l與平面 所成的角為 90?。??O④判定或證明線面平行的依據(jù)：（i）定義法（反證）： /ll?????（用于判斷） ；（ii）判定定理：//ab????????“線線平行 面面平行” （用于證明） ；（iii）//a?????“面面平行 線面平行” （用于證明） ；（4）/ba???????（用于判斷） ；： lA??①直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角。ba b39。,a所成的?角為異面直線 ,ab所成的角。/39。圖形語言：符號表述：/,/abca?等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)。用途：常用于證明直線在平面內(nèi).圖形語言： 符號語言：公理 2：不共線的三點(diǎn)確定一個平面. 圖形語言：推論 1：直線與直線外的一點(diǎn)確定一個平面. 圖形語言：推論 2：兩條相交直線確定一個平面. 圖形語言：推論 3：兩條平行直線確定一個平面. 圖形語言：用途：用于確定平面。A39。 B39。C39。二 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面的基本性質(zhì)——無限延展，無邊界 三個定理與三個推論xoy中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變，平行于 x 軸（或在 x 軸上）的線段保持長度不變，平行于 y 軸（或在 y 軸上）的線段長度減半。ox，取 39。 斜二測法：step1：在已知圖形中取互相垂直的軸 Ox、Oy， （即取 90xoy??? ） ；step2：畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的軸 39。： 直觀圖——是觀察著站在某一點(diǎn)觀察一個空間幾何體而畫出的圖形?！怯^察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；正視圖——光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；側(cè)視圖——光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；正視圖——光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方， “長度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右邊，“高度”與正視圖相等， “寬度”與俯視圖。AOO1 B注：球的有關(guān) 問題轉(zhuǎn)化為圓的問題解決. 球面積、 體積公式：234,SRV??球 球（其中 R 為球的半徑）（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖根據(jù)最近幾年高考形式上看，三視圖的考察已經(jīng)淡化，所以同學(xué)只需了解即可：區(qū)分中心投影與平行投影。DOBO39。O CDABSO39。B39。NMA39。O BSr 為底面半徑，h 為圓錐的高，l 為母線長） 棱臺——用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺. 正棱臺的性質(zhì)：①各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；②正棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是正多邊形；③ 如右圖：四邊形 `,`OMNB都是直角梯形④： `SAA上,`上S，注意考慮相似比 . 棱臺的表面積、體積公式：