級線性代數(shù)試題和答案a卷(1)-文庫吧資料
2025-01-12 21:03本頁面
【正文】 Ax b? 的一個特解 ? ?1 1 1 0, 0, T? ??， ， 由線性方程組 Ax b? 解的結(jié)構(gòu)，得 Ax b? 的通解 112110100c c? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 其中 c 為任意常數(shù) . 4．已知實二次型 ? ? ? ?2221 2 3 1 2 3 2 3, , 2 3 3 2 0 ,f x x x x x x x x??? ? ? ? ? 經(jīng)過正交變換 x Qy? ，化為標(biāo)準(zhǔn)形 2 2 21 2 325y y y??，求實參數(shù) ? 以及正交矩陣 Q . 解 二次型 f 的矩陣 2000303A ???????????， 由 f 經(jīng) 正 交變 換所 得的 標(biāo) 準(zhǔn) 形為 2 5 ,y y y??２ ２ ２１ ２ ３ 得 矩陣 A 的 特征 值1 2 31, 2 , 5.? ? ?? ? ?利用特征值的性質(zhì)，行列式 21 2 32000 3 2( 9 ) 10 ,03A ? ? ? ? ????? ? ? ? ???? 可得 2 , 0 , 2.? ? ?? ? ? ?由 題 設(shè) 已 知 故 對于 1 1,?? 求解線性方程組 ( ) 0,E A x??得特征向量 1 (0, 1, 1) 。因為 38 , 2 ,A A A? ? ? ? 所以 ? ?112 0 0 00 2 0 01.2 0 2 0310044A A A AA??????????? ? ? ???? ??????? 由題設(shè)可知 113,AX A XA E????在方程兩端同時左乘 1A? ，右乘 A ，得 3X AX E??，即 ? ? 3E A X E??，故 ? ? 13X E A ???。 2 O AB = C =BOxxx? ? ?? ? ?? ? ??????????， 0 0 100 ,00 5． 設(shè) A 為 n 階可相似對角化的矩陣，且 ? ?r A E r n? ? ? ，則 A 必有特征值??????????????，且其重數(shù)為 ????????????，其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有 ????????????個 . 解 應(yīng)分別填 1， nr, nr 由 r(AE)= rn, ∣ EA∣ =(1)n |AE|=0 可知 ? =1是 A的特征值，又由線性方程組（ EA） x=0 的基礎(chǔ)解系含 nr 個解，知的幾何重數(shù)為 又可知代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)。2022 級線性代數(shù)期末試題答案 一、填空題（每小題 4 分、本題共 28 分） 1．設(shè) A *是 n 階方陣 A 的伴隨矩陣，行列式 2A? ，則 *2A? . 2n n n 1 2 2|=2 2 2 2 2n ?? ? ?n1* * n 1 n 1解 應(yīng) 填因 為 行 列 式|2 A |A |= |A | 2．設(shè) 4 階方陣 A 和 B 的伴隨矩陣為 A? 和 B? ，且它們的秩分別為 3)( ?Ar ，4)( ?Br ，則秩 ?)( **BAr . ? ? ? ?? ? ? ?* * ** * * 1 .14 1.r A r B Br A B r A????解 應(yīng) 填由 題 設(shè) 可 知 ， ， 的 可 逆 矩 陣 ， 故 3． 設(shè) n 維向量 ( , 0, , 0, )Txx? ? L ，其中 0x? ；又設(shè)矩陣 TAE???? ，且1 1 TAEx??? ?? ，則 x = . ? ?? ?? ? ? ? ? ?2112 1 21 1 1 1 1 1 21
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