級線性代數(shù)試題和答案a卷(1)-閱讀頁
2025-01-21 21:03本頁面
【正文】 22 D( 2E A ) ( E A ) =2E 3A +A =0,| 2E A | | E A | =|2E 3A +A | =|0| =0| 2E A | | E A | 2E A E A解 應(yīng) 選因 為 ， 由 行 列 式可 知 與 至 少 有 一 個 為 零 ， 故 與 最 多 有 一 個 為 可 逆 矩 陣 6．設(shè)向量組 (I)是向量組（ II）的線性無關(guān)的部分向量組，則（ ） （ A）向量組 (I)是向量組（ II）的極大線性無關(guān)組； （ B）向量組 (I)與向量組（ II）的秩相等； （ C）當(dāng)向量組 (I)可由向量組（ II）線性表示時， 向量組 (I)與向量組（ II）等價； （ D）當(dāng)向量組（ II）可由向量組 (I)線性表示時，向量組 (I)與向量組（ II）等價 . 解：應(yīng)選 D 7． 設(shè) A 和 B 為 n 階實對稱矩陣，則存在正交矩陣 Q ，使 1Q AQ B? ? ，則 A 正交相似于 B 的充分必要條件為（ ） （ A） A 和 B 都有 n 個線性無關(guān)的特征向量； （ B） r(A) = r(B)； （ C） A 和 B 的主對角線上的元素的和相等； （ D） A 和 B 有相同的特征值 . 解：應(yīng)選 D 三、計算題（每小題 8 分、本題共 32 分） 1．試求行列式 ,A B C 其中 ,ABC 分別為 ,n mn m? 階方陣： 1 1 11 1 11 1 1A=m? ? ?? ? ?? ? ????? ??????????. 解 在 A中將第 j列乘以 1加到第 1列（ j=2， 3， … n） ，并提取公因式 1 1 1 1 11 1 1 1 1| | ( )1 1 1 1 1nxn x x xA n xn x x x? ???? ? ?? ? ?? ? ?LLLM M M M M M 然后將第 1列乘以（ 1）加到第 j列（ j=2,3… ,n） : 11 1 11 1 1| | ( ) ( )1 1 1nxA n x n x xx??? ? ? ??LLM M ML 而 ( 1 )20 0 10 2 0| | ( 1 ) !0000mmBmm?? ? ?LLML ( 2 1 ) 12| | ( 1 ) | || | ( 1 ) ( ) !m n mn m nC A B n x x m?? ?? ? ? ? ? 2．設(shè) 4 階方 陣 ,AX滿足方程 113AXA XA E????，已知矩陣 A 的伴隨矩陣 1 0 0 00 1 0 01 0 1 00 3 0 8??????????A= 求矩陣 X . 解：先求矩陣 A 。 因為 ? ?111 0 0 01 0 0 00 1 0 00 1 0 02 0 1 02 0 1 0433 0 1 000344EA???? ???????? ??? ? ? ???? ??????? ???? ??， 所以 ? ? 13X E A ???3 0 0 00 3 0 06 0 3 00 3 0 4??????? ???????。Ta ?? 對于 2 2,?? 求解線性方程組 (2 ) 0,E A x??得特征向量 2 (1, 0, 0) 。 充分性：由 ? ? ? ?TTT T T T TB A A A A A A B? ? ? ?可知 B 為實對稱矩陣，又有 ? ?r A n? 可知齊次線性方程組 0Ax? 只有零解。 又知（ A+BE）是可逆矩陣，所以 r(A（ A+BE） )=r(A), r(（ A+BE） B)=r(B). 因此 r(A)= r(A（ A+BE） )= r(AB)= r(（ A+BE） B)= r(B)
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