級(jí)線性代數(shù)試題和答案a卷(1)-免費(fèi)閱讀
【正文】 Ta ?? 對(duì)于 2 2,?? 求解線性方程組 (2 ) 0,E A x??得特征向量 2 (1, 0, 0) 。A= 因?yàn)?|A|=0， A* ≠ 0 所以秩 r(A)=n1，因此，向量組 12 n?? ???? 的秩r( 12 n?? ???? )=n1，由此又可知線性方程組 A* x=0 的基礎(chǔ)解系含 n1 個(gè)解，12 n?? ???? 的極大線性無關(guān)組含 n1個(gè)向量，而 A* A= A* ( 12 n?? ???? )=|A|E=0 即 A* =0(j=1 n) ，亦即 12n??? 都是 A* x=0 的解，故 12n??? 的極大線性無關(guān)組可作為 A* x=0 的基礎(chǔ)解系 。因?yàn)? 38 , 2 ,A A A? ? ? ? 所以 ? ?112 0 0 00 2 0 01.2 0 2 0310044A A A AA??????????? ? ? ???? ??????? 由題設(shè)可知 113,AX A XA E????在方程兩端同時(shí)左乘 1A? ，右乘 A ，得 3X AX E??，即 ? ? 3E A X E??，故 ? ? 13X E A ???。因此實(shí)二次型 ? ? ? ? ? ? 2TT T Tf x B x x A A x A x A x A x? ? ? ? 僅當(dāng) 0x? 是，有 0Tf x Bx??，即 Tf x Bx? 是正定二次型，故 TB A A? 是正定矩陣 A 和 B 為 n 階矩陣，且滿足 A2 = A,B2 = B, r(A+BE) = n,證明： r(A) = r(B). 證 由題設(shè)可得 A（ A+BE） = 2A +ABA=AB， （ A+BE） B=AB+ 2B B=AB。xxx? ? ?? ? ?? ? ??????????， 0 0 100 ,00 6．設(shè) A 為 n 階實(shí)矩陣， 1 ,| | 0,TA A A???且 則行列式 ||AE?? . 1 1 T TTTT2 1 1 0.A,( ) ( A = A ( E + A ) ,A + E = A ( E + A ) = A ( E + A ) = A E +A .A , , , A = 1, A 0, A = 1.A + E = A + E .T T TA E A A A A E A A EA A EA A A A A E A A E???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?解 應(yīng) 填因 為 矩 陣 可 逆 且） 而又 由 得 而 故 因 此 7．已知實(shí)二次型 ? ? 2221 2 3 1 2 3 1 2 2 3, , 4 2 2 2f x x x x x x ax x x x? ? ? ? ?為正定二次型，則實(shí)常數(shù) a 的取值范圍為 . 1 2 3221 2 3221 2 3 17 | | ( , , )210410 1 2101| | 1 , | | 4 , | | 4 1 7 2 ,40 1 24 7 222( , , ) (a f x x xaAaaaA A a A a aaa a af x x x x ax????????????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???1 2 3解 應(yīng) 填 二 次 型 的 矩 陣 的 順 序 主 子 式 77由 0 , 0 可 解 得 本 題 也 可 以 利 用 配 方 法 ， 化 f( x ,x ,x ) 為 標(biāo) 準(zhǔn) 型2 2 2 22 2 2 322271) ( ) ( 2 ) ,2 27 7 7
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