級線性代數(shù)試題和答案a卷(1)(更新版)
【正文】 0303A ???????????， 由 f 經(jīng) 正 交變 換所 得的 標(biāo) 準(zhǔn) 形為 2 5 ,y y y??２ ２ ２１ ２ ３ 得 矩陣 A 的 特征 值1 2 31, 2 , 5.? ? ?? ? ?利用特征值的性質(zhì)，行列式 21 2 32000 3 2( 9 ) 10 ,03A ? ? ? ? ????? ? ? ? ???? 可得 2 , 0 , 2.? ? ?? ? ? ?由 題 設(shè) 已 知 故 對于 1 1,?? 求解線性方程組 ( ) 0,E A x??得特征向量 1 (0, 1, 1) 。Ta ? 對于 3 5,?? 求解線性方程組 (5 ) 0,E A x??得特征向量 3 (0, 1, 1) .Ta ? 特征向量 1 2 3,a a a 已是正交向量，將其單位化，得 1 2 30 1 0111 , 0 1 ,221 0 1? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?， 作正交矩陣 1 2 30 2 01( , , ) 1 0 1 ,21 0 1Q ? ? ?????????? 則經(jīng)正交變換 ,x Qy? f 可化為標(biāo)準(zhǔn)形 2 2 21 2 32 5 .y y y?? 四、證明題（每題 8 分，共 16 分） 1．已知 A 為 m n 實矩陣，證明：矩陣 B=ATA 是正定矩陣的充分必要條件為矩陣 A 的秩 r(A) = n. 證明：必要性：由 B 為正定矩陣可得 ? ? ? ?Tr B r A A n??，又 A 為實矩陣， ，因此 ? ?r A n? 。 2 O AB = C =BO 5． 設(shè) A 為 n 階可相似對角化的矩陣，且 ? ?r A E r n? ? ? ，則 A 必有特征值??????????????，且其重數(shù)為 ????????????，其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有 ????????????個 . 解 應(yīng)分別填 1， nr, nr 由 r(AE)= rn, ∣ EA∣ =(1)n |AE|=0 可知 ? =1是 A的特征值，又由線性方程組（ EA） x=0 的基礎(chǔ)解系含 nr 個解，知的幾何重數(shù)為 又可知代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)。m? ? ?? ? ?? ? ????? ??????????. 解 在 A中將第 j列乘以 1加到第 1列（ j=2， 3， … n） ，并提取公因式 1 1 1 1 11 1 1 1 1| | ( )1 1 1 1 1nxn x x xA n xn x x x? ???? ? ?? ? ?? ? ?LLLM M M M M M 然后將第 1列乘以（ 1）加到第 j列（ j=2,3… ,n） : 11 1 11 1 1| | ( ) ( )1 1 1nxA n x n x xx??? ? ? ??LLM M ML 而 ( 1 )20 0 10 2 0| | ( 1 ) !0000mmBmm?? ? ?LLML ( 2 1 ) 12| | ( 1 ) | || | ( 1 ) ( ) !m n mn m nC A B n x x m?? ?? ? ? ? ? 2．設(shè) 4 階方 陣 ,AX滿足方程 113AXA XA E????，已知矩陣 A 的伴隨矩陣 1 0 0 00 1 0 01 0 1 00 3 0 8??????????A= 求矩陣 X . 解：先求矩陣 A 。 又知（ A+BE）是可逆矩陣，所以 r(A（ A+BE） )=r(A), r(（ A+BE） B)=r(B). 因此 r(A)= r(A（ A+BE） )= r(AB)= r(（ A+BE） B)= r(B)
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