級線性代數(shù)試題和答案a卷(1)(已修改)
2025-01-18 21:03 本頁面
【正文】 2022 級線性代數(shù)期末試題答案 一、填空題（每小題 4 分、本題共 28 分） 1．設(shè) A *是 n 階方陣 A 的伴隨矩陣，行列式 2A? ，則 *2A? . 2n n n 1 2 2|=2 2 2 2 2n ?? ? ?n1* * n 1 n 1解 應(yīng) 填因 為 行 列 式|2 A |A |= |A | 2．設(shè) 4 階方陣 A 和 B 的伴隨矩陣為 A? 和 B? ，且它們的秩分別為 3)( ?Ar ，4)( ?Br ，則秩 ?)( **BAr . ? ? ? ?? ? ? ?* * ** * * 1 .14 1.r A r B Br A B r A????解 應(yīng) 填由 題 設(shè) 可 知 ， ， 的 可 逆 矩 陣 ， 故 3． 設(shè) n 維向量 ( , 0, , 0, )Txx? ? L ，其中 0x? ；又設(shè)矩陣 TAE???? ，且1 1 TAEx??? ?? ，則 x = . ? ?? ?? ? ? ? ? ?2112 1 21 1 1 1 1 1 21 1 201 1 11 2 2 1 2 1 1 012TT T T T T TT T T T T T TTTxA A E E Ex x xE E xx x xExxA A Ex x x x xx x xxx??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ? ? ?????? ? ? ???????????? ? ? ? ? ??解 應(yīng) 填 因 為 ， 而 由 及 可 知 故 或 1 0 1xx? ? ?， 又 由 可 得 4．已知 n 階方陣 ? ?ij nnAa??， 12,n? ? ????， 是 A 的列向量組，行列式 0A? ，伴隨矩陣 * OA? ，則齊次線性方程組 * 0Ax? 的通解為 ????????????. 解 應(yīng)填 ? = 11 1 2 2 1... ni i n ik k k? ? ? ??? ? ? ,其中 1 2 1i i i?? ?? ? ? ? 是向量組 12 n?? ???? 的極大線性無關(guān)組， 1 2 1nk k k??? ? 是任意常數(shù)。 因為 |A|=0， A* ≠ 0 所以秩 r(A)=n1，因此，向量組 12 n?? ???? 的秩r( 12 n?? ???? )=n1，由此又可知線性方程組 A* x=0 的基礎(chǔ)解系含 n1 個解，12 n?? ???? 的極大線性無關(guān)組含 n1個向量，而 A* A= A* ( 12 n?? ???? )=|A|E=0 即 A* =0(j=1 n) ，亦即 12n??? 都是 A* x=0 的解，故 12n??? 的極大線性無關(guān)組可作為 A* x=0 的基礎(chǔ)解系 。 5． 設(shè) A 為 n 階可相似對角化的矩陣，且 ? ?r A E r n? ? ? ，則 A 必有特征值??????????????，且其重數(shù)為 ????????????，其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有 ????????????個 . 解 應(yīng)分別填 1， nr, nr 由 r(AE)= rn, ∣ EA∣ =(1)n |AE|=0 可知 ? =1是 A的特征值，又由線性方程組（ EA） x=0 的基礎(chǔ)解系含 nr 個解，知的幾何重數(shù)為 又可知代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)。 6．設(shè) A 為 n 階實矩陣， 1 ,| | 0,TA A A???且 則行列式 ||AE?? . 1 1 T TTTT2 1 1
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