【正文】 第一篇：線性代數(shù)較難試題一、設(shè)A相似于對(duì)角陣，l0是A的特征值，：(1)秩(Al0I)= 秩(Al0I)2；(2)不存在Y，使得(Al0I)Y=：(1)設(shè)A則Al0I故 L=diag{l0,k,l0,lk+1，ln},li185。l0,i=k+1，,(Al0I)2(Ll0I)(Al0I)=rank(Ll0I)=rank(diag{0,k,0,lk+1l0，lnl0}=，rank(Al0I)2=rank(Ll0I)2=rank(diag{0,k,0,(lk+1l0)2，(lnl0)2}=nk=rank(Al0I).（2）如存在Y，使得(Al0I)Y=X0，則2(Al0I)，Y=(Al0I)0X=q由（1）知方程組(Al0I)2X=q與(Al0I)X=q同解。從而(Al0I)Y=q，即X0=q，與X0為特征向量矛盾。二、已知線性方程組An180。nX=b 對(duì)任何b的取值都有解的充要條件是An180。n為可逆陣。證明：充分性:設(shè)A可逆，則對(duì)任意b，X=:解法一: 當(dāng) b取遍所有基本向量組中的向量后, 原方程組都有解, 以這些解向量作為列向量構(gòu)做矩陣B, 顯然 AB=I, 其中 I 為單位陣, 故而: 由題目假設(shè)知任何n維向量 b 都能由 A 的列向量組線性表出, 所以向量空間 Rn的維數(shù)不會(huì)超過(guò)A 的列向量組的秩, 由此得出: A的列向量組的秩為n, 、設(shè)a,b為3元單位列向量，且aTb=0，記A=aaT+bbT。證明：(1)齊次線性方程組AX=0有非零解；233。100249。(2)A相似于矩陣234。010234。234。235。000四、設(shè)n階矩陣A滿足A2=A, r(A)=r(0r163。n)。(1)試確定A的特征值的取值范圍；(2)證明A一定可以相似對(duì)角化；(3)求行列式A2I的值。五、已知Rn中兩個(gè)非零向量：a=(a1,a2,L,an),b=(b1,b2,L,bn)，TT其中n179。2, b1185。0，矩陣A=abT。(1)求A2；(2)求A的特征值和特征向量；(3)判斷A是否可以相似對(duì)角化：若可以，請(qǐng)寫出相似變換矩陣P和對(duì)角矩陣L；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由。第二篇：線性代數(shù)試題線性代數(shù)試題(一)一、填空（每題2分，共20分）(n12…(n1))=。，第三列元素分別為2，3，1，其余子式分別為9，6，24，則D=。，結(jié)論是。，設(shè)A*為A的伴隨矩陣，則A1=。=0,則A1=。230。1246。230。1246。231。247。231。247。2247。231。2247。(1234)231。231。3247。231。3247。(1234)231。247。231。247。231。4247。231。247。232。248。=，232。4248。6.=。,a2,a3線性相關(guān)，則向量組a1,b1,a2,b2,a3,b3一定線性。A1A*，若=3，則= ,=。,a2,Lan，則r(a1,a2,Lan)=。180。nX=b有解的充要條件是。二、單項(xiàng)選擇題（10分，每題2分）k12k1185。0的充要條件是（）1．2。（a）k185。1（b）k185。3（c）k185。1,且k185。3（d）k185。1,或k185。3 ,B,C為n階方陣，則下列各式正確的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,則A=0或B=0(c)（A+B）（AB）=A2B2 d)AC=BC且C可逆,則A=B ，則下述說(shuō)法不正確的是（）A1185。0A185。0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量組線性相關(guān) =(aij)m180。n，AX=0僅有零解的充要條件是（）(a)A的行向量組線性無(wú)關(guān)(b)A的行向量組線性相關(guān)(c)A的列向量組線性無(wú)關(guān)(d)A的列向量組線性相關(guān) a1,a2,Las的秩為r,則下述說(shuō)法不正確的是（）(a)a1,a2,Las中至少有一個(gè)r個(gè)向量的部分組線性無(wú)關(guān)(b)a1,a2,Las中任何r個(gè)向量的線性無(wú)關(guān)部分組與a1,a2,Las可互相線性表示(c)a1,a2,Las中r個(gè)向量的部分組皆線性無(wú)關(guān)(d)a1,a2,Las中r+1個(gè)向量的部分組皆線性相關(guān)三、判斷題（正確的劃√，錯(cuò)誤的劃х，共10分，每題2分）1．5級(jí)排列41253是一個(gè)奇排列。（）2．A為任意的m180。n矩陣, 則ATA, AAT都是對(duì)稱矩陣。（）3．a(chǎn)1,a2,Las線性無(wú)關(guān)，則其中的任意一個(gè)部分組都線性無(wú)關(guān)。（）0004．行列式1001001001000=1（）5．若兩個(gè)向量組可互相線性表示，則它們的秩相等。（）四、計(jì)算n階行列式（12分）xaaaxaaaxLLLaaaaaaLLLLLLaaaLax230。223246。231。247。231。110247。231。121247。248。(13分)注：A不可逆，修改為 2．解矩陣方程AX=A+X,其中A=232。23246。230。2231。247。110231。247。231。122247。232。248。3．求向量組a1=(2,4,2),a2=(1,1,0),a3=(2,3,1)，a4=(3,5,2)的極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。（10分）4．用消元法解下列方程組。（15分）236。239。x1x2+x3x4=1239。237。x1x2x3+x4=0239。1xx2x+2x=1234239。2 238。五、證明題（從下列三題中任選兩道, 每題5分，共10分）1．設(shè)向量組a1,a2,a3線性無(wú)關(guān)，證明a1,a1+a2,a1+a2+a3也線性無(wú)關(guān)。（5分）2．已知向量組a,b,g線性無(wú)關(guān)，而向量組a,b,g,h線性相關(guān)，試證明：（1）向量h一定可由向量組a,b,g線性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）3． A,B是同階對(duì)稱矩陣，證明：AB為對(duì)稱矩陣的充要條件是A與B可交換。（5分）線性代數(shù)試題(一)答案一．(1).n(n1)(2).–12 2xj=DJD(3).線性方程組的系數(shù)行列式D185。0；方程組有唯一解且233。1234。2234。234。31*1A234。(A2I)A185。0A4(4).；(5).(6).30，235。41(7).相關(guān)(8).3, 9(9).n(10).234249。468691281216r(Ab)=r(A)二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)(2)(3)√(4)(5)√ [x+(n1)a](xa)(1).233。3234。2234。1X=234。234。4234。0234。235。(2).3249。1230412(3).極大線性無(wú)關(guān)組為a1,a2a3=a1+a2。a4=a1+a2(4)全部解為： 121230。1246。TT,0247。+c1(1,1,0,0)+c2(0,0,1,1)231。,0,2232。2248。(c1 ,c2為任意常數(shù))五．略線性代數(shù)試題及答案說(shuō)明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)癬多選或未選均無(wú)分。，則() 則方程 的根的個(gè)數(shù)為() ，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若 則必有(),B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是() 其中 則矩陣A的