【正文】 第一篇：線性代數(shù)概念總結(jié) 每一個(gè)mn 矩陣總可經(jīng)過有限次初等行變換化成行階梯陣與行簡化階梯陣，且行階梯陣中的非零行數(shù)是唯一確定的，行簡化階梯陣也是唯一確定的。 初等矩陣都是可逆的。且初等矩陣的逆矩陣仍是初等矩陣。 對矩陣Amn 做一次初等變換相當(dāng)于在矩陣Amn 的左側(cè)乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對矩陣Amn 做一次初等列變換想到與在矩陣Amn 右側(cè)乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。 n階可逆矩陣的行簡化階梯陣一定是單位矩陣。 方正A可逆的充分必要條件是A可以寫成有限個(gè)初等矩陣的乘積。第二篇：線性代數(shù)總結(jié)線性代數(shù)總結(jié) [轉(zhuǎn)貼 20080504 13:04:49]字號：大 中 小線性代數(shù)總結(jié)一、課程特點(diǎn)特點(diǎn)一：知識點(diǎn)比較細(xì)碎。如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。特點(diǎn)二：知識點(diǎn)間的聯(lián)系性很強(qiáng)。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。復(fù)習(xí)線代時(shí)，要做到“融會貫通”?！叭跁薄O(shè)法找到不同知識點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處； “貫通”——掌握前后知識點(diǎn)之間的順承關(guān)系。二、行列式與矩陣第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和 階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行列展開定理化為上下三角行列式求解。對于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于、等的相關(guān)性質(zhì)，及性質(zhì)（其中 為矩陣 的特征值）。矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、的性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質(zhì)、初等矩陣的性質(zhì)等。三、向量與線性方程組向量與線性方程組是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)；后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對獨(dú)立，可以看作是對核心內(nèi)容的擴(kuò)展。向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。解線性方程組可以看作是出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。線性方程組（一般式）還具有兩種形式：（Ⅰ）矩陣形式，其中，（Ⅱ）向量形式，其中 ，向量就這樣被引入了。1）齊次線性方程組與線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系齊次線性方程組 可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)等式一定成立；印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解；②有非零解。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式 中的 只能全為0才能使等式成立，而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，存在不全為0的 使上式成立；但向量部分中判斷向量組 是否線性相關(guān)無關(guān)的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組 是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)?？梢栽O(shè)想線性相關(guān)無關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。2）齊次線性方程組的解與秩和極大無關(guān)組的聯(lián)系同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”，向量組 組成的矩陣 有 說明向量組的極大線性無關(guān)組中有 個(gè)向量，即 線性無關(guān)，也即等式 只有零解。所以，經(jīng)過“秩 → 線性相關(guān)無關(guān) → 線性方程組解的判定” 的邏輯鏈條，由 就可以判定齊次方程組 只有零解。當(dāng) 時(shí)，的列向量組 線性相關(guān)，此時(shí)齊次線性方程組 有非零解，且齊次線性方程組 的解向量可以通過 個(gè)線性無關(guān)的解向量（基礎(chǔ)解系）線性表示。3）非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系非齊次線性方程組 是否有解對應(yīng)于向量 是否可由 的列向量組 線性表示，即使等式 成立的一組數(shù) 就是非齊次線性方程組 的解。當(dāng)非齊次線性方程組 滿足 時(shí)，它有唯一解。這一點(diǎn)也正好印證了一個(gè)重要定理：“若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示方法唯一”。 有：方陣 可逆243。243。 的行列向量組均線性無關(guān)243。 243。 可由克萊姆法則判斷有唯一解，而 僅有零解 對于一般矩陣 則有： 243。 的列向量組線性無關(guān)243。 僅有零解，有唯一解（如果有解）性質(zhì)2．齊次線性方程組 是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方程組 是否有解對應(yīng)于 是否可以由 的列向量組線性表出。以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯(lián)系在一起的橋梁。應(yīng)記住的一些性質(zhì)與結(jié)論 1．向量組線性相關(guān)的有關(guān)結(jié)論：1）向量組 線性相關(guān)243。向量組中至少存在一個(gè)向量可由其余 個(gè)向量線性表出。2）向量組線性無關(guān)243。向量組中沒有一個(gè)向量可由其余的向量線性表出。3）若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示法唯一。2．向量組線性表示與等價(jià)的有關(guān)結(jié)論：1）一個(gè)線性無關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線性表示。2）如果向量組 可由向量組 線性表示，則有3）等價(jià)的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個(gè)數(shù)的向量； 4）任何一個(gè)向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價(jià)。3．常見的線性無關(guān)組：1）齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系； 2）、這樣的單位向量組； 3）不同特征值對應(yīng)的特征向量。4．關(guān)于秩的一些結(jié)論： 1）； 2）； 3）； 4）；5）若有、滿足，則 ； 6）若 是可逆矩陣則有 ； 7）若 可逆則有 ； 8）。4．線性方程組的解：1）非齊次線性方程組 有唯一解則對應(yīng)齊次方程組 僅有零解；2）若 有無窮多解則 有非零解； 3）若 有兩個(gè)不同的解則 有非零解；4）若 是 矩陣而 則 一定有解，而且當(dāng) 時(shí)有唯一解，當(dāng) 時(shí)有無窮多解； 5）若 則 沒有解或有唯一解。四、特征值與特征向量相對于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量內(nèi)容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。本章知識要點(diǎn)如下： 1．特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法 就是記牢一系列公式如、和。常用到下列性質(zhì)：若 階矩陣 有 個(gè)特征值，則有 ；若矩陣 有特征值，則、、分別有特征值、、且對應(yīng)特征向量等于 所對應(yīng)的特征向量； 2．相似矩陣及其性質(zhì)定義式為，此時(shí)滿足、并且、有相同的特征值。需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：矩陣 與矩陣 等價(jià)（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時(shí)矩陣 可通過初等變換化為矩陣，并有 ；當(dāng) 中的、互逆時(shí)就變成了矩陣相似（）的定義式，即有 ；矩陣合同的定義是，其中 為可逆矩陣。由以上定義可看出等價(jià)、合同、相似三者之間的關(guān)系：若 與 合同或相似則 與 必等價(jià)，反之不成立；合同與等價(jià)之間沒有必然聯(lián)系。3．矩陣可相似對角化的條件包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。充要條件1是 階矩陣 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量；充要條件2是 的任意 重特征根對應(yīng)有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量；充分條件1是 有 個(gè)互不相同的特征值；充分條件2是 為實(shí)對稱矩陣。4．實(shí)對稱矩陣及其相似對角化階實(shí)對稱矩陣 必可正交相似于對角陣，即有正交矩陣 使得，而且正交矩陣 由 對應(yīng)的 個(gè)正交的單位特征向量組成?？梢哉J(rèn)為討論矩陣的相似對角化是為了方便求矩陣的冪：直接相乘來求 比較困難；但如果有矩陣 使得 滿足（對角矩陣）的話就簡單多了，因?yàn)榇藭r(shí)而對角陣 的冪 就等于，代入上式即得。引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。因?yàn)?，不但判斷矩陣的相似對角化時(shí)要用到特征值和特征向量，而且 中的、也分別是由 的特征向量和特征值決定的。五、二次型本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個(gè)延伸，因?yàn)榛涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的核心知識為“對于實(shí)對稱矩陣 存在正交矩陣 使得 可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在 為實(shí)對稱矩陣時(shí)的應(yīng)用。本章知識要點(diǎn)如下：1．二次型及其矩陣表示。2．用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。3．正負(fù)定二次型的判斷與證明。標(biāo)簽: 線性代數(shù)總結(jié).學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)2009年06月14日 星期日 上午 11:12學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)線性代數(shù)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)學(xué)完了，但我認(rèn)為我們的學(xué)習(xí)并沒有因此而結(jié)束。我們應(yīng)該總結(jié)一下這門課程的學(xué)習(xí)的方法，并能為我們以后的學(xué)習(xí)和工作提供方法。這門課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)：《線性代數(shù)》是物理系等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，其主要任務(wù)是使學(xué)生獲得線性代數(shù)的基本思想方法和行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面 的系統(tǒng)知識，它一方面為后繼課程（如離散數(shù)學(xué)、計(jì)算方法、等課程）提供一些所需的基礎(chǔ)理論和知識；另一方面還對提高學(xué)生的思維能力，開發(fā)學(xué)生智能、加強(qiáng)“三基”（基礎(chǔ)知識、基本理論、基本理論）及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造型能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力等重要作用。同時(shí)隨著計(jì)算機(jī)及其應(yīng)用技術(shù)的飛速發(fā)展，很多實(shí)際問題得以離散化而得到定量的解決。作為離散化和數(shù)值計(jì)算理論基礎(chǔ)的線性代數(shù)，為解決實(shí)際問題提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。我總結(jié)了《線性代數(shù)》的一些學(xué)習(xí)方法，可能有的同學(xué)會認(rèn)為這已經(jīng)為時(shí)過晚，但我不這么認(rèn)為。從這門課程中，我們學(xué)會的不僅僅是線性代數(shù)的一些相關(guān)知識（行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面的系統(tǒng)知識），更重要的是，從這門課程中我們應(yīng)該掌握一種很重要的思想——學(xué)習(xí)如何去使用工具的方法。這個(gè)工具狹隘的講是線性代數(shù)這門數(shù)學(xué)知識，但從廣義地說：這個(gè)工具應(yīng)該是生活中的一切工具（如電腦軟件的學(xué)習(xí)方法、機(jī)器的操作方法、科學(xué)調(diào)查方法等）。在這門課程給我的感觸就是：這門課告訴我們?nèi)绾稳W(xué)知識的方法。我認(rèn)為：學(xué)習(xí)任何一門知識的方法是：一、明確我們要學(xué)習(xí)什么知識或者要掌握哪些方面的技能。只能我們明白我們自己要學(xué)習(xí)什么之后，我們才會有動(dòng)力去學(xué)習(xí)，在我們的大學(xué)里，有些同學(xué)不明白學(xué)習(xí)課本知識有何作用，認(rèn)為學(xué)習(xí)與不學(xué)習(xí)沒有什么區(qū)別，或者認(rèn)為學(xué)習(xí)課本知識沒有多大的作用，就干脆不學(xué)（當(dāng)然我在這里沒有貶低任何人的意思）。不過我認(rèn)為學(xué)習(xí)好自己的專業(yè)的知識，掌握專業(yè)技能是每個(gè)大學(xué)生的天職。二、知道知識是什么，了解相關(guān)知識的概念和定義。這是學(xué)習(xí)的一切學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有把握這個(gè)環(huán)節(jié)，我們的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)才能得以開展，知識是人類高度概括、總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，不可能像平常說話那么通俗易懂。所以我們要想把知識學(xué)好，就得在概念上下功夫。例《線性代數(shù)》這門課程中的實(shí)二次型，那我們首先得非常清楚的知到，什么叫做實(shí)二次型。否則這一塊的知識沒有辦法開展。三、要知到我們學(xué)的知識可以用到何處，或者能幫我們解決什么問題。其實(shí)這一點(diǎn)和第一點(diǎn)有點(diǎn)重復(fù)。但是對于我們的課本知識非常得有用，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在所學(xué)的課本知識。說句實(shí)在話，我們確實(shí)不知到能為我們生活中能解決什么問題，但如果我們知到它能用到何處，相信將來一定會有用。有一句話說得好，書到用時(shí)方恨少，說得是這個(gè)道理?？傊?，我們現(xiàn)在要為以后遇到問題而積累解決問題的方法，我們現(xiàn)在是在為以后的人生在打基礎(chǔ)。四、學(xué)習(xí)相關(guān)概念后，要學(xué)會如何去操作。像《線性代數(shù)》這門課程，在這一點(diǎn)就體現(xiàn)得很突出。如在我們學(xué)習(xí)正交矩陣這個(gè)概念后，我們得要學(xué)會如何去求正交矩陣；再如，當(dāng)我們認(rèn)識了矩陣的對角化定義之后，我們得掌握如何去將一個(gè)矩陣對角化。其實(shí)，就是學(xué)會如何去操作，這是我們掌握數(shù)學(xué)工具的使用方法的重要途徑，所以這部分的工作是我們的