級(jí)線性代數(shù)試題和答案a卷(1)-wenkub
2023-01-21 21:03:59 本頁(yè)面
【正文】 特征值中，必然（ ） （ A）有 n 個(gè)特征值等于 1； （ B）有 1n? 個(gè)特征值等于 1； （ C）有 1 個(gè)特征值等于 1； （ D）沒(méi)有 1 個(gè)特征值等于 1. 解 應(yīng)選 B. 因?yàn)榫仃?( ) , ( ) 1 ,TTE A E E a a r E A??? ? ? ? ? ? ? ?所以 1?? 至少是 A 的 1n? 重特征值，而 TAE???? 的主對(duì)角線上元素的和 ,Tn a n???故 A 至少有一個(gè)特征值不是1，因此 A 有 1n? 個(gè)特征值為 1. 4．設(shè) A ， B 為 n 階方陣，且秩相等，即 ? ? ? ?r A r B? ，則（ ） （ A） ( ) 0r A B??； （ B） ? ?( ) 2r A B r A?? （ C） ? ?( , ) 2r A B r A? ； （ D） ? ? ? ?( , )r A B r A r B?? r 1 2 r1212r 1 2 r12121 2 n 1 2i j 1 2 1 2 n 1 2ijii1 2 n 1 D , , , A B, =r ( A ) ,r =r ( B ) . , , ,nj j niijjr? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????，，解 應(yīng) 選設(shè) ， ， 和 分 別 是 矩 陣 ， 的 列 向 量 組 ， 他 們 的 極 大 線 形 無(wú) 關(guān) 組 分 別 為， ， 和 ， ， ， 則 因 為 向 量 組 ， ， ， 可 由向 量 組 ， ， ， ， ， ， 線 性 表 示 ， 所 以r( ， ， ，LLr 1 2 r12122 i j 1 2ii12, , ) ( ) +rr ( A ,B ) +r =r ( A ) +r ( B )B = A r ( A B ) =r ( 2A ) =r ( A ) B =A r ( A +B ) =r ( 2A ) =r ( A ) r ( A ,B ) =r ( A ,A ) =r ( A ) A B Cn j jrrr? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， ， ， ， ， ，因 此又 若 取 ， 則 ， 若 取 ， 則 ，因 此 選 項(xiàng) ， ， 都 不 一 定 成 立 5．設(shè) A 為 n 階矩陣，且 2 3 2 0A A E? ? ?，則矩陣 2EA? 與 EA? 一定（ ） （ A）同時(shí)為可逆矩陣； （ B）同時(shí)為不可逆矩陣； （ C）至少有一個(gè)為零矩陣； （ D）最多有一個(gè)為可逆矩陣 . 22 D( 2E A ) ( E A ) =2E 3A +A =0,| 2E A | | E A | =|2E 3A +A | =|0| =0| 2E A | | E A | 2E A E A解 應(yīng) 選因 為 ， 由 行 列 式可 知 與 至 少 有 一 個(gè) 為 零 ， 故 與 最 多 有 一 個(gè) 為 可 逆 矩 陣 6．設(shè)向量組 (I)是向量組（ II）的線性無(wú)關(guān)的部分向量組，則（ ） （ A）向量組 (I)是向量組（ II）的極大線性無(wú)關(guān)組； （ B）向量組 (I)與向量組（ II）的秩相等； （ C）當(dāng)向量組 (I)可由向量組（ II）線性表示時(shí)， 向量組 (I)與向量組（ II）等價(jià)； （ D）當(dāng)向量組（ II）可由向量組 (I)線性表示時(shí)，向量組 (I)與向量組（ II）等價(jià) . 解：應(yīng)選 D 7． 設(shè) A 和 B 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣 Q ，使 1Q AQ B? ? ，則 A 正交相似于 B 的充分必要條件為（ ） （ A） A 和 B 都有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量； （ B） r(A) = r(B)； （ C） A 和 B 的主對(duì)角線上的元素的和相等；
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