【正文】 xx x xExxA A Ex x x x xx x xxx??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ? ? ?????? ? ? ???????????? ? ? ? ? ??解 應(yīng) 填 　 　 因 為 ， 而　 　　 　　 　由 及 可 知　 　 　 　 　故 或 1 0 1xx? ? ?， 又 由 可 得 4．已知 n 階方陣 ? ?ij nnAa??， 12,n? ? ????， 是 A 的列向量組，行列式 0A? ，伴隨矩陣 * OA? ，則齊次線性方程組 * 0Ax? 的通解為 ????????????. 解 應(yīng)填 ? = 11 1 2 2 1... ni i n ik k k? ? ? ??? ? ? ,其中 1 2 1i i i?? ?? ? ? ? 是向量組 12 n?? ???? 的極大線性無關(guān)組， 1 2 1nk k k??? ? 是任意常數(shù)。 充分性：由 ? ? ? ?TTT T T T TB A A A A A A B? ? ? ?可知 B 為實(shí)對(duì)稱矩陣，又有 ? ?r A n? 可知齊次線性方程組 0Ax? 只有零解。因?yàn)? 38 , 2 ,A A A? ? ? ? 所以 ? ?112 0 0 00 2 0 01.2 0 2 0310044A A A AA??????????? ? ? ???? ??????? 由題設(shè)可知 113,AX A XA E????在方程兩端同時(shí)左乘 1A? ，右乘 A ，得 3X AX E??，即 ? ? 3E A X E??，故 ? ? 13X E A ???。A=Ta ?? 對(duì)于 2 2,?? 求解線性方程組 (2 ) 0,E A x??得特征向量 2 (1, 0, 0) 。 因?yàn)?|A|=0， A* ≠ 0 所以秩 r(A)=n1，因此，向量組 12 n?? ???? 的秩r( 12 n?? ???? )=n1，由此又可知線性方程組 A* x=0 的基礎(chǔ)解系含 n1 個(gè)解，12 n?? ???? 的極大線性無關(guān)組含 n1個(gè)向量，而 A* A= A* ( 12 n?? ???? )=|A|E=0 即 A* =0(j=1 n) ，亦即 12n??? 都是 A* x=0 的解，故 12n??? 的極大線性無關(guān)組可作為 A* x=0 的基礎(chǔ)解系 。因此實(shí)二次型 ? ? ? ? ? ? 2TT T Tf x B x x A A x A x A x A x? ? ? ? 僅當(dāng) 0x? 是，有 0Tf x Bx??，即 Tf x Bx? 是正定二次型，故 TB A A? 是正定矩陣 A 和 B 為 n 階矩陣，且滿足 A2 = A,B2 = B, r(A+BE) = n,證明： r(A) = r(B). 證 由題設(shè)可得 A（ A+BE） = 2A +ABA=AB， （ A+BE） B=AB+ 2B B=AB。xxx? ? ?? ? ?? ? ??????????， 0 0 100 ,00 6．設(shè) A 為 n 階實(shí)矩陣， 1 ,| | 0,TA A A???且 則行列式 ||AE?? . 1 1 T TTTT2 1 1 0.A,( ) ( A = A ( E + A ) ,A + E = A ( E + A ) = A ( E + A ) = A E +A .A , , , A = 1, A 0, A = 1.A + E = A + E .T T TA E A A A A E A A EA A EA A A A A E A A E???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?解 應(yīng)