級(jí)線性代數(shù)試題和答案a卷(1)(完整版)
【正文】 ? ? ? ? ????????? ? ? ?????? ? ? ???????????? ? ? ? ? ??解 應(yīng) 填 因 為 ， 而 由 及 可 知 故 或 1 0 1xx? ? ?， 又 由 可 得 4．已知 n 階方陣 ? ?ij nnAa??， 12,n? ? ????， 是 A 的列向量組，行列式 0A? ，伴隨矩陣 * OA? ，則齊次線性方程組 * 0Ax? 的通解為 ????????????. 解 應(yīng)填 ? = 11 1 2 2 1... ni i n ik k k? ? ? ??? ? ? ,其中 1 2 1i i i?? ?? ? ? ? 是向量組 12 n?? ???? 的極大線性無(wú)關(guān)組， 1 2 1nk k k??? ? 是任意常數(shù)。 3．設(shè)線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 43 0 ,2 3 5 1 ,3 2 7 1 ,3,x x x xx x x xx x ax xx x x x b? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? （ 1）問(wèn)： a ,b 取何值時(shí)，線性方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？ （ 2）當(dāng)線性方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解 . 解 設(shè)題中線性方程組為 .Ax b? 用消元法，對(duì)線性方程組 Ax b? 的增廣矩陣A 施以行初等變換，化為階梯形矩陣： 1 1 1 3 02 1 3 5 13 2 7 11 1 3 1A ab???????????1 1 1 3 00 1 1 1 1 .0 0 4 1 00 0 0 2 2ab????????? ??????行 由此可知： （ 1）當(dāng) a≠ 4 時(shí)，秩 ( ) ( ) 4,r A r A??線性方程組 Ax b? 有唯一解； 當(dāng) a=4,且 b=2 時(shí)，秩 ( ) ( ) 3 4,r A r A? ? ?線性方程組 Ax b? 有無(wú)窮多解； 當(dāng) a=4,且 b≠ 2 時(shí)，秩 ( ) 3 ( ) 4,r A r A? ? ?線性方程組 Ax b? 無(wú)解； （ 2）當(dāng) a=4,且 b=2 時(shí)，繼續(xù)對(duì) A 施以行初等變換，使之化為規(guī)范的階梯形矩陣： 1 0 2 0 10 1 1 0 1 ,0 0 0 1 00 0 0 0 0A?????????????行 由此可知線性方程組 Ax b? 對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 0Ax? 的解為 1 3 2 3 3 3 42 , , , 0 ,x x x x x x x? ? ? ? ? 取 3 1 , 0 ( 2 , 1 , 1 , 0 ) .Tx A x ?? ? ? ?0得 的 基 礎(chǔ) 解 系因此 0Ax? 的通解 02110c cc?????????????????， c 為任意常數(shù) . 線性方程組 Ax b? 的解為 1 3 2 3 3 3 41 2 , 1 , , 0x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? 取 3 0x? 得 Ax b? 的一個(gè)特解 ? ?1 1 1 0, 0, T? ??， ， 由線性方程組 Ax b? 解的結(jié)構(gòu)，得 Ax b? 的通解 112110100c c? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 其中 c 為任意常數(shù) . 4．已知實(shí)二次型 ? ? ? ?2221 2 3 1 2 3 2 3, , 2 3 3 2 0 ,f x x x x x x x x??? ? ? ? ? 經(jīng)過(guò)正交變換 x Qy? ，化為標(biāo)準(zhǔn)形 2 2 21 2 325y y y??，求實(shí)參數(shù) ? 以及正交矩陣 Q . 解 二次型 f 的矩陣 200
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