【正文】 m? ? ?? ? ?? ? ????? ??????????. 解 在 A中將第 j列乘以 1加到第 1列（ j=2， 3， … n） ，并提取公因式 1 1 1 1 11 1 1 1 1| | ( )1 1 1 1 1nxn x x xA n xn x x x? ???? ? ?? ? ?? ? ?LLLM M M M M M 然后將第 1列乘以（ 1）加到第 j列（ j=2,3… ,n） : 11 1 11 1 1| | ( ) ( )1 1 1nxA n x n x xx??? ? ? ??LLM M ML 而 ( 1 )20 0 10 2 0| | ( 1 ) !0000mmBmm?? ? ?LLML ( 2 1 ) 12| | ( 1 ) | || | ( 1 ) ( ) !m n mn m nC A B n x x m?? ?? ? ? ? ? 2．設(shè) 4 階方 陣 ,AX滿足方程 113AXA XA E????，已知矩陣 A 的伴隨矩陣 1 0 0 00 1 0 01 0 1 00 3 0 8??????????A= 求矩陣 X . 解：先求矩陣 A 。Ta ? 對于 3 5,?? 求解線性方程組 (5 ) 0,E A x??得特征向量 3 (0, 1, 1) .Ta ? 特征向量 1 2 3,a a a 已是正交向量，將其單位化，得 1 2 30 1 0111 , 0 1 ,221 0 1? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?， 作正交矩陣 1 2 30 2 01( , , ) 1 0 1 ,21 0 1Q ? ? ?????????? 則經(jīng)正交變換 ,x Qy? f 可化為標(biāo)準(zhǔn)形 2 2 21 2 32 5 .y y y?? 四、證明題（每題 8 分，共 16 分） 1．已知 A 為 m n 實(shí)矩陣，證明：矩陣 B=ATA 是正定矩陣的充分必要條件為矩陣 A 的秩 r(A) = n. 證明：必要性：由 B 為正定矩陣可得 ? ? ? ?Tr B r A A n??，又 A 為實(shí)矩陣， ，因此 ? ?r A n? 。2022 級線性代數(shù)期末試題答案 一、填空題（每小題 4 分、本題共 28 分） 1．設(shè) A *是 n 階方陣 A 的伴隨矩陣，行列式 2A? ，則 *2A? . 2n n n 1 2 2|=2 2 2 2 2n ?? ? ?n1* * n 1 n 1解 應(yīng) 填因 為 行 列 式|2 A |A |= |A | 2．設(shè) 4 階方陣 A 和 B 的伴隨矩陣為 A? 和 B? ，且它們的秩分別為 3)( ?Ar ，4)( ?Br ，則秩 ?)( **BAr . ? ? ? ?? ? ? ?* * ** * * 1 .14 1.r A r B Br A B r A????解 應(yīng) 填由 題 設(shè) 可 知 ， ， 的 可 逆 矩 陣 ， 故 3． 設(shè) n 維向量 ( , 0, , 0, )Txx? ? L ，其中 0x? ；又設(shè)矩陣 TAE???? ，且1 1 TAEx??? ?? ，則 x = . ? ?? ?? ? ? ? ? ?2112 1 21 1 1 1 1 1 21 1 201 1 11 2 2 1 2 1 1 012TT T T T T TT T T T T T TTTxA A E E Ex x xE E