ch4線性代數(shù)方程組的迭代解法-文庫(kù)吧資料
2024-12-29 12:23本頁(yè)面
【正文】 22)1(21)(1)(313)(21211)1(1nknnnknknnnknknnkkkknnkkkbxaxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaxaax?????????????????(k=0,1,2,…) 4.3.3 雅可比迭代法的算法實(shí)現(xiàn) ?m a x1?????iiniyx k +1 ? k yi? xi k = M ? i = 1,2, … , n 輸出迭代 輸出 失敗標(biāo)志 y1, y2, … yn 輸入 aij,bi, 和 方程階數(shù) n, ε ,M 1 ? k niyaxabiiinijjjiji,2,1/)(1??????? y n y n 高斯 塞德?tīng)?（ GaussSeidel） 迭代法 高斯 塞德?tīng)柕ǖ幕舅枷? 在 Jacobi迭代法中 ， 每次迭代只用到前一次的迭代值 ， 若每次迭代充分利用當(dāng)前最新的迭代值 ，即在求 時(shí)用新分量 代替舊分量 , 就得到高斯 賽德?tīng)柕?。 TTxxxx )0,0,0(),( )0(3)0(2)0(1)0( ??),( )(3)(2)(1 kkk xxxTTxxxx )9 9 9 8 8 1 ,9 9 9 8 3 ,0 0 0 0 3 (),( )10(3)10(2)10(1)10( ??考察一般的方程組，將 n元線性方程組 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????22112222212111212111nibxa injjij ,2,11?????寫(xiě)成 若 ,分離出變量 0?iia ),2,1( ni ?? ixnixabax jnijjijiiii ,2,1)(11???? ???據(jù)此建立迭代公式 nixabaxnijjkjijiiiki ?,2,1)(11)()1( ??? ????上式稱(chēng)為解方程組的 Jacobi迭代公式。 并非全部收斂 ? ? Tknkkk xxxx )()(2)(1)( , ??? ? Tnxxxx **2*1* , ????k),1,0()()1( ????? kdGxx kk*)( xx k ? dGxx ?? ***x bAx ?例 用迭代法求解線性方程組 ????????352322121xxxx解 構(gòu)造方程組的等價(jià)方程組 ??????????3423212211xxxxxx 據(jù)此建立迭代公式 ????????????3423)(2)(1)1(2)(2)(1)1(1kkkkkkxxxxxx0)0(2)0(1 ?? xx取 計(jì)算得 ??????????????????????????????,3333,1515,99,33,33)5(2)5(1)4(2)4(1)3(2)3(1)2(2)2(1)1(2)1(1xxxxxxxxxx迭代解離精確解 越來(lái)越遠(yuǎn)迭代不收斂 1,1 21 ?? xx 雅可比（ Jacobi） 迭代法 例 用雅可比迭代法求解方程組 ??????????????3612363311420238321321321xxxxxxxxx解：從方程組的三個(gè)方程中分離出 和 21, xx 3x????????????????????341213111114254183213312321xxxxxxxxx建立迭代公式 ???????????????????????341213111114254183)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx取初始向量 進(jìn)行迭代 , 可以逐步得出一個(gè)近似解的序列： （ k=1, 2, … ） 直到求得的近似解能達(dá)到預(yù)先要求的精度， 則迭代過(guò)程終止，以最后得到的近似解作為線 性方程組的解。 收斂時(shí)，在迭代公式 中當(dāng) 時(shí)， , 則 , 故 是方程組 的解。 ),2,1()0( nix i ??設(shè) 非奇異， ，則線性方程組 有惟一解 ，經(jīng)過(guò)變換構(gòu)造出一個(gè)等價(jià)同解方程組 將上式改寫(xiě)成迭代式 nnRA ?? nRb ?bAx ? bAx 1??dGxx ??),1,0()()1( ????? kdGxx kk選定初始向量 ,反復(fù)不斷地使用迭代式逐步逼近方程組的精確解 ,直到滿(mǎn)足精度要求為止。因此，迭代法亦是求解線性方程組，尤其是求解具有大型稀疏矩陣的線性方程組的重要方法之一。Tel： 86613747 Email： 授課 : 68 學(xué)分： 4 在第二章中我們知道，凡是迭代法都有 一個(gè)收斂問(wèn)題，有時(shí)某種方法對(duì)一類(lèi)方程組迭代收斂，而對(duì)另一類(lèi)方程組進(jìn)行迭代時(shí)就會(huì)發(fā)散。一個(gè)收斂的迭代法不僅具有程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，適于自動(dòng)計(jì)算，而且較直接法更少的計(jì)算量就可獲得滿(mǎn)意的解。 第四章 解線性方程組的迭代法 迭代法的基本思想 迭代法的基本思想是將線性方程組轉(zhuǎn)化為便于迭代的等價(jià)方程組，對(duì)任選一組初始值 ，按某種計(jì)算規(guī)則，不斷地 對(duì)所得到的值進(jìn)行修正，最終獲得滿(mǎn)足精度要求的方程組的近似解 。這種方法稱(chēng)為迭代法 ? ? Tnxxxx )0()0(2)0(1)0( , ?? 如果 存在極限 則稱(chēng)迭代法是收斂的，否則就是發(fā)散的。 對(duì)于給定的方程組可以構(gòu)造各種迭代公式。 當(dāng)?shù)降?10次有 計(jì)算結(jié)果表明，此迭代過(guò)程收斂于方程組的精 確解 x*= (3, 2, 1)T。 雅可比迭代法的矩陣表示 設(shè)方程組 的系數(shù)矩陣 A非奇異，且主對(duì) 角元素 ，則可將 A分裂成 bAx ?),2,1(0 nia ii ??????????????????????????????????????????????
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