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數(shù)值分析第6章線性代數(shù)方程組的直接法-文庫吧資料

2025-05-17 01:39本頁面

　　

【正文】 ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?解：用分解計算公式得( 1 4 , 1 0 , 7 2 ) ( 1 , 2 , 3 ) .TTU x x? ? ? ? ?例用矩陣的三角分解法解方程組 ? Doolittle分解法的變形緊湊格式的 Doolittle分解法 1 2 3 142 5 2 183 1 5 20??????????例 1 2 3 142 1 4 103 5 4 22???????? ???1 2 3 142 1 4 103 5 24 72???????? ???1 0 0 1 2 3 1 4 2 1 0 , 0 1 4 , 1 03 5 1 0 0 2 4 7 2L U y? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?所以 ( 1 4 , 1 0 , 7 2 ) ( 1 , 2 , 3 ) .TTU x x? ? ? ? ?緊湊格式的列主元 Doolittle分解法例 1 2 3 142 5 2 183 1 5 20??????????3 1 5 2 02 5 2 1 81 2 3 1 4????? ??????3 1 5 202/3 13 /3 4/3 14 / 31/3 5/3 4/3 22 / 3?????????3 1 5 202/ 3 13/ 3 4/ 3 14 / 31/ 3 5/ 13 24/ 13 72 / 13???????1 0 0 3 1 5 2 0 2 / 3 1 0 , 0 1 3 / 3 4 / 3 , 1 4 / 31 / 3 5 / 1 3 1 0 0 2 4 / 1 3 7 2 / 1 3L U y? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?167。 nka kkk ,2,1,0)( ???注：（ 1） L 為單位下三角陣而 U 為一般上三角陣的分解稱為 Doolittle 分解（ 2） L 為一般下三角陣而 U 為單位上三角陣的分解稱為 Crout 分解。 3 矩陣的三角分解法 ? 高斯消元法的矩陣形式每一步消去過程相當(dāng)于左乘初等下三角矩陣 Lk 11211 1 113111 1101 230 0 1L( ) ( )iin i , , , nll a all????????????????其中( 2 ) ( 1 )( 2 ) ( 1 )11 , bbA L A L??記：222 2 22322210101 340 0 1L( ) ( )iini , , , nl a all???????????????( 3 ) ( 1 )( 3 ) ( 1 )2 1 2 1 , bbA L L A L L??記 ( 3 ) ( 2 )( 3 ) ( 2 )22 , bbA L A L??i1,1011L = 0101iinill???????????????11 2 111 2 1( n) ( )nn( n) ( )nn A L L L AbbL L L??????( 1 ) 1 1 1 ( ) ( )1 2 1 nnnA L L L A LA LU? ? ? ?? ? ?A 的 LU 分解 ( LU factorization ) 1i1,1011 0101iiniLll???????? ????????定理 2：（矩陣的三角分解）設(shè) A為 n ? n實矩陣，如果求解 AX = b用順序高斯消去法能夠完成（即），則矩陣 A可分解為單位下三角矩陣 L與上三角矩陣 U的乘積。 1 3 1 1 100 1 3 1 1 70 14 3 5 1 37????? ? ?? ? ? ???1 10 2 3 311 3 1 1 745 9 14 1 13 5?????? ? ? ?? ? ???1 0 0 .1 1 0 .2 2 11 0 .4 0 .0 7 0 .0 7 21 0 .2 0 .3 1 0 .0 2 3?? ???? ? ?????故 1 2 , , x x? ? ?，系數(shù)矩陣的逆為 10 1 2 7 7 1 2??????? ? ???????A167。行 n?21nnnnnnaaaaaaaaa??????212222111211)(1,)1(1,)(1,2)1(1,2)(1,1)1(1,1mnnnnmnnmnnaaaaaa??????????系數(shù) 右端（ 2）求逆矩陣設(shè) A = (aij)n?n是非奇矩陣， ?A? ? 0，且令 nnijxAX ?? ?? )(1由于 AA1 = AX = I 因此，求 A1的問題相當(dāng)于解下列線性方程組 ??????????????????????????????????????????????????????????100,0012112111?????nnn

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