【正文】 11（ i=k,k+1,… ,n） ?????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnuuuuuulllaaaaaaaaa???????????????2221121121212122221111111111利用上述計算公式便可逐步求出 U與 L的各元素 求解 Ly=b , 即計算 : ????????????1111),3,2(ikkikii niylbyby? 求解 Ux=y , 即計算： ?????????????????)1,2,1(1?niuxuyxuyxiinikkikiinnnn 顯然 , 當(dāng) 時 , 解Ax=b直接三角分解法計算才能完成 。 其中 ??????????????????????????nnnnnnuuuuuuUlllL????????222112112121,111若把 A分解成一個下三角陣 L和一個單位上三角陣 U的乘積稱為 克 洛特分解 Crout） 其中 ??????????????????????????111,211221222111????????nnnnnnuuuUllllllL 用三角分解法解方程組 求 解線性方程組 Ax=b時 ,先對非奇異矩陣A進行 LU分解使 A=LU，那么方程組就化為 LU x=b 從而使問題轉(zhuǎn)化為求解兩個簡單的的三角方程組 L y=b 求解 y U x=y 求解 x 這就是求解線性方程組的三角分解法的基本思想 。 設(shè) A有兩種 LU分解 nnRA ??)1,2,1(0)d e t ( ??? niA i ?ULLUA ??其中 為單位下三角陣， 為上三角陣 ∵ A的行列式 均為非奇異矩陣 ,有 上式兩邊左邊同乘 ，右邊同乘 得 上式左邊為單位下三角陣 ,右邊為上三角陣 ,故應(yīng)為單位陣 ,即 惟一性得證。 證：由于 A各階主子式不為零 ,則消元過程能進行到底 , 前面已證明將方程組的系數(shù)矩陣 A用初等變換的方法分解成兩個三角矩陣的乘積 A=LU的過程。 顯然，如果 ,由行列式的性質(zhì)知，方程組系數(shù)矩陣 A的前 n1個順序主子矩陣 非奇異，即順序主子式不等于零，即 )1,2,1(0)( ??? nka kkk ?)1,2,1(0)( ??? nka kkk ?)1,2,1( ?? nkA k ?0)d et ( )1(111 ?? aA),3,2(0)d e t ( )()2(22)1(11 kiaaaA iiii ?? ???其中 ????????????iiiiiaaaaAaA?????1111111 ),(（ A的主子陣） 反之 ,可用歸納法證明 ,如果 A的順序主子式 ),2,1(0)d e t ( )()2(22)1(11 kiaaaA iiii ?? ???則 ),2,1(0)( kia iii ???于是得到下述定理： 定理 設(shè) 。即 )1(AA ? )(nA)(1221 nnn AALLLL ??? ?)1,2,1( ?? nkL k ?ikm? ),2,1( nkkim ik ????1?kL?????????????????????????11111,11nkkkkmmL???于是有 LUULLLALLLA nnn ??? ? ???? ??? )()( 1 11211)(1 11211 ????????????????????????????????????)()3(3)3(33)2(2)2(23)2(22)1(1)1(13)1(12)1(1121323121,1111nnnnnnnnaaaaaaaaaaUmmmmmL??????其中 L為由乘數(shù)構(gòu)成的單位下三角陣， U為上三角陣，由此可見，在 的條件下，高斯消去法實質(zhì)上是將方程組的系數(shù)矩陣 A分解為兩個三角矩陣的乘積 A=LU。 將非奇異陣 A分解成一個下三角陣 L和一個上三角陣 U的乘積 A=LU 稱為對 矩陣 A的三角分解，又稱 LU分解 ??????????????????????????????????)()3(3)3(33)2(2)2(23)2(22)1(1)1(13)1(12)1(1121323121,1111nnnnnnnnaaaaaaaaaaUmmmmmL??????LUaaaaaaaaaaaaaaaaAnnnnnnnn???????????????????????????321333323122322211131211其中 方程組 Ax=b的系數(shù)矩陣 A經(jīng)過順序消元逐步化為上三角型 A(n),相當(dāng)于用一系列初等變換左乘A的結(jié)果。 例 用高斯 約當(dāng)（ Jordan）消去法 求 1?A???????????563452231A的逆矩陣 1?A解 C = ?A ?I ? = ??????????100563010452001231???????????????103130012021001231??????????????133100012021035201??????????????133100012021231001????????????????1330122311A 矩陣三角分解法 矩陣三角分解法是高斯消去法解線性方程組的一種變形解法 矩陣三角分解原理 應(yīng)用高斯消去法解 n階線性方程組 Ax=b, 經(jīng)過 n步消元之后 , 得出一個等價的上三角型方程組 A(n) x=b(n), 對上三角形方程組用逐步回代就可以求出解來。 ? 例 用 列主元素法解下列線性方程組 10x1 19x2 2x3=3 (1) 20x1 +40x2 + x3 =4 (2) x1 + 4x2 + 5x3=5 (3) ?解：選擇 20作為該列的 主元素 ， 20x1 +40x2 + x3 =3 (4) 10x1 19x2 2x3=4 (5) x1 + 4x2 + 5x3=5 (6) 計算 m21 =10/20= m31=1/20= (5) m21(4), (6) m31(4)得 x2 – =5 (7) 6x2 + = (8) 選 6為主元素 6x2 + = (9) x2 – =5 (10) 計算 m32=1/6=， (10) m32(9) 得 = (11) 記筆記 保留有主元素的方程 20x1 +40x2 + x3 =4 (4) 6x2 + = (9) = (11) 進行回代 x3 = x2= x1= 記筆記 列選主元素的計算方法與高斯消去法完全一樣 ,不同的是在每步消元之前要按列選出主元 例 用矩陣的初等行變換求解解方程組 ????????????????754217743322321321321xxxxxxxxx 解 : 用矩陣的初等行變換求解 ,對增廣矩陣 (下面帶下劃線元素為主元素 ) ? ??????????????? ?????????????????? ???????????????????? ???????????????? ??????????????????????????????????177417741774754233221774754217743322~232313121251___2121__)1(rrrrrrrrrrbAA 高斯 約當(dāng)（ Jordan）消去法 高斯消去法有消元和回代兩個過程，消去的是對角線下方的元素。 )(kkka)(kkka? 全主元素法 不是按列選主元素，而是在全體待選系數(shù)中選取，則得 全主元素法。 全主元素消去法 是通過方程或變量次序的交換，使在對角線位置上獲得絕對值盡可能大的系數(shù)作為 ，稱這樣的 為主元素。即按列選絕對值大的系數(shù)作為主元素，則將方程組中的兩個方程相交換，原方程組變?yōu)? 1,0 21 ?? xx???????? 110221521xxxx得到消元后的方程組 ?????????? 525211021)101(2xxx這時 55555555 1010100 0 0 0 0 0 0 ???????????? ，因而方程組的實際形式是 ??????12221xxx由此回代解出 ,這個結(jié)果是正確的 1,121 ?? xx 可見用高斯消去法解方程組時 ,小主元可能導(dǎo)致計算失敗 ,因為用絕對值很小的數(shù)作除數(shù) ,乘數(shù)很大 ,引起約化中間結(jié)果數(shù)量級嚴重增長 ,再舍入就使得計算結(jié)果不可靠了 ,故避免采用絕對值很小的主元素。 0)( ?kkka0)( ?kkka? 交換原則：通過方程或變量次序的交換，使在對角線位置上獲得絕對值盡可能大的系數(shù)作為 akk(k)，稱這樣的 akk(k) 為 主元素 ，并稱使用主元素的消元法 為主元素法 ? 根據(jù)