【正文】 一個(gè)局中人的策略選擇是關(guān)于他對(duì)手選擇的最優(yōu)反應(yīng) 。 總 結(jié) ， 局中人 i的一個(gè)策略選擇為他產(chǎn)生了最高可能的盈利 。必定是這樣的情況： IEDS結(jié)局是納什均衡。 2. 當(dāng)獎(jiǎng)勵(lì)較高時(shí) ， 戰(zhàn)斗的可能性更大 。 生物學(xué)家試圖解釋有關(guān)動(dòng)物爭(zhēng)斗的兩個(gè)特定程式的事實(shí)： 1. 多數(shù)沖突無(wú)需戰(zhàn)斗而得到解決 。 ),(),( *** iiiiii ssss ?? ? ??),(),( *** iiiiii ssss ?? ? ??定義： 性別爭(zhēng)端 丈夫＼妻子 足球（ F） 歌?。?O） 足球（ F） 3， 1 0， 0 歌?。?O） 0， 0 1， 3 伯川德定價(jià) 公司 1＼公司 2 高（ H） 中（ M） 低（ L） 高（ H） 6， 6 0， 10 0， 8 中（ M） 10， 0 5， 5 0， 8 低（ L） 8， 0 8， 0 4， 4 案例研究：動(dòng)物王國(guó)中的納什均衡 荒漠蜘蛛的故事 ， 雌蜘蛛在網(wǎng)里產(chǎn)卵 ， 由于這樣的網(wǎng)很難搭建 ， 因此 ， 網(wǎng)是稀少的 。 第 4章 納什均衡 定義 例題 案例研究 IEDS和納什均衡之間的一般關(guān)系 局中人 i的策略與其他局中人的策略向量 ，如果它們滿(mǎn)足 對(duì)所有 si， 則稱(chēng)是關(guān)于的 最優(yōu)反應(yīng) 。 如果存在一個(gè)最終唯一預(yù)測(cè) ， 則稱(chēng)它為 IEDS解 。 而且一個(gè)理性的局中人不認(rèn)為他的對(duì)手會(huì)采用劣策略 。 在以下博弈中 ，每一個(gè)局中人都有一個(gè)劣策略 ——―差 ” ——可是在剔除那個(gè)策略后留下來(lái)的是一個(gè)只有非劣策略的 2 2博弈 。 不是所有的博弈都是占優(yōu)可解的 。 考慮下面的博弈 。 如果其他局中人某一次理性的 “ 失誤 ” 可能代價(jià)昂貴的話(huà) ， 這尤其成問(wèn)題 。 沒(méi)有一個(gè)局中人會(huì)采用只是在 15輪剔除劣策略之后才轉(zhuǎn)變成的劣策略 ， 這件事似乎就不太合理 。 沒(méi)有人會(huì)采用劣策略是合理的假設(shè) 。 在那種情況 ， 這些每個(gè)人剩下的單一策略構(gòu)成的向量稱(chēng)為 累次剔除劣策略 （ IEDS） 的結(jié)局 ， 該博弈則稱(chēng)為 占優(yōu)可解的 。 [1] 尤其 Si – Di(I)包含了策略向量（ s1, …, si – 1, si + 1, …, sN），其中每一個(gè)策略 sj都是非劣的。通過(guò)這種做法，又建立了一個(gè)在前三輪中為劣策略的集合；稱(chēng)這個(gè)集合為 Di (Ⅲ )。記局中人 i在第 Ⅰ 輪中或者在第 Ⅱ 輪中為劣的所有策略的全體為 Di (Ⅱ )。 一個(gè)策略 si 現(xiàn)在成為劣的 ， 是指：假定每一個(gè)其他局中人也都在第 Ⅰ 輪中剔除了劣策略之后 ， 在 Si ? Di(I)中存在另外一個(gè) ， 它始終至少與 si一樣地好 ， 而在某些時(shí)候嚴(yán)格地好于 si。 就是說(shuō) ， 不啟用 Di(I)中的策略 ， 這對(duì) i = 1, 2, … , N均成立 。 假如美國(guó)和非洲關(guān)于三個(gè)候選人的中意順序如下： 美國(guó)： 非洲： BAH ??HAB ??非洲 HAA HHA HAB HHB BAA BHA BAB BHB 美國(guó) A 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 B 1, 1 0, 0 1, 1 0, 0 1, 1 0, 0 1, 1 0, 0 H 1, 1 1, 1 0, 0 0, 0 1, 1 1, 1 0, 0 0, 0 在一輪剔除之后 ， 實(shí)際上的博弈成為： 美國(guó)＼非洲 HHA A 1, 1 B 0, 0 H 1, 1 占優(yōu)可解性的更正式的定義 考慮有 N個(gè)局中人的策略型博弈；局中人 i的策略用 si來(lái)表示；令 Si表示局中人 i的策略集 。投票人 1——美國(guó) ——首先投票并著手否決三個(gè)候選人 A（ 安南 ） ， B（ 加利 ） ， 和 H（ 布魯特萊特 ） 中的一個(gè) 。從而，我們得到了IEDS結(jié)局為：投票人１取 AAN，投票人２取 AAB，投票人３取 BNN， A（以２票）贏得第 Ⅰ 輪，而在決賽中繼續(xù)擊敗 N。 可以看到如果投票人在第 Ⅱ 輪中真實(shí)地投票 ， 那么在那個(gè)階段 ， A擊敗 N， 而 B輸給 N。 類(lèi)似地 ，BBN優(yōu)于 BNN, BNB, 和 BAB。 ” 至于盈利 ， 讓我們使用約定 ， 如果他最愿意的方案通過(guò) ， 則獲盈利 1， 第二喜歡的通過(guò) ， 盈利為 0， 如果第三喜歡 （ 即 ， 最不喜歡 ）方案通過(guò) ， 則他的盈利為 1。 通過(guò)了第 Ⅰ輪的方案再面臨與維持原狀 N（ “ 都不 ” ） 進(jìn)行決賽 。 例如，對(duì)于公司 1，只有當(dāng)它的價(jià)格不高于公司2的價(jià)格，才能有所收益。 如果兩個(gè)公司開(kāi)價(jià)相同，他們將平分市場(chǎng)。將劣策略認(rèn)為 “ 壞 ” 策略，而將非劣策略認(rèn)為 “ 好 ” 策略 iiiiiiiiiiiiiissssssssss???????????),?,()?,(),(),(對(duì)所有對(duì)所有????2. 累次剔除劣策略 局中人 1 局中人 2 左 (L) 右 (R) 上 (U) 1, 1 0, 1 中 (M) 0, 2 1, 0 下 (D) 0, 1 0, 0 3 .更多例題 例 1： 伯川德（價(jià)格）競(jìng)爭(zhēng) 假設(shè)雙寡壟斷市場(chǎng)中的兩個(gè)公司都可以開(kāi)出三個(gè)價(jià)格中的任一個(gè) ——高，中或低。 第三章 占優(yōu)可解性 概念 1. 劣與非劣策略 2. 累次剔除劣策略 案例研究：選舉聯(lián)合國(guó)秘書(shū)長(zhǎng) 更正式的定義 討論 概念 1. 劣與非劣策略 定義。 ， 博弈存在占優(yōu)策略解 。 每一個(gè)策略型博弈至少有一種展開(kāi)型表示 。 對(duì)于更多的局中人情況 ， 符號(hào)表示式更方便一些 。 總 結(jié) ， 每個(gè)局中人可使用的策略 ，和關(guān)于任何策略組合 （ 一個(gè)策略對(duì)應(yīng)于一個(gè)局中人 ） 的盈利來(lái)描述 ?，F(xiàn)在，你感覺(jué)自己象個(gè)傻瓜！你失去了一幅估價(jià)為 3000美元的畫(huà)，而你用（稍高于2700美元）就可以擁有它。有兩種可能的情況。從不同的方式講，如果你認(rèn)為畫(huà)值 3000美元，你最好的辦法是閉上你的眼睛，舉著你的拍賣(mài)牌直到聽(tīng)到拍賣(mài)商宣布的叫價(jià)高于 3000美元為止 為什么它是個(gè)占優(yōu)策略，與其他幾個(gè)策略作比較。 左 右 頂 7, 3 5, 3 底 7, 0 3, 1 案例研究續(xù)：拍賣(mài)中的占優(yōu)策略 競(jìng)拍人 以她對(duì)雷諾依作品的真實(shí)估價(jià)作為她的最高叫價(jià) 的策略是一個(gè)占優(yōu)策略。 一個(gè)策略的組合 ， 如果每一個(gè)局中人的策略都是占優(yōu)策略 ， 那稱(chēng)這個(gè)策略的組合為占優(yōu)策略解 。(),(),39。于是策略 si稱(chēng)作強(qiáng)劣的。 * 同樣的定義應(yīng)用于強(qiáng)優(yōu)。 在這種情況，我們稱(chēng) si為劣策略。 那么我們稱(chēng)策略 s?i強(qiáng)優(yōu)于局中人 i的所有其他策略 . 考慮局中人 1， 我們稱(chēng)該局中人的策略 b——記作 s1b——優(yōu)于其他策略 ——s1a， 意指針對(duì)局中人 2的兩個(gè)策略來(lái)說(shuō) ， s1b比 s1a 更好一些；于是 π1(s1b , s2a) π1(s1b, s2a) π1(s1b , s2b) π1(s1a , s2b) 第一個(gè)不等式指出了，如果局中人 2采用了他的第一個(gè)策略，那么 s1b比 s1a 產(chǎn)生較高一些的盈利；第二個(gè)不等式指出了即使局中人 2選擇他的第二個(gè)策略，同樣的事實(shí)也成立。 ? 結(jié)局：最后一個(gè)舉牌的拍賣(mài)者贏得雷諾依作品（抓耳撓腮者不能得到）。 如果沒(méi)有人超過(guò)你的出價(jià) ， 就是說(shuō) ， 沒(méi)有其他的拍賣(mài)牌舉起 ， 那么拍賣(mài)商敲下小木槌以結(jié)束拍賣(mài) 。 ) 出價(jià)程序： 一旦輪到標(biāo)號(hào) 264， “ 你出價(jià)所必須做的就是舉起你的拍賣(mài)牌并等待拍賣(mài)商理會(huì)你 ， 你不必叫出你出價(jià)的數(shù) ——通常由拍賣(mài)商以 10%的增量自動(dòng)確定高一些的出價(jià) 。 那里你將得到一塊寫(xiě)有編號(hào)的拍賣(mài)牌 。 你必須開(kāi)始做如下的事 。 她的旁邊有一對(duì)隨從舉著待拍賣(mài)物件的影像 。 案例：藝術(shù)品拍賣(mài)的策略型 ? 藝術(shù)品拍賣(mài)：描述 假如我們被帶入位于紐約洛克菲勒中心的索士比 ?派克伯尼特的大型拍賣(mài)場(chǎng)之一 。目前我們將略去這種復(fù)雜性，因?yàn)檫@樣的話(huà)，每一個(gè)策略中分量的個(gè)數(shù)將增加到 5——替代原來(lái)的 3。 *當(dāng)然，投票人知道她在第一輪中自己是怎樣投票的。 BNB。 BAN。 ANB。 AAN。第一個(gè)分量是，如果議案A在第一階段通過(guò)后在第二輪中投票人如何投票，第二分量是，如果（在第一輪中）議案 B通過(guò)后，該投票人又將如何投票。對(duì)于策略組合， s1*， s2*， … ， sN*，其中每一個(gè)局中人相應(yīng)于一個(gè)策略，局中人 i的盈利將表示為 π i (s1*， s2*， … ， sN*)。除了局中人 i以外的所有其它局中人的策略選擇記為 si。一個(gè)局中人代表將表示為第 i個(gè)局中人。最簡(jiǎn)單的博弈類(lèi)型是兩個(gè)局中人有兩個(gè)策略的博弈。 對(duì)于不確定情況 ， 盈利應(yīng)當(dāng)在不確定性的所有可能解上取期望值而計(jì)算得到 。 你可以把策略型視為博弈型式 ， 局中人對(duì)所有的策略只做一次選擇的 。 3． 展開(kāi)型是博弈的圖形表示 ， 它明確地說(shuō)明了局中人選擇的順序 ， 每個(gè)局中人有多少次選擇 （ 以及每次她可適用的選擇 ） ， 和對(duì)于任何選擇序列每個(gè)局中人最終的盈利 。 投票人 2 投票人 3 投票人 1 A B B B B B A B A A A B A A 投票人 1 投票人 2 投票人 3 A N N N N N A A A A N A N A 0, 1, 1 1, 0, 0 囚徒困境 局中人 1 局中人 2 c n n c 5, 5 0, 15 n c 15, 0 1, 1 ? 博弈的展開(kāi)型 ? 策略型 1 \ 2 c n c 5, 5 0, 15 n 15, 0 1, 1 總 結(jié) 1． 博弈規(guī)則必須明確說(shuō)明局中人是 “ 誰(shuí) ” ， 每個(gè)局中人可使用的選擇是 “ 什么 ” ， 和從局中人群體所作的一組選擇中 ， 每個(gè)局中人得到 “ 多少 ” 。 局中人 1 局中人 1 1, 1 1, 1 1, 1 局中人 2 (0, 0) 1, 1 1, 1 (2, 1) (0, 1) l 局中人 2 (1, 0) (0, 1) (1, 1) (1, 0) (2, 0) r L u R d m 策略型表示式如下： 1 / 2 lL lR rL rR u 1, 1 1, 1 1,1 1, 1 m 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 d 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 投票博弈 假如一個(gè)投票人所贊成的議案通過(guò)，她得到的盈利為 1。記這個(gè)布局為（ 2， 1）。 正則（或策略）型 博弈規(guī)則中另一種表示方式稱(chēng)為 正則型 或 策略型 策略型 有關(guān) “ 局中人，他們每一個(gè)人可使用的策略，和每人的得益 ” 的完整的一覽表。 策略是行動(dòng)的藍(lán)圖，在每一個(gè)決策結(jié)告訴局中人如何去選擇。主要的畫(huà)圖形式稱(chēng)為博弈樹(shù)，是由一個(gè)根和若干枝依次排列組成。 ? 每個(gè)局中人 “ 何時(shí) ” （ When） 行動(dòng) （ 以什么順序 ） ? 從參與博弈所作的選擇中 ， 他們得到 （ 或失去 ）“ 多少 ” （ How much） 關(guān)于規(guī)則的共同知識(shí) 每一個(gè)局中人知道博弈的規(guī)則 ， 并且這一現(xiàn)象是眾所周知的 。 博弈的規(guī)則： 每個(gè)博弈通過(guò)一組規(guī)則進(jìn)行，規(guī)則必須說(shuō)明四件事： ? “ 誰(shuí) ” （ Who） 在參與 ——策略地互相作用的局中人群體 。 示理性局中人將達(dá)到的結(jié)局 。 150年前 。 它研究局中人群體中的互相作用 ， 這些局中人根據(jù)策略地分析群體內(nèi)其他人可能做什么而進(jìn)行理性的選擇 。 在兩輪投票中的每一輪 ， 獲多數(shù)票的法案算勝出 。結(jié)局可能會(huì)是兩種中的某一個(gè)：要么通過(guò) Ａ 和 Ｂ 中的一個(gè) ， 要么議員們沒(méi)有通過(guò)任何一項(xiàng)議案 （ 延緩而以原來(lái)法律代替 ） 。而在 Marienbad，誰(shuí)拿走最后的火柴，那么這個(gè)局中人就算輸。 只要任何一堆中尚有剩余的火柴 ， 則要求每個(gè)局中人拿走一定數(shù)量且不能空手而返 ， 但每個(gè)輪次只能從一堆中取火柴 。 游戲從局中人 1開(kāi)始 ， 此后局中人輪流行動(dòng) 。 例題 1. 拿子游戲 (Nim和 Marienbad) 這是兩個(gè)室內(nèi)游戲 ， 玩法如下 。這里，債權(quán)人 “ 群體 ” 內(nèi)的 “ 相互作用 ” 來(lái)自于這樣的事實(shí)：個(gè)別債權(quán)人能夠成功地依法占有的錢(qián)就不再可能屬于其他任何一個(gè)人。 ? 破產(chǎn)法：在美國(guó)，一旦公司宣告破產(chǎn)，它的財(cái)產(chǎn)不再由單獨(dú)的債權(quán)人扣押，而代之以安全保管，直至公司與它的債權(quán)人達(dá)成某種程度的諒解。由于資源的有限性，它們互相影響著。問(wèn)題在于這種做法