【正文】 差檢驗(yàn) 2 合計(jì) 4/100 10/100 8/100 一、假設(shè)檢驗(yàn)問題 假設(shè)檢驗(yàn)的理論根據(jù)是 “ 小概率 ” 原理，即小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，所以，在一次試驗(yàn)中發(fā)生的事件（抽出的一個(gè)樣本）可以認(rèn)為是 “ 大概率 ” 事件，對(duì)所檢驗(yàn)的總體的概率分布具有代表性，因此，可以在一定的顯著水平使用一次抽樣得到的樣本對(duì)總體進(jìn)行檢驗(yàn)，得出確定的結(jié)論，對(duì)作出的假設(shè)進(jìn)行取舍。 解：由條件知，本題為單正態(tài)總體 X～ N（ μ,σ 2）方差 σ 2未知，求均值 μ 置信度為 95％的置信區(qū)間。 例 ，每瓶維生素 C的含量為隨機(jī)變量 X（單位： mg），設(shè) X～ N（ μ,σ 2），其中 μ,σ 2均未知。 例 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其概率密度為 由來自總體 X的一個(gè)樣本 [答疑編號(hào) 918020203] 答案： 解析：本題考察指數(shù)分布的概念：設(shè)總體 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，則其數(shù)學(xué)期望 例 為來自總體 X 的樣本，則當(dāng) α ＝ ______時(shí)， [答疑編號(hào) 918020204] 答案： 1/4 例 來自正態(tài)總體 容量為 100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，得樣本均值為 10，則未知參數(shù) μ 的置信度為 ______. [答疑編號(hào) 918020205] 答案： [， ] 解析：本題考核區(qū)間估計(jì)內(nèi)容。 若指數(shù)分布的概率密度為 本題總體 X密度函數(shù)為 是樣本，由矩法估計(jì)有 例 為來自總體 的樣本， 無偏估計(jì)是（ ） [答疑編號(hào) 918020202] 答案： A 解析：本題考察的是課本 p153例 7－ 14的一個(gè)說明，即 是總體方差的無偏估計(jì)。 （ p162，表 7－ 1）略。 （ 2）極大似然估計(jì)法 ：把一次試驗(yàn)所出現(xiàn)的結(jié)果視為所有可能結(jié)果中概率最大的結(jié)果，用它來求出參數(shù)的最大值作為估計(jì) 值。 （ 1）矩法（數(shù)字特征法）： ： ① 用樣本矩作為總體矩的估計(jì)值； ② 用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計(jì)值。記憶內(nèi)容。 根據(jù)課本 P82，例題 3－ 28 的結(jié)果，若 X～ N（ 0， 1）， Y～ N（ 0,1） ,且 X與 Y相互獨(dú)立，則 X＋ Y～ N（ 0＋ 0， 1＋ 1）＝ N（ 0， 2）。 （ 1）聯(lián)合分布函數(shù)：設(shè)總體 X的分布函數(shù)為 F（ x）， x1,x2?,x n為該總體的一個(gè)樣本，則聯(lián)合分布函數(shù)為 二、統(tǒng)計(jì)量及其分布 、抽樣分布 ：設(shè) x1,x2?,x n為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù) T=T（ x1,x2?,x n）不含任何未知參數(shù)，則稱 T為統(tǒng)計(jì)量；統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。 如果總體 X的樣本 x1,x2?,x n滿足：（ 1） x1與 X有相同分布， i＝ 1， 2， ? ， n；（ 2） x1,x2?,x n相互獨(dú)立，則稱該樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本。 第二部分 數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分 專題一 統(tǒng)計(jì)量及抽樣的分布 近幾年試題的考點(diǎn)分布和分?jǐn)?shù)分布 最高分?jǐn)?shù)分布 最低分?jǐn)?shù)分布 平均分?jǐn)?shù)分布 樣本的分布 2 1 樣本矩 2 1 合計(jì) 4/100 0/100 2/100 一、總體與樣本 ：所考察對(duì)象的全體稱為總體；組成總體的每個(gè)基本元素稱為個(gè)體。簡(jiǎn)單總結(jié)如下： 內(nèi)容：一個(gè)不等式，兩個(gè)大數(shù)定律，兩個(gè)中心極限定理，其中，貝努利大數(shù)定律從理論上解決大量重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)中頻率穩(wěn)定于概率的問題，獨(dú)立同分布的切比雪夫大數(shù)定律從理論上解決了平均結(jié)果穩(wěn)定于均值的問題；而兩個(gè)中心極限定理從理論上解決了大量重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)近似服從正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 答案： 例 3. 設(shè) 是 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)， P是事件 A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的 ，均有 （ ） A.=0 B.=1 C.0 答案： A 解析：本題考核貝努利大數(shù)定律。 二、大數(shù)定律 （ 1）貝努利大數(shù)定律：設(shè) m是 n獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù) ，則對(duì)任意給定的 ，總有 （ 2）切比雪夫大數(shù)定律：隨機(jī)變量序列 相互獨(dú)立且具有有限的期望 和方差 ，則對(duì)任意給定的 ，總有 三、中心極限定理 （ 1）獨(dú)立同分布序列中心極限定理：隨機(jī)變量 ,相互獨(dú)立，服從相同的分布且具有期望 和方差 ，則對(duì)隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 及任意 x，總有 （ 2）兩個(gè)結(jié)論 ① 定理說明，當(dāng) n充分大時(shí)，不論獨(dú)立同分布隨機(jī)變量服從什么分布，其和近似服從正態(tài)分布； ② 定理說明：當(dāng) n充分大時(shí)，不論獨(dú) 立同分布隨機(jī)變量服從什么分布，其平均值 。 例 ，且 X與 Y相互獨(dú)立，則 ＝ ____________。 因此， ，因?yàn)?，所以 。 解析：本題考察協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)。 解析：本題考核二維隨機(jī)變量的均勻分布概念及協(xié)方差的計(jì)算（選自課本 P106，例 4－ 29）。 設(shè)隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度函數(shù)為 ，則在 的連續(xù)點(diǎn) 處有 （利用二元函數(shù)極限可以驗(yàn)證， 在（ 0， 0）點(diǎn)不連續(xù)）； ， 當(dāng) 時(shí)， ，所以 當(dāng) 時(shí)， 。 例 （ X， Y）的分布函數(shù)為 ，則 X的邊緣分布函數(shù)=______. 答案： 。 （ 3） 由（ 2），可得 ， 上式即為 X與 Y相互獨(dú)立的充要條件，所以，本題的二維隨機(jī)變量（ X， Y）的兩個(gè)分量 X與 Y 相互獨(dú)立。 解：（ 1）由二維連續(xù)型隨機(jī)變量（ X， Y）概率密度的性質(zhì) ， 則 ，所以 。 例 3. 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 （ 1）求常數(shù) c。 （ 2）由（ X， Y）的聯(lián)合分布律知， XY的可能取值為 0， 1， 2，則 所以 。 III. 典型例題 例 的分布律為 則 A. B. C. 答案： B 例 （ X， Y）的分布律 為 且已知 E（ Y） =1，試求： （ 1）常數(shù) ； （ 2） E（ XY）； （ 3） E（ X） 解析：本題考察二維離散型隨機(jī)變量（ X， Y）分布律的性質(zhì)、分量及函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 C）協(xié)方差的性質(zhì)： ① ； ② ，其中 a， b為任意常數(shù)； ③ ； ④ 若 X與 Y相互獨(dú)立， ，協(xié)方差為零只是隨機(jī)變量相互獨(dú)立的必要條件，而不是充分必要條件； ⑤ ； ⑥ ⑦ 補(bǔ)充性質(zhì)：課本 p111，例 4－ 36. 一般情況下， （ 4）相關(guān)系數(shù) A）定義：稱 為隨機(jī)變量 X與 Y的相關(guān)系數(shù)。記做 。 （ 2）期望與方差的性質(zhì) ① ； ② ③ 若 X， Y相互獨(dú)立，則 。 （ 4）兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量各自函數(shù)的相互獨(dú)立性： 設(shè) X， Y相互獨(dú)立，那么它們的各自函數(shù) 與 也相互獨(dú)立。 求解公式： 同理可得另一個(gè)解析式 ， 這就是二維連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立分量和的卷積公式 . （ 3）兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的可加性 ① 泊松分布具有可加性：設(shè) X， Y相互獨(dú)立，且 ，則 。 解法： 。 解題步驟： ① 求出 Z的可能取值 ， ② 分別求概率 ， ③ 列表得出 Z的分布律。 （ 4）求分量 X， Y的數(shù)學(xué)期望： （ 1）定義：設(shè) 及 ， 分別為二維隨機(jī)變量（ X， Y）的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對(duì)任意 x， y有 ，則稱隨機(jī)變量 X和 Y相互獨(dú)立。 （ 2） 有如下性質(zhì) i） ； ii） ； iii）設(shè) D為 平面上的一個(gè)區(qū)域，則（ X， Y）落入 D內(nèi)的概率為 ； iv）在 的連續(xù)點(diǎn)（ x， y），有 。 （ 4）邊緣分布 稱 （ i＝ 1， 2， ? ）為關(guān)于 X的邊緣分布； 稱 （ j＝ 1， 2， ? ）為關(guān)于 Y的邊緣分布。 的性質(zhì) （ 1） 是變量 x（或 y）的單調(diào)非減函數(shù)； （ 2） ，對(duì)于固定的 y， ，對(duì)于固定的 x， ； （ 3） 關(guān)于 x和關(guān)于 y均右連續(xù)； （ 4）對(duì)任意 （ 1）定義：若二維隨機(jī)變量（ X， Y）只取有限對(duì)或可列無窮多對(duì) ， 則稱（ X， Y）為離散型隨機(jī)變量。 根據(jù)聯(lián)合分布函數(shù)可求出（ X, Y）落入?yún)^(qū)域 的概率為。 專題三 二維隨機(jī)變量 近幾年試題的考點(diǎn)分布和分?jǐn)?shù)分布 最低分?jǐn)?shù)分布 最高分?jǐn)?shù)分布 平均分?jǐn)?shù)分布 分布律 4 ②, 4 2 分布函數(shù) 4 2 密度函數(shù) ② 2 2 邊緣分布 4 10 數(shù)字特征 ② ， ② ， 2 ② ， 12 4 二維隨機(jī)變量 函數(shù) ② ， 4 ② ， 2， 2 4 2 合計(jì) 18/100 40/100 22/100 II. 內(nèi)容總結(jié) 一、二維隨機(jī)變量 由兩個(gè)隨機(jī)變量 X,Y組成的有序組（ X, Y）稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。 解析：本題是一維連續(xù)型隨機(jī)變量的指數(shù)分布求概率與離散型隨機(jī)變量二項(xiàng)分布求分布律和概率的綜合題。 解：因?yàn)槭袌?chǎng)上對(duì)冰淇淋的需求量的盒數(shù) ，所以概率密度為 設(shè)小店組織 y盒冰淇淋時(shí)，平均收益最大，收益函數(shù)為 ，則 且平均收益為 觀察此關(guān)于 y的二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為－ 2＜ 0，所以，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得最大值， 因此，小店組織 y＝ 250盒冰淇淋時(shí)，平均收益最大。 例 12. 假定暑期市場(chǎng)上對(duì)冰 淇淋的需求量是隨機(jī)變量 X盒，它服從區(qū)間 [200， 400]上的均勻分布，設(shè)每售出一盒冰淇淋可為小店掙得 1元，但假如銷售不出而屯積于冰箱，則每盒賠 3元。設(shè) Y的分布函數(shù)為 ，則當(dāng) 時(shí) 其中 為 X的分布函數(shù)。 （ 3）解法一：由已知， Y=2X， 根據(jù) p52定理，對(duì)于函數(shù) ，而 ，則當(dāng) 時(shí)， 所以， 。 （ 2）解法一：利用概率密度求概率。 解析：本題考察一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、分布函數(shù)的概念和性質(zhì)，以及隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度。 （ 3）由（ 2） 化簡(jiǎn)為 ，所以 另解：也可用分布函數(shù)來計(jì)算這個(gè) 概率。 解：（ 1）因?yàn)樵?的連續(xù)點(diǎn)有 ，所以 （ 2）由（ 1）可知 X～ U（ 0， 8），所以 。 （ 2）首先求 ，又 ， 再求 ， 。 解析：本題考察一維離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望及隨機(jī)變量函數(shù)的方差的計(jì)算方法。 例 8. 若 ，且 , 則 ＝（ ） 答案： A 解析：本題考察正態(tài)分布求概率的方法。 若隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 λ 的泊松分布，則 。 例 ，且 ，則 n＝ ___________. 答案： 5 解析：本題考察二項(xiàng)分布的概率。 ，因?yàn)?是單調(diào)非減函數(shù)，所以 。 根據(jù)已知條件函數(shù) 在 上等于 sinx及 sinx在四個(gè)象限的正、負(fù)取值，淘汰 A, D選項(xiàng)；再根據(jù)，驗(yàn)算選項(xiàng) C， ，淘汰 C；或根據(jù)此性質(zhì)驗(yàn)算選項(xiàng) B，直接得到答案。 本題 ， ，故填 。 解法二： 例 X的概率密度為 ，則 c=___________。 解法：設(shè) Y的分布函數(shù)為 的反函數(shù)為 ，則 例 X的概率分布為 為其分布函數(shù)，則 = ______. 答案： 解析：本題考核概率分布的性質(zhì)及分布函數(shù)的概念。設(shè) 是嚴(yán)格單 調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)?，則 的概率密度為 。 （ 2）離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè) X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 X ? ? 概率 ? ? 則 的分布律為 Y ? ? 概率 ? ? 注：對(duì) 相同者，須合并并把概率相加。 （ 3）方差的計(jì)算公式： （ 1）隨機(jī)變量的函數(shù)：設(shè) X為隨機(jī)變量， 為連續(xù)函數(shù)，則 為隨機(jī)變量 X的函數(shù)。 （ 1）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)