【正文】 ? ② 分布列的性質(zhì)： i） ； ii） （ 3）分布函數(shù)： 。設(shè)產(chǎn)品由甲、乙廠生產(chǎn)分別為事件 ，產(chǎn)品為次品為事件 B，則由 “ 全概率公式 ” 有 。 A：對立事件， B：相互獨(dú)立事件， C：互不相容事件。 （ 3）事件的差：稱事件 “A 發(fā)生而事件 B不發(fā)生 ” 為事件 A與 B的差事件，記做 AB. 性質(zhì)： 。 （ 3）互不相容關(guān)系：若事件 A與 B不能同時發(fā)生，稱事件 A與 B互不相容或互斥，可表示為 。第一部分 概率論部分 第一部分 概率論部分 專題一 事件與概率 I. 考點(diǎn)分析 近幾年試題的考點(diǎn)及分?jǐn)?shù)分布 最多分?jǐn)?shù)分布 最少分?jǐn)?shù)分布 平均分?jǐn)?shù)分布 事件 ② ， 2 1 古典概型 2， 2 2 3 加法公式 2 2 2 條件概率 ② ， 2 ② 3 全概公式 2 1 乘法公式 8 1 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 2 2 2 合計 22/100 10/100 17/100 注： ② 表示選擇題及其分?jǐn)?shù)，下同。 （ 4）對立事件：稱事件 “A 不發(fā)生 ” 為事件 A的對立事件或逆事件，記做 ；滿足 且 。 （ 4）事件運(yùn)算的性質(zhì) （ i）交換律： ； （ ii）結(jié)合律： ； （ iii）分配律： （ iv）摩根律（對偶律） 三、事件的概率 : 相同條件下進(jìn)行 n次試驗(yàn)，事件 A出現(xiàn) 次，事件 A的頻率為 ； （描述性）：當(dāng) n很大時，事件 A頻率的穩(wěn)定值 p，事件 A的概率 ； 概率的性質(zhì)： ① 對任意事件 A， ； ② ； ③ ； ④ 。 例 3. 設(shè) A， B為兩個隨機(jī)事件，且 ，則 ＝（ ） A. B. C. D. 1 答案： D 解析：本題考察和事 件、條件事件的概念及其概率。 例 P（ A）＝ , P（ B）＝ , 且 P（ ）＝ , 求 P（ AB） . 答案： 解析：本題主要考察事件及其概率的運(yùn)算，綜合了專題一的內(nèi)容。 （ 4）離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ① 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布列為 X ? ? 概率 ? ? 如果級數(shù) 絕對收斂，則稱其為 X的數(shù)學(xué)期望，記為 。 （ A）正態(tài)分布： ① 密度函數(shù)： ② 分布函數(shù)： ③ 數(shù)學(xué)期望： , ④ 方差： ， ⑤ 標(biāo)準(zhǔn)化代換： 若 。設(shè) 是嚴(yán)格單 調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)?，則 的概率密度為 。 根據(jù)已知條件函數(shù) 在 上等于 sinx及 sinx在四個象限的正、負(fù)取值，淘汰 A, D選項(xiàng)；再根據(jù)，驗(yàn)算選項(xiàng) C， ，淘汰 C；或根據(jù)此性質(zhì)驗(yàn)算選項(xiàng) B，直接得到答案。 例 8. 若 ，且 , 則 ＝（ ） 答案： A 解析：本題考察正態(tài)分布求概率的方法。 （ 3）由（ 2） 化簡為 ，所以 另解：也可用分布函數(shù)來計算這個 概率。設(shè) Y的分布函數(shù)為 ，則當(dāng) 時 其中 為 X的分布函數(shù)。 專題三 二維隨機(jī)變量 近幾年試題的考點(diǎn)分布和分?jǐn)?shù)分布 最低分?jǐn)?shù)分布 最高分?jǐn)?shù)分布 平均分?jǐn)?shù)分布 分布律 4 ②, 4 2 分布函數(shù) 4 2 密度函數(shù) ② 2 2 邊緣分布 4 10 數(shù)字特征 ② ， ② ， 2 ② ， 12 4 二維隨機(jī)變量 函數(shù) ② ， 4 ② ， 2， 2 4 2 合計 18/100 40/100 22/100 II. 內(nèi)容總結(jié) 一、二維隨機(jī)變量 由兩個隨機(jī)變量 X,Y組成的有序組（ X, Y）稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。 （ 2） 有如下性質(zhì) i） ； ii） ； iii）設(shè) D為 平面上的一個區(qū)域，則（ X， Y）落入 D內(nèi)的概率為 ； iv）在 的連續(xù)點(diǎn)（ x， y），有 。 求解公式： 同理可得另一個解析式 ， 這就是二維連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立分量和的卷積公式 . （ 3）兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的可加性 ① 泊松分布具有可加性：設(shè) X， Y相互獨(dú)立，且 ，則 。 C）協(xié)方差的性質(zhì)： ① ； ② ，其中 a， b為任意常數(shù)； ③ ； ④ 若 X與 Y相互獨(dú)立， ，協(xié)方差為零只是隨機(jī)變量相互獨(dú)立的必要條件，而不是充分必要條件； ⑤ ； ⑥ ⑦ 補(bǔ)充性質(zhì)：課本 p111，例 4－ 36. 一般情況下， （ 4）相關(guān)系數(shù) A）定義：稱 為隨機(jī)變量 X與 Y的相關(guān)系數(shù)。 解：（ 1）由二維連續(xù)型隨機(jī)變量（ X， Y）概率密度的性質(zhì) ， 則 ，所以 。 解析：本題考核二維隨機(jī)變量的均勻分布概念及協(xié)方差的計算（選自課本 P106，例 4－ 29）。 二、大數(shù)定律 （ 1）貝努利大數(shù)定律：設(shè) m是 n獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù) ，則對任意給定的 ，總有 （ 2）切比雪夫大數(shù)定律：隨機(jī)變量序列 相互獨(dú)立且具有有限的期望 和方差 ，則對任意給定的 ，總有 三、中心極限定理 （ 1）獨(dú)立同分布序列中心極限定理：隨機(jī)變量 ,相互獨(dú)立，服從相同的分布且具有期望 和方差 ，則對隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 及任意 x，總有 （ 2）兩個結(jié)論 ① 定理說明，當(dāng) n充分大時，不論獨(dú)立同分布隨機(jī)變量服從什么分布，其和近似服從正態(tài)分布； ② 定理說明：當(dāng) n充分大時，不論獨(dú) 立同分布隨機(jī)變量服從什么分布，其平均值 。 如果總體 X的樣本 x1,x2?,x n滿足：（ 1） x1與 X有相同分布， i＝ 1， 2， ? ， n；（ 2） x1,x2?,x n相互獨(dú)立，則稱該樣本為簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本。 （ 1）矩法（數(shù)字特征法）： ： ① 用樣本矩作為總體矩的估計值； ② 用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計值。 例 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其概率密度為 由來自總體 X的一個樣本 [答疑編號 918020203] 答案： 解析：本題考察指數(shù)分布的概念：設(shè)總體 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，則其數(shù)學(xué)期望 例 為來自總體 X 的樣本，則當(dāng) α ＝ ______時， [答疑編號 918020204] 答案： 1/4 例 來自正態(tài)總體 容量為 100的簡單隨機(jī)樣本，得樣本均值為 10，則未知參數(shù) μ 的置信度為 ______. [答疑編號 918020205] 答案： [， ] 解析：本題考核區(qū)間估計內(nèi)容。 ① 參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)：對總體的數(shù)字特征，或分布函數(shù)中的參數(shù)提出假設(shè)的問題，稱為參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。 四、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯誤 （ 1）假設(shè)檢驗(yàn)可能犯下列兩類錯誤 ： ① 第一類錯誤： “ 棄真錯誤 ” ： H0正確而放棄 H0。假定顧客對產(chǎn)品估價為 X元，根據(jù)以往長期統(tǒng)計資料表明顧客對產(chǎn)品估價 X～ N（ 35， 102），所以公司定價為 35元。這里所說犯第一類錯誤的概率就是 P{拒絕 H0｜ H0為真）所以，本題填寫 。 （ 2） t檢驗(yàn)法 其中， 從而得拒絕域時，拒絕 H0，認(rèn)為一元線性回歸顯著；否則，認(rèn)為不顯著。 二、考點(diǎn)分析 1. 總體印象 對本套試題的總體印象是：內(nèi)容全面，總體難度適中，個別考題的設(shè)問方式上略有創(chuàng)新。 故選擇 C。本題對立事件計算簡單，所以選擇用對立事件計算所求概率。 解：因?yàn)?X服從區(qū)間 [a， b]上的均勻分布，概率密度為 ，所以 故選擇 B。 解：由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)有 ＝ ，所以 。 X服從參數(shù)為 ，用切比雪夫不等式估計 P（ |X－ 2|≥3 ） ≤ （ ） A. B. C. [答疑編號 918060109] 答案： C； 解析：本題主要考察切比雪夫不等式的應(yīng)用。 二、填空題（本大題共 15小題 ,每小題 2分，共 30分） 請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。 A， B 相互獨(dú)立， P（ ）＝ ， P（ A ）＝ P（ B），則 P（ ）＝ ________. [答疑編號 918060203] 答案： ； 解析：本題考察相互獨(dú)立事件概率的計算。 [0， T]內(nèi)通過某交通路口的汽車數(shù) X服從泊松分布，且已知 P（ X＝ 4）＝ 3P（ X＝ 3），則在時間 [0， T]內(nèi)至少有一輛汽車通過的概率為 _________. [答疑編號 918060205] 答案： 1－ e－ 12； 解析：本題考察泊松分布的概念及其概率的求法。 提示：互不相容二事件的和事件的概率＝兩事件概率之和；相互獨(dú)立二事件的積事件的概率＝兩事件概率之積。 x1,x2,?,x n是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差 E（ Xi）＝ 0， D（ Xi）＝ 1，則當(dāng) n充分大的時候，隨機(jī)變量 的概率分布近似服從 ________（標(biāo)明參數(shù)） . [答疑編號 918060210] 答案： N（ 0,1）； 解析：本題考察獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理應(yīng)用。 提示：區(qū)間估計題目在以往的試卷中，通常以大題出現(xiàn)，從今年的幾套試題看，以后可能都將以小題出現(xiàn)，請記住結(jié)果，作為公式使用。 解：由已知，在 6次觀察中，觀察的 3種結(jié)果的次數(shù)分別為 2， 3， 1，從而得似然函數(shù) ， ，解得 。 提示：理解中心極限定理內(nèi)容，探討解題方法。 解：當(dāng) x＞ 0時， ，所以 當(dāng) x≤0 時， fx（ x）＝ 0， 故填寫 。 故填寫 1－ e－ 12。 故填寫 。 P（ A）＝ ， P（ A－ B）＝ ，則 P（ ）＝ ________. [答疑編號 918060201] 答案： ； 解析：本題考察事件的關(guān)系、運(yùn)算及其概率。 提示： ① 課本介紹了一維隨機(jī)變量的 6種分布（ P104，表 4－ 1），對于這 6種分布的表示法、分布律或概率密度函數(shù)、期望、方差都要記住，尤其是期望和方差，可以在解題時直接使用，不必按期 望和方差的定義重新計算； ② 第五章的三部分內(nèi)容：切比雪夫不等式、大數(shù)定律、中心極限定理，內(nèi)容不易掌握。 提示：（ 1）課本 P67上聯(lián)合概率密度 f（ x,y）的性質(zhì)列出 2條，其實(shí)應(yīng)該列 4條，而且，這 4條性質(zhì)都是近幾年考試的考點(diǎn)。 （ 2）均勻分布概率密度的求法。 X的概率分布如下表所示： 則下列概率 計算結(jié)果正確的是（ ） （ X＝ 3）＝ 0 （ X＝ 0）＝ 0 （ X－ 1）＝ l （ X4）＝ l [答疑編號 918060104] 答案： A； 解析：本題考察用離散型隨機(jī)變量的分布律求概率的方法。 A， B，下列命題正確的是（ ） A， B互不相容，則 也互不相容 ，則 ，則 A， B對立，則 也對立 [答疑編號 918060102] 答案： D； 解析：本題考察兩事件相互關(guān)系的性質(zhì)?？傮w上應(yīng)該說難度適中。 例 y和 x之間的線性關(guān)系是否顯著，即考察由一組觀測數(shù)據(jù)（ xi， yi）， i=1， 2， ? ， n，得到的回歸 方程 是否有實(shí)際意義，需要檢驗(yàn)假設(shè)（ ） [答疑編號 918020209] 解析：本題考察回歸方程顯著性檢驗(yàn)中的 F檢驗(yàn)法。 解析：本題考核假設(shè)檢驗(yàn)中對顯著水平意義的理解。在 α= 下檢驗(yàn)估價是否顯著減小，是否需要調(diào)整產(chǎn)品價格？ （ =， =） [答疑編號 918020203] 解析：本題考核單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn) 。犯第二類錯誤的概率為 β ，但沒有給出 β 的求法。 二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟 ：根據(jù)理論或經(jīng)驗(yàn)對所要檢驗(yàn)的量作出原假設(shè)（零假設(shè)） H0和備擇假設(shè) H1，要求只有其一為真。 例 ，每瓶維生素 C的含量為隨機(jī)變量 X（單位： mg），設(shè) X～ N（ μ,σ 2），其中 μ,σ 2均未知。 （ 2）極