【正文】 ? ② 分布列的性質： i） ； ii） （ 3）分布函數： 。設產品由甲、乙廠生產分別為事件 ，產品為次品為事件 B，則由 “ 全概率公式 ” 有 。 A：對立事件， B：相互獨立事件， C：互不相容事件。 （ 3）事件的差：稱事件 “A 發(fā)生而事件 B不發(fā)生 ” 為事件 A與 B的差事件，記做 AB. 性質： 。 （ 3）互不相容關系：若事件 A與 B不能同時發(fā)生，稱事件 A與 B互不相容或互斥，可表示為 。第一部分 概率論部分 第一部分 概率論部分 專題一 事件與概率 I. 考點分析 近幾年試題的考點及分數分布 最多分數分布 最少分數分布 平均分數分布 事件 ② ， 2 1 古典概型 2， 2 2 3 加法公式 2 2 2 條件概率 ② ， 2 ② 3 全概公式 2 1 乘法公式 8 1 獨立重復試驗 2 2 2 合計 22/100 10/100 17/100 注： ② 表示選擇題及其分數，下同。 （ 4）對立事件：稱事件 “A 不發(fā)生 ” 為事件 A的對立事件或逆事件，記做 ；滿足 且 。 （ 4）事件運算的性質 （ i）交換律： ； （ ii）結合律： ； （ iii）分配律： （ iv）摩根律（對偶律） 三、事件的概率 : 相同條件下進行 n次試驗，事件 A出現 次，事件 A的頻率為 ； （描述性）：當 n很大時，事件 A頻率的穩(wěn)定值 p，事件 A的概率 ； 概率的性質： ① 對任意事件 A， ； ② ； ③ ； ④ 。 例 3. 設 A， B為兩個隨機事件，且 ，則 ＝（ ） A. B. C. D. 1 答案： D 解析：本題考察和事 件、條件事件的概念及其概率。 例 P（ A）＝ , P（ B）＝ , 且 P（ ）＝ , 求 P（ AB） . 答案： 解析：本題主要考察事件及其概率的運算，綜合了專題一的內容。 （ 4）離散型隨機變量的數字特征 ① 離散型隨機變量的數學期望 設離散型隨機變量 X的分布列為 X ? ? 概率 ? ? 如果級數 絕對收斂，則稱其為 X的數學期望，記為 。 （ A）正態(tài)分布： ① 密度函數： ② 分布函數： ③ 數學期望： , ④ 方差： ， ⑤ 標準化代換： 若 。設 是嚴格單 調的可導函數，其值域為 ，則 的概率密度為 。 根據已知條件函數 在 上等于 sinx及 sinx在四個象限的正、負取值，淘汰 A, D選項；再根據，驗算選項 C， ，淘汰 C；或根據此性質驗算選項 B，直接得到答案。 例 8. 若 ，且 , 則 ＝（ ） 答案： A 解析：本題考察正態(tài)分布求概率的方法。 （ 3）由（ 2） 化簡為 ，所以 另解：也可用分布函數來計算這個 概率。設 Y的分布函數為 ，則當 時 其中 為 X的分布函數。 專題三 二維隨機變量 近幾年試題的考點分布和分數分布 最低分數分布 最高分數分布 平均分數分布 分布律 4 ②, 4 2 分布函數 4 2 密度函數 ② 2 2 邊緣分布 4 10 數字特征 ② ， ② ， 2 ② ， 12 4 二維隨機變量 函數 ② ， 4 ② ， 2， 2 4 2 合計 18/100 40/100 22/100 II. 內容總結 一、二維隨機變量 由兩個隨機變量 X,Y組成的有序組（ X, Y）稱為二維隨機變量或二維隨機向量。 （ 2） 有如下性質 i） ； ii） ； iii）設 D為 平面上的一個區(qū)域，則（ X， Y）落入 D內的概率為 ； iv）在 的連續(xù)點（ x， y），有 。 求解公式： 同理可得另一個解析式 ， 這就是二維連續(xù)型隨機變量獨立分量和的卷積公式 . （ 3）兩個相互獨立的隨機變量的可加性 ① 泊松分布具有可加性：設 X， Y相互獨立，且 ，則 。 C）協(xié)方差的性質： ① ； ② ，其中 a， b為任意常數； ③ ； ④ 若 X與 Y相互獨立， ，協(xié)方差為零只是隨機變量相互獨立的必要條件，而不是充分必要條件； ⑤ ； ⑥ ⑦ 補充性質：課本 p111，例 4－ 36. 一般情況下， （ 4）相關系數 A）定義：稱 為隨機變量 X與 Y的相關系數。 解：（ 1）由二維連續(xù)型隨機變量（ X， Y）概率密度的性質 ， 則 ，所以 。 解析：本題考核二維隨機變量的均勻分布概念及協(xié)方差的計算（選自課本 P106，例 4－ 29）。 二、大數定律 （ 1）貝努利大數定律：設 m是 n獨立重復試驗中事件 A發(fā)生的次數 ，則對任意給定的 ，總有 （ 2）切比雪夫大數定律：隨機變量序列 相互獨立且具有有限的期望 和方差 ，則對任意給定的 ，總有 三、中心極限定理 （ 1）獨立同分布序列中心極限定理：隨機變量 ,相互獨立，服從相同的分布且具有期望 和方差 ，則對隨機變量 的分布函數 及任意 x，總有 （ 2）兩個結論 ① 定理說明，當 n充分大時，不論獨立同分布隨機變量服從什么分布，其和近似服從正態(tài)分布； ② 定理說明：當 n充分大時，不論獨 立同分布隨機變量服從什么分布，其平均值 。 如果總體 X的樣本 x1,x2?,x n滿足：（ 1） x1與 X有相同分布， i＝ 1， 2， ? ， n；（ 2） x1,x2?,x n相互獨立，則稱該樣本為簡單隨機樣本，簡稱樣本。 （ 1）矩法（數字特征法）： ： ① 用樣本矩作為總體矩的估計值； ② 用樣本矩的函數作為總體矩的函數的估計值。 例 X服從參數為 的指數分布，其概率密度為 由來自總體 X的一個樣本 [答疑編號 918020203] 答案： 解析：本題考察指數分布的概念：設總體 X服從參數為 的指數分布，則其數學期望 例 為來自總體 X 的樣本，則當 α ＝ ______時， [答疑編號 918020204] 答案： 1/4 例 來自正態(tài)總體 容量為 100的簡單隨機樣本，得樣本均值為 10，則未知參數 μ 的置信度為 ______. [答疑編號 918020205] 答案： [， ] 解析：本題考核區(qū)間估計內容。 ① 參數的假設檢驗：對總體的數字特征，或分布函數中的參數提出假設的問題，稱為參數的假設檢驗。 四、假設檢驗的兩類錯誤 （ 1）假設檢驗可能犯下列兩類錯誤 ： ① 第一類錯誤： “ 棄真錯誤 ” ： H0正確而放棄 H0。假定顧客對產品估價為 X元，根據以往長期統(tǒng)計資料表明顧客對產品估價 X～ N（ 35， 102），所以公司定價為 35元。這里所說犯第一類錯誤的概率就是 P{拒絕 H0｜ H0為真）所以，本題填寫 。 （ 2） t檢驗法 其中， 從而得拒絕域時，拒絕 H0，認為一元線性回歸顯著；否則，認為不顯著。 二、考點分析 1. 總體印象 對本套試題的總體印象是：內容全面，總體難度適中，個別考題的設問方式上略有創(chuàng)新。 故選擇 C。本題對立事件計算簡單，所以選擇用對立事件計算所求概率。 解：因為 X服從區(qū)間 [a， b]上的均勻分布，概率密度為 ，所以 故選擇 B。 解：由聯合概率密度的性質有 ＝ ，所以 。 X服從參數為 ，用切比雪夫不等式估計 P（ |X－ 2|≥3 ） ≤ （ ） A. B. C. [答疑編號 918060109] 答案： C； 解析：本題主要考察切比雪夫不等式的應用。 二、填空題（本大題共 15小題 ,每小題 2分，共 30分） 請在每小題的空格中填上正確答案。 A， B 相互獨立， P（ ）＝ ， P（ A ）＝ P（ B），則 P（ ）＝ ________. [答疑編號 918060203] 答案： ； 解析：本題考察相互獨立事件概率的計算。 [0， T]內通過某交通路口的汽車數 X服從泊松分布，且已知 P（ X＝ 4）＝ 3P（ X＝ 3），則在時間 [0， T]內至少有一輛汽車通過的概率為 _________. [答疑編號 918060205] 答案： 1－ e－ 12； 解析：本題考察泊松分布的概念及其概率的求法。 提示：互不相容二事件的和事件的概率＝兩事件概率之和；相互獨立二事件的積事件的概率＝兩事件概率之積。 x1,x2,?,x n是獨立同分布隨機變量序列，具有相同的數學期望和方差 E（ Xi）＝ 0， D（ Xi）＝ 1，則當 n充分大的時候，隨機變量 的概率分布近似服從 ________（標明參數） . [答疑編號 918060210] 答案： N（ 0,1）； 解析：本題考察獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理應用。 提示：區(qū)間估計題目在以往的試卷中，通常以大題出現，從今年的幾套試題看，以后可能都將以小題出現，請記住結果，作為公式使用。 解：由已知，在 6次觀察中，觀察的 3種結果的次數分別為 2， 3， 1，從而得似然函數 ， ，解得 。 提示：理解中心極限定理內容，探討解題方法。 解：當 x＞ 0時， ，所以 當 x≤0 時， fx（ x）＝ 0， 故填寫 。 故填寫 1－ e－ 12。 故填寫 。 P（ A）＝ ， P（ A－ B）＝ ，則 P（ ）＝ ________. [答疑編號 918060201] 答案： ； 解析：本題考察事件的關系、運算及其概率。 提示： ① 課本介紹了一維隨機變量的 6種分布（ P104，表 4－ 1），對于這 6種分布的表示法、分布律或概率密度函數、期望、方差都要記住，尤其是期望和方差，可以在解題時直接使用，不必按期 望和方差的定義重新計算； ② 第五章的三部分內容：切比雪夫不等式、大數定律、中心極限定理，內容不易掌握。 提示：（ 1）課本 P67上聯合概率密度 f（ x,y）的性質列出 2條，其實應該列 4條，而且，這 4條性質都是近幾年考試的考點。 （ 2）均勻分布概率密度的求法。 X的概率分布如下表所示： 則下列概率 計算結果正確的是（ ） （ X＝ 3）＝ 0 （ X＝ 0）＝ 0 （ X－ 1）＝ l （ X4）＝ l [答疑編號 918060104] 答案： A； 解析：本題考察用離散型隨機變量的分布律求概率的方法。 A， B，下列命題正確的是（ ） A， B互不相容，則 也互不相容 ，則 ，則 A， B對立，則 也對立 [答疑編號 918060102] 答案： D； 解析：本題考察兩事件相互關系的性質?？傮w上應該說難度適中。 例 y和 x之間的線性關系是否顯著，即考察由一組觀測數據（ xi， yi）， i=1， 2， ? ， n，得到的回歸 方程 是否有實際意義，需要檢驗假設（ ） [答疑編號 918020209] 解析：本題考察回歸方程顯著性檢驗中的 F檢驗法。 解析：本題考核假設檢驗中對顯著水平意義的理解。在 α= 下檢驗估價是否顯著減小，是否需要調整產品價格？ （ =， =） [答疑編號 918020203] 解析：本題考核單側假設檢驗 。犯第二類錯誤的概率為 β ，但沒有給出 β 的求法。 二、假設檢驗的基本步驟 ：根據理論或經驗對所要檢驗的量作出原假設（零假設） H0和備擇假設 H1，要求只有其一為真。 例 ，每瓶維生素 C的含量為隨機變量 X（單位： mg），設 X～ N（ μ,σ 2），其中 μ,σ 2均未知。 （ 2）極