【正文】 提示：極大似然估計的兩個要點：（見課本 P148－ 150, 定義 7－ 1及例 7－ 6至 7－ 10） （ 1）如何構(gòu)造似然函數(shù)？ ① 定義中的 “ 概率函數(shù) p（ x,θ ） ” 指。 解：由已知，在 6次觀察中，觀察的 3種結(jié)果的次數(shù)分別為 2， 3， 1，從而得似然函數(shù) ， ，解得 。 提示：區(qū)間估計題目在以往的試卷中，通常以大題出現(xiàn)，從今年的幾套試題看，以后可能都將以小題出現(xiàn)，請記住結(jié)果，作為公式使用。 X～ N（ μ,4 2），容量為 16的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值為 53，則未知參數(shù) μ 的置信度為 ________.（ ＝ ， ＝ ） [答疑編號 918060212] 答案： [,]； 解析：本題考察區(qū)間估計中正態(tài)總體、方差已知對均值估計的情況。 解：因為 Xi～ N（ 3， 4）， i＝ 1， 2， ? ， n，所以 ～ N(0,1)，由 x2分布的定義可知 ～ x2（ n） 故填寫 x2（ n）。 提示：理解中心極限定理內(nèi)容，探討解題方法。 x1,x2,?,x n是獨立同分布隨機(jī)變量序列，具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差 E（ Xi）＝ 0， D（ Xi）＝ 1，則當(dāng) n充分大的時候，隨機(jī)變量 的概率分布近似服從 ________（標(biāo)明參數(shù)） . [答疑編號 918060210] 答案： N（ 0,1）； 解析：本題考察獨立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理應(yīng)用。 解： cov（ X,Y）＝ E（ XY）－ E（ X） E（ Y）＝ 0－ （－ ）＝ ， 故填寫 。 （ 2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法。 解：當(dāng) x＞ 0時， ，所以 當(dāng) x≤0 時， fx（ x）＝ 0， 故填寫 。 提示：互不相容二事件的和事件的概率＝兩事件概率之和；相互獨立二事件的積事件的概率＝兩事件概率之積。 （ X， Y）的 概率分布為 則 P{X＝ Y}的概率（分布）為 ________.（原題好像多了 “ 分布 ” 二字） [答疑編號 918060207] 答案： ； 解析：本題考察二維離散型隨機(jī)變量的概率。 X～ N（ 10， σ 2），已知 P（ 10X20）＝ ，則 P（ 0X10）＝ ________. [答疑編號 918060206] 答案： ； 解析：本題考察正態(tài)分布求概率的方法。 故填寫 1－ e－ 12。 [0， T]內(nèi)通過某交通路口的汽車數(shù) X服從泊松分布，且已知 P（ X＝ 4）＝ 3P（ X＝ 3），則在時間 [0， T]內(nèi)至少有一輛汽車通過的概率為 _________. [答疑編號 918060205] 答案： 1－ e－ 12； 解析：本題考察泊松分布的概念及其概率的求法。 故填寫 。 ，則在今后連續(xù)四年內(nèi)至少有一年發(fā)生旱災(zāi)的概率為 __________. [答疑編 號 918060204] 答案： ； 解析：本題考察獨立重復(fù)試驗的概率。 故填寫 。 A， B 相互獨立， P（ ）＝ ， P（ A ）＝ P（ B），則 P（ ）＝ ________. [答疑編號 918060203] 答案： ； 解析：本題考察相互獨立事件概率的計算。 解： ，故填寫 。 故填寫 . 提示：差事件的性質(zhì)： ① ； ② P （ A－ B）＝ P（ A）＝ P（ AB）。 P（ A）＝ ， P（ A－ B）＝ ，則 P（ ）＝ ________. [答疑編號 918060201] 答案： ； 解析：本題考察事件的關(guān)系、運算及其概率。 二、填空題（本大題共 15小題 ,每小題 2分，共 30分） 請在每小題的空格中填上正確答案。 解：若 T是 E（ X）的無偏估計，必有 E（ T）＝ E（ X），即 解得 k= ，故選擇 B。但是，這一章的理論地位十分重要，一定要注意理解。 提示： ① 課本介紹了一維隨機(jī)變量的 6種分布（ P104，表 4－ 1），對于這 6種分布的表示法、分布律或概率密度函數(shù)、期望、方差都要記住，尤其是期望和方差，可以在解題時直接使用，不必按期 望和方差的定義重新計算； ② 第五章的三部分內(nèi)容：切比雪夫不等式、大數(shù)定律、中心極限定理，內(nèi)容不易掌握。 X服從參數(shù)為 ，用切比雪夫不等式估計 P（ |X－ 2|≥3 ） ≤ （ ） A. B. C. [答疑編號 918060109] 答案： C； 解析：本題主要考察切比雪夫不等式的應(yīng)用。 解：由已知 D（ X）＝ 1， D（ Y）＝ D（ 2X－ 1）＝ 22D（ x）＝ 4，故選擇 D。 （ 2）二重積分的積分法：除本題矩形區(qū)域外，其他情況參看課本 P71，例 3－ 12， 3－ 13即可。 提示：（ 1）課本 P67上聯(lián)合概率密度 f（ x,y）的性質(zhì)列出 2條，其實應(yīng)該列 4條，而且，這 4條性質(zhì)都是近幾年考試的考點。 解：由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)有 ＝ ，所以 。 提示： ① 二維離散型隨機(jī)變量（ X， Y ），若 X與 Y相互獨立，則 pij＝ pipj； ② 注意適當(dāng)選擇 i， j，以便簡化計算，如本題的選擇。 解： ， ， ， 因為 X與 Y相互獨立，所以 P{X＝ 2,Y＝－ 1}＝ P{X＝ 2}P{Y＝－ 1}， P{X＝ 2,Y＝ 1}＝ P{X＝ 2}P{Y＝ 1} 即 及 ，分別解得 ， 。 （ 2）均勻分布概率密度的求法。 解：因為 X服從區(qū)間 [a， b]上的均勻分布，概率密度為 ，所以 故選擇 B。事件 “ 隨機(jī)變量取不可能的取值 ” 是不可能事件，當(dāng)然概率為零。顯然，選擇 A。 X的概率分布如下表所示： 則下列概率 計算結(jié)果正確的是（ ） （ X＝ 3）＝ 0 （ X＝ 0）＝ 0 （ X－ 1）＝ l （ X4）＝ l [答疑編號 918060104] 答案： A； 解析：本題考察用離散型隨機(jī)變量的分布律求概率的方法。本題對立事件計算簡單，所以選擇用對立事件計算所求概率。 解： “3 次重復(fù)試驗中至少失敗一次 ” 的對立事件是 “3 次重復(fù)試驗全部成功 ” ，所以 P（ 3次重復(fù)試驗中至少失敗一次）＝ 1－ P（ 3次重復(fù)試驗全部成功）＝ 1－ p3， 故選擇 B。 提示：兩事件 A， B及其獨立事件，可以組成四對事件：（ A， B），（ A， ），（ ， B），（ ， ），這四對事件中，只要有一對相互獨立，其他三對也相互獨立。 A， B，下列命題正確的是（ ） A， B互不相容，則 也互不相容 ，則 ，則 A， B對立，則 也對立 [答疑編號 918060102] 答案： D； 解析：本題考察兩事件相互關(guān)系的性質(zhì)。 故選擇 C。 A、 B為兩事件，已知 P（ B）＝ ， P（ A∪B ）＝ ，若事件 A， B 相互獨立，則 P（ A）＝（ ） A. B. C. D. [答疑編號 918060101] 答案： C； 解析：本題主要考察相互獨立事件的概念及其概率?？键c分布的柱狀圖如下 三、試題詳解 全國 2020年 7 月高等教育自學(xué)考試 概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類）試題 一、單項選擇題（本大題共 10小題，每小題 2分 ,共 20分） 在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的 ,請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)?？傮w上應(yīng)該說難度適中。 二、考點分析 1. 總體印象 對本套試題的總體印象是：內(nèi)容全面，總體難度適中，個別考題的設(shè)問方式上略有創(chuàng)新。 三點建議：一是在聽取 本次串講前，請對課本內(nèi)容進(jìn)行一次較全面的復(fù)習(xí)，以便取得最佳效果；二是在聽取本次串講前，務(wù)必將本套試題獨立地做一遍，以便了解試題考察的知識點，以及個人對課程全部內(nèi)容的掌握情況，有重點的聽取本次串講；三是，在聽取串講的過程中，對重點、難點的題目，應(yīng)該反復(fù)多聽幾遍，探求解題規(guī)律，提高解題能力。 選擇 B。 例 y和 x之間的線性關(guān)系是否顯著，即考察由一組觀測數(shù)據(jù)（ xi， yi）， i=1， 2， ? ， n，得到的回歸 方程 是否有實際意義，需要檢驗假設(shè)（ ） [答疑編號 918020209] 解析：本題考察回歸方程顯著性檢驗中的 F檢驗法。 （ 2） t檢驗法 其中， 從而得拒絕域時，拒絕 H0，認(rèn)為一元線性回歸顯著；否則，認(rèn)為不顯著。 二、一元線性回歸分析 當(dāng)控制變量 x取一組不同的值 x1， x2， ? ， xn時，通過試驗得到隨機(jī)變量 y對應(yīng)值 y1， y2， ? ， yn，得到 n對觀測值（ x1， y1）， i＝ 1， 2， ? ， n，有如下關(guān)系 其中， 且相互獨立，則上式稱為一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型 .于是，一元線性回歸方程為 其中， 此方程的直線稱為回歸直線 . 未知參數(shù) β 0， β 1的估計方法 ―― 最小二乘法 （ 1） F檢驗法 其中， 稱為剩余平方和。因此，當(dāng) α 減小時， H0被拒絕的概率減小，被接受的概率增大。 解析：本題考核假設(shè)檢驗中對顯著水平意義的理解。這里所說犯第一類錯誤的概率就是 P{拒絕 H0｜ H0為真）所以，本題填寫 。 例 中犯第一類錯誤的概率， H0為原假設(shè)，則 P{拒絕 H0｜ H0真 }＝ ___________。 例 檢驗問題中，犯第一類錯誤的概率 α 的意義是（ ） H0不成立的條件下，經(jīng)檢驗 H0被拒絕的概率 H0不成立的條件下，經(jīng)檢驗 H0被接受的概率 H0成立的條件下，經(jīng)檢驗 H0被拒絕的概率 H0成立的條件下，經(jīng)檢驗 H0被接受的概率 [答疑編號 918020204] 解析：在假設(shè)檢驗問題中， “ 第一類錯誤 ” 稱為 “ 棄真錯誤 ” ，指 H0為真時被拒絕； “ 第二類錯誤 ”稱為 “ 取偽錯誤 ” ，指 H0為假時被接受，總之，兩類錯誤均針對 H0而言，注意記憶。在 α= 下檢驗估價是否顯著減小，是否需要調(diào)整產(chǎn)品價格？ （ =， =） [答疑編號 918020203] 解析：本題考核單側(cè)假設(shè)檢驗 。假定顧客對產(chǎn)品估價為 X元，根據(jù)以往長期統(tǒng)計資料表明顧客對產(chǎn)品估價 X～ N（ 35， 102），所以公司定價為 35元。 例 X服從正態(tài)分布 N（ μ ， 1） 為來自該總體的樣本， 為樣本均值， s的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，欲檢驗假設(shè) 則檢驗用的統(tǒng)計量是 [答疑編號 918020201] 答案： B 解析：本題考察正態(tài)總體、方差已知、對均值的檢驗。若同時減少犯兩類錯誤的概率，只有增加樣本容量。犯第二類錯誤的概率為 β ，但沒有給出 β 的求法。 四、假設(shè)檢驗的兩類錯誤 （ 1）假設(shè)檢驗可能犯下列兩類錯誤 ： ① 第一類錯誤： “ 棄真錯誤 ” ： H0正確而放棄 H0。 三、假設(shè)檢驗與區(qū)間估計的聯(lián)系 在顯著水平為 α 的雙側(cè)檢驗中，接受域（課本沒有給出接受域的概念，即拒絕域在實數(shù)內(nèi)的補(bǔ)集）即為置信度為 1α 的置信區(qū)間，即統(tǒng)計量的觀測值落入置信區(qū)間時，接受原假設(shè)，否則拒絕原假設(shè)，二者的風(fēng)險是一致的。 ： 按問題的要求，根據(jù)給定顯著水平 α 查表確定對應(yīng)于 α 的臨界值，從而得到對原假設(shè)H0的拒絕域 W。 二、假設(shè)檢驗的基本步驟 ：根據(jù)理論或經(jīng)驗對所要檢驗的量作出原假設(shè)（零假設(shè)） H0和備擇假設(shè) H1，要求只有其一為真。 ① 參數(shù)的假設(shè)檢驗：對總體的數(shù)字特征，或分布函數(shù)中的參數(shù)提出假設(shè)的問題，稱為參數(shù)的假設(shè)檢驗。 解：由已知， 置信度 1－ α ＝ 95％，取樣本方差 s2為總體方差 σ 2的點估計，選擇估計函數(shù) 從而得到 σ 2的 1－ α 置信區(qū)間為 查 帶入數(shù)值分別計算得 因此，所求的置信區(qū)間為 [， ]. 專題三 假設(shè)檢驗 最低分?jǐn)?shù)分布 最高分?jǐn)?shù)分布 平均分?jǐn)?shù)分布 兩類錯誤 ② 1 檢驗統(tǒng)計量 ② ， 2 2 均值檢驗 8 3 方