【正文】 （二）連續(xù)型隨機(jī)變量 若 X～ f（ x, ） 第一步 從總體 X 取出樣本 x1,x2,…,x n 第二步 構(gòu)造似然函數(shù) L（ x1,x2,…,x n， ）＝ f（ x1， ） f（ x2， ） …f （ xn， ） 第三步 計算 ln L（ x1,x2,…,x n， ）并化簡 第四步 當(dāng) ＝ 時 ln L（ x1,x2,…,x n， ）取最大值則取 ＝ 常用方法是微積分求最值的方法 例 7－ 7 設(shè)總體 X～ B（ 1， P）即 設(shè) P（ A）＝ ，從總體 X 中抽樣 x1,x2,…,x n，問最大似然法求 【答疑編號： 10070106 針對該題提問】 解：當(dāng) X～ B（ 1， P）時，應(yīng)有 ∴ P（ X＝ 1）＝ P， P（ X＝ 0） =1－ P。 本例中假設(shè)的數(shù)據(jù)很極端，一般地，我們可以這樣設(shè)想，在兩個箱子中各有 100 個球，甲箱中白球的比例是 P1，乙箱中白球的比例是 P2，已知 P1＞ P2，現(xiàn)隨機(jī)地抽取一個箱子并從中抽取一球，假定取到的是白球，如果我們要在兩個箱子中進(jìn)行選擇，由于甲箱中白球的比例高于乙箱，根據(jù)極大似然原理，我們應(yīng)該推斷該球來自甲箱。 【答疑編號： 10070103 針對該題提問】 解：因?yàn)? ∴ 例如抽樣總數(shù) n=100，其中次品 m=5. 則 例 7－ 5 電話總機(jī)在一分鐘間隔內(nèi)接到呼喚次數(shù) X～ P（ ）。求 的矩估計 。 替換原理和矩法估計 用下面公式表示 的方法叫矩法 例 7－ 1 對某型號的 20 輛汽車記錄每 5L 汽油的行駛里程（ km），觀測數(shù)據(jù)如下： 這是一個容量為 20 的樣本觀測值，對應(yīng)總體是該型號汽車每 5L 汽油的行駛里程，其分布形式尚不清楚，可用矩法估計其均值，方差，本例中經(jīng)計算有 ＝ ， ＝ 由此給出總體均值，方差的估計分別為即 【答疑編號： 10070101 針對該題提問】 矩法估計的統(tǒng)計思想（替換原理）十分簡單明確，眾人都能接受，使用場合甚廣。 49 下面首先介紹點(diǎn)估計 點(diǎn)估計的幾種方法 直接用來估計未知參數(shù) 的統(tǒng)計量 稱為參數(shù) 的點(diǎn)估計量，簡稱為點(diǎn)估計，人們可以運(yùn)用各種方法構(gòu)造出很多 的 估計，本節(jié)介紹兩種最常用的點(diǎn)估計方法。 參數(shù)估計的形式有兩類，設(shè) x1,x2,…,x n 是來自總體的樣本。 （五）知道樣本原點(diǎn)矩與樣本中心矩的概念 本章作業(yè) 教材 142 頁，習(xí) 題 自測題 6 一 , 第四章 參數(shù)估計 從本章開始我們介紹統(tǒng)計推斷，所謂統(tǒng)計推斷就是由樣本推斷總體，統(tǒng)計推斷包括參數(shù)估計和假設(shè)檢驗(yàn)兩部分，它們是統(tǒng)計推斷最基本而且是互相有聯(lián)系的兩部分，本章介紹統(tǒng)計推斷的第一部分參數(shù)估計。 定理 64 設(shè) X1,X2,…X n 是來自正態(tài)總體 N（ μ,σ2）的樣本， 其樣本均值和樣本方差分別為： 47 則有 （ 1） 與 s2 相互獨(dú)立； （ 2） 特別，若 （不證） 推論：設(shè)， σ21=σ22=σ2 并記 則 （不證） 本章小結(jié) 本章的基本要求是 （一）知道總體、樣本、簡單樣本和統(tǒng)計量的概念 （二）知道統(tǒng)計量 和 s2的下列性質(zhì)。 【例 68】若取 m=10,則 n=5,α=，那么從附表 5 上（ m=n1,n=n2）查得 （ 10,5） = 利用（ ）式可得到 【答疑編號： 10060202 針對該題提問】 分布 定義 68 設(shè)隨機(jī)變量與 X1 與 X2 獨(dú)立且 X1～ N（ 0， 1）， X2～ X2（ n）， 46 則稱 的分布為自由度為 n 的 t 的分布，記為 t～ t（ n） . t 分布密度函數(shù)的圖像是一個關(guān)于縱軸對稱的 分布（圖 66），與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形態(tài)類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些，尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。 當(dāng)隨機(jī)變量 F～ F（ m， n）時，對給定的 α（ 0α1），稱滿足 P{FFα}（ m,n） =α的數(shù) Fα（ m,n）是自由度為 m 與 n 的 F 分布的 α分位數(shù)。 分布 定義 67 設(shè) x1～ x2(m)， x2～ x2(n)X1 與 X2 獨(dú)立，則稱 的分布是自由度 為 m 與 n 的 F 分布，記為 F～ F（ m， n），其中 m 稱為分子自由度， n 稱為分母自由度。分位數(shù) xα2（ n） }可以從附表 4 中查到。 1. x2 分布（卡方分布） 定義 66 設(shè) X1， X2， … ， Xn獨(dú)立同分布于 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（ 0， 1）， 則 x2=x12+…x n2 的分布稱為自由度為 n 的 x2 分布，記為 x2～ x2（ n）。 定理 63 若 x(1),x(n)分別為極小、極大順序統(tǒng)計量，則 （ 1） x(1)的分布函數(shù) F1(x)=1(1F（ x))n,x（ 1） 的分布密度 f1(x)=n(1F(x))n1f(x) （ 2） x（ n） 的分布函數(shù) Fn(x)=[F(x)]n,x(n)的分布密度 fn(x)=n[F(x)]n1f(x) 證明 先求出 x（ 1） 及 x（ n） 的分布函數(shù) F1（ x）及 Fn（ x）： ， ， 分別對 F1（ x）， Fn（ x）求導(dǎo)即得 正態(tài)總體的抽樣分布 有很多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)總體的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個著名統(tǒng)計量（其抽樣分布分別為 x2 分布， t 分布和 F 分布）在實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用。本書中我們將其記為 sn2，以區(qū)別樣本方差 S2。統(tǒng)計量 （ ） 稱為樣本 k 階中心矩。 樣本矩及其函數(shù) 樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常見的統(tǒng)計量。下證（ ），注意到 ，而 ， 于是 ， 兩邊各除以 n1，即得（ ）式。 定理 62 設(shè)總體 X 具有二階矩，即 E（ x） =μ,D（ X） =σ2+∞ x1， x2， … ， xn 為從該總體得到的樣本， 和 s2分別是樣本均值和樣本方差，則 43 此定理表明，樣本均值的均值與總體均值相同，而樣本均值的方差是總體方差的 。 下面的定理給出樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望，它不依賴于總體的分布形式。 [例 67] 在例 66 中，我們已經(jīng)算得 ，其樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 ， 。相對樣本方差而言，樣本標(biāo)準(zhǔn)差通常更有實(shí)際意義，因?yàn)樗c樣本均值具有相同的度量單位。這表明 n 較大時 的漸近分布為 。另外， 故 （ 2）易知 為獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量之和，且 。 （ 1）若總體分布為 N（ μσ2），則 的 精確分布 為 ； （ 2）若總體 X 分布未知（或不是正態(tài)分布），且 E（ X） =μ， D（ X） =σ2，則當(dāng)樣本容量n 較大時， 的 漸近分布 為 ，這里的漸近分布是指 n 較大時的近似分布。 [例 66] 某單位收集到 20 名青年人某月的娛樂支出費(fèi)用數(shù)據(jù)： 79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 108 110 113 118 125 則該月這 20 名青年的平均娛樂支出為 【答疑編號： 10060105 針對該題提問】 對于樣本均值 的抽樣分布，我們有下面的定理。 按照這一定義，若 x1， x2， … ， xn 為樣本，則 ， 都是統(tǒng)計量，而當(dāng) μ， σ2 未知時， ， 等均不是統(tǒng)計量。 41 定義 61 設(shè) x1， x2， … ， xn 為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù) T＝ T（ x1， x2， … ， xn）中不含有任何未知參數(shù)，則稱 T 為 統(tǒng)計量 。為將這些分散在樣本中有關(guān)總體的信息集中起來以反映總體的各種特征，需要對樣本進(jìn)行加工。 【答疑編號： 10060104 針對該題提 問】 解 由概率論知識， X 服從泊松分布 P（ λ），其概率函數(shù) ， （其中 x是非負(fù)整數(shù)｛ 0， 1， 2， … ， k， … ｝中的一個）。 【答疑編號： 10060102 針對該題提問】 [例 64]設(shè)某種電燈泡的壽命 X 服從指數(shù)分布 E（ λ），其概率密度為： 則來自這一總體的簡單隨機(jī)樣本 x1， x2， … ， xn 的樣本分布密度為 【答疑編號： 10060103 針對該題提問】 [例 65]考慮電話交換臺一小時內(nèi)的呼喚次數(shù) X?？傮w的分布即 x1 的分布（ x1， x2， … ，xn 分布相同）。 設(shè)總體 X具有分布函數(shù) F（ x） , x1， x2， … ， xn 為取自該總體的容量為 n的樣本，則樣本聯(lián)合分布函數(shù) 為： 若總體具有密度函數(shù) f（ x），則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為 40 若總體 X 為離散型隨機(jī)變量，則樣本的（聯(lián)合）概率函數(shù)為 顯然，通常說的樣本分布是指多維隨機(jī)變量（ x1， x2， … ， xn）的聯(lián)合分布。除非特別指明，本書中的樣本皆為簡單隨機(jī)樣本。 （ 2）樣本要有 獨(dú)立性 ，即要求樣本中每一樣品的取值不影響其他樣品的取值，這意味著x1， x2， … ， xn 相互獨(dú)立。 從總體中抽取樣本可以有不同的抽法，為了能由樣本對總體做出較可靠的推斷，就 希望樣本能很好地代表總體。但 當(dāng)總體容量 N 很大但樣本容量 n 較小 時，不放回抽樣可以近似地看做放回抽樣，即可近似看做獨(dú)立隨機(jī)抽樣。還要求抽樣必須是獨(dú)立的，即每次的結(jié)果互不影響。 【答疑編號： 10060101 針對該題提問】 從總體中抽取樣本時，為使樣本具有代表性，抽樣必須是隨機(jī)抽樣。 [例 62]啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為 640g，由于隨機(jī)性，事實(shí)上不可能使得所有的啤酒凈含量均為 640g ,現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機(jī)抽取 10 瓶測定其凈含量，得到如下結(jié)果： 641 635 640 637 642 638 645 643 639 640 這是一個容量為 10 的樣本的觀測值。此時用小寫字母 x1， x2， … ， xn 表示是恰當(dāng)?shù)摹? 樣本 為了了解總體的分布，我們從總體中隨機(jī)地抽取 n個個體，記其指標(biāo)值為 x1， x2， … ，xn，則 x1， x2， … ， xn 稱為總體的一個樣本， n 稱為樣本容量，或簡稱樣本量，樣本中的個體稱為樣品。例如，兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品總體分布為： 39 我們可以看到，第一個工廠的產(chǎn)品質(zhì)量優(yōu)于第二個工廠。 [例 61]考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，將其產(chǎn)品只分為合格品與不合格品，并以 0 記合格品，以 1 記不合格品，則 總體＝｛該廠生產(chǎn)的全部合格品與不合格品｝＝｛由 0 或 1 組成 的一堆數(shù)｝。從這個意義上看，總體就是一個分布，而其數(shù)量指標(biāo)就是服從這個分布的隨機(jī)變量。這樣，每 個學(xué)生（個體）所具有的數(shù)量指標(biāo)值 ——身高就是個體，而將所有身高全體看成總體。事實(shí)上，每個學(xué)生有許多特征：性別、年齡、身高、體重、民族、籍貫等?？傮w中的個體是一些實(shí)在的人或物。 本章作業(yè) 習(xí)題 ： 1， 2， 3， 4 習(xí)題 ： 1， 2， 3， 4， 5， 7 教材 124 頁，自測題 5 一、 1， 2， 3 二、填空題 1， 2， 3， 4， 5 第三章 統(tǒng)計量及其抽樣分布 總體與樣本 總體與個體 在一個統(tǒng)計問題中，我們把研究對象的全體稱為總體，構(gòu)成總體的每個成員稱為個體。 （四）知道獨(dú)立同分布中心極限定理 若 記 Yn～ Fn（ x），則有 38 它說明當(dāng) n 很大時，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和 近似服從正態(tài) N（ nμ,nσ2）所以，無論 n 個獨(dú)立同分布的 X1,X2,…X n 服從何種分布， n 很大時， X1+X2+…X n 卻近似正態(tài) N（ nμ,nσ2） . （五）知道棣莫弗 — 拉普拉斯中心極限定理 若 Zn 表示 n 次獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生次數(shù)，即 Zn～ B（ n,p） ,則有 即 Zn 近似正態(tài) N（ np,np（ 1p） 2）。 （二）知道貝努 利大數(shù)定律 其中 n 是試驗(yàn)次數(shù)， m 是 A 發(fā)生次數(shù)，