【正文】 12 期望的性質(zhì) 期望有許多重要性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以進行期望的運算。下面列舉的這些性質(zhì)對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量而言，都可以利用隨機變量函數(shù)的期望與二維隨機變量函數(shù)的期望公式加以證明。 性質(zhì) 41 常數(shù)的期望等于這個常數(shù)，即 E（ C） =C，其中 C 為常數(shù)。 證明 常數(shù) C 作為隨機變量，它只可能取一個值 C，即 P{X=C}=1，所以 E（ C） =C1=C 性質(zhì) 42 常數(shù)與隨機變量 X 乘積的期望等于該常數(shù)與隨機變量 X 的期望的 乘積，即 E（ CX） =CE（ X）。 證明 設(shè) X 是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 f（ x），則有 當(dāng) X 為離散型隨機變量時，請讀者自證。 ∴ 有 E（ CX+b） =CEX+b 13 性質(zhì) 43 隨機變量和的期望等于隨機變量期望之和，即 E（ X+Y） =E（ X） +E（ Y）。 證明 不妨設(shè)（ X， Y）為二維隨機變量，其概率密度為 f（ x,y） ,Z=X+Y 是（ X， Y）的函數(shù)，有 =E（ X） +E（ Y）。 這一性質(zhì)可作如下推廣： E（ C1X+C2Y） =C1E（ X） +C2E（ Y），其中 C1， C2 為常數(shù)。 結(jié)合性質(zhì) 42 與性質(zhì) 43 可證此性質(zhì)。 一般地，設(shè) X1， X2， …,X n 為 n 個隨機變量，則有 E（ X1+X2+…+X n） = EX1+ EX2+…+ EX n E（ C1X1+C2X2+…+C nXn） =C1EX1+C2EX2+…+ C nEXn 性質(zhì) 44 兩個相互獨立的隨機變量乘積的期望等于期望的乘積，即若 X， Y 是 相互獨立的隨機變量，則 E（ XY） =E（ X） E（ Y）。 證明 僅證連續(xù)型情況，因為 X， Y 相互獨立，所以 f（ x,y） =fX（ x） fY（ y）， =E（ X） E（ Y） 由數(shù)學(xué)歸納法可證得：當(dāng) X1， X2， … ， Xn 相互獨立時有 E（ X1X2…X n） =E（ X1） E（ X2） …E （ Xn）。 【例 412】設(shè) Xi（ i=1,2,… ）服從 01 分布 其中 0p1,q=1p,且 X1,X2,…, X n 相互獨立。令 X=X1+X2+…+X n,求 X 的期望。 【答疑編號： 10040110 針對該題提問】 解法 1 由二項分布的定義知， X 服從二項分布，因此， E（ X） =np 解法 2 因為 E（ Xi） =p， X=X1+X2+…+X n,由期望性質(zhì)知 E（ X） =E（ X1） +E（ X2） +…+E （ Xn） =np。 這一結(jié)論與直接計算一致。 例 413 某人射擊目標(biāo)的命中率 他向目標(biāo)射擊 3 槍，擊中 0 槍得 0分，擊中一槍得 20 分，擊中二槍得 60 分，擊中三槍得 100 分。求他的平均得分。 【答疑編號： 10040111 針對該題提問】 解 用 X 表示該人擊中槍數(shù)， Y 表示得分?jǐn)?shù) 14 ∴ 該人平均得分 分。 方差的概念 隨機變量的期望反映了隨機變量取值的集中位置，在許多問題中，我們還要了解隨機變量的其他特征。例如，在投資決策中，我們選擇某一項目或購買某種資產(chǎn)（如股票、債券等），我們不僅關(guān)心其未來的收益水平，還關(guān)心其未來收益的不確定程度，前者通常用期望來度量，后者常稱為風(fēng)險程度。這種風(fēng)險程度有多種衡量方法，最 簡單直觀的方法就是用方差來度量。粗略地講，方差反映了隨機變量偏離其中心 期望的平均偏離程度。 對任一隨機變量 X，設(shè)期望為 E(X)，記 Y＝ XE(X)，稱為隨機變量 X的離差，由于 E(X)是常數(shù)，因而有 由此可知，離差 Y 代表隨機變量 X 與期望之間的隨機誤差，其值可正 可負(fù)，從總體上說正負(fù)相抵，故其期望為零。這樣用 E(Y)不足以描述 X 取值的分散程度。為了消除離差中的符號，我們也可以考慮使用絕對離差 ，但由于 中絕對值不便處理，轉(zhuǎn)而考慮離差平方 的期望，即用 來描述隨機變量 X 取值的分散程度。 定義 43 設(shè)隨機變量 的期望存在，則稱 為隨機變量 X 的方差， 記作 D(X),即 D(X)＝ 稱 為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差）。 從隨機變量的函數(shù)的期望看，隨機變量 X 的方差 D(X)即是 X 的函數(shù) 的期望。 15 由方 差定義可知，當(dāng)隨機變量的取值相對集中在期望附近時，方差較小；取值相對分散時，方差較大，并且總有 . 若 X 為離散型隨機變量，其分布律為 則 （ ） 若 X 為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 f(x),則 （ ） 【例 414】設(shè)兩批纖維的長度分別為隨機變量 其分布律為 求： 【答疑編號： 10040201 針對該題提問】 解 . 【例 415】已知隨機變量 X 的概率密度為 求： . 【答疑編號： 10040202 針對該題提問】 解 ＝ 在計算方差時，用下面的公式有時更為簡便； 16 即 X 的方差等于 的期望減去 X 的期望的平方。 證明 利用期望的性質(zhì)證明。 因為 () 由于 E(X)是一個常數(shù)，有 當(dāng) X 是離散型隨機變量時， () 當(dāng) X是連續(xù)型隨面變量時， () 【例 416】 設(shè)隨機變量的期望 E(X)=2,方差 D(X)=4， 求： . 【答疑編號： 10040203 針對該題提問 】 解 由式（ ） ，及已知 E(X)=2,D(X)=4,得 【例 417】設(shè) X 的概率密度為 求： DX. 【答疑編號： 10040204 針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） . 常見隨機變量的方差 分布 設(shè) X 的分布律為 17 其中 0＜ P＜ 1,則 X 的方差 D(X)=P(1P). 因為 而 故 （ 2）二項分布 設(shè) X～ B(n,p) 則有 (不證 ) （ 3）泊松分布 設(shè) X～ P( ),則有 (不證 ) （ 4）均勻分布 設(shè) X～ U(a,b),則有 （ 5）指數(shù)分布 設(shè) 18 (6)正態(tài)分布 可以證明，若 下表是六種常見分布的期望和方差的結(jié)果。 要求大家熟記下面公式。 【例 418】 若 X～ U(a,b)且 EX＝ 3， 求： a,b 及 X 的概率密度 f(x) 【答疑編號： 10040205 針對該題提問】 解： 【例 419】已知隨機變量 X服從二項分布，且 E(X)=， D(X)=，求二項分布的參數(shù) n， p。 【答疑編號： 10040206 針對該題提問】 解：因為 E(X)=np， D(X)=npq， 由已知 E(X)=， D(X)=， np=， npq=， 得 q=， p=， n=6 【例 420】已知（ X， Y）的分布律為 19 求： E(X),E(Y),D(X),D(Y). 【答疑編號： 10040207 針對該題提問】 解： ∵ ∴ （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） 【例 421】設(shè)（ X,Y）的概率密度為 20 求： E(X),E(Y),D(X),D(Y). 【答疑編號： 10040208 針對該題提問】 ， ， 【例 422】設(shè)（ X,Y）服從在 D 上的均勻分布，其中 D 由 x軸、 y軸及 x+y=1 所圍成，求 D(X). 【答疑編號： 10040209 針對該題提問】 解：由均勻分布定義知 因為 D 的面積 ∴ （ X,Y）的概率密度 方差的性質(zhì) 21 性質(zhì) 45 常數(shù)的方差等于零，隨機變量與常數(shù)之和的方差等于隨機變量的方差，即 D(C)=0,D(X+C)=D(X). 性質(zhì) 46 常數(shù)與隨機變量乘積的方差等于這個常數(shù)的平方與隨機變量方差的乘積，即，其中 C 為常數(shù) 性質(zhì) 47 兩個獨立隨機變量之和的方差等于它們方差之和，即若 X， Y 相互獨立，則 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 上式最后一項 E[(X－ E(X))(Y－ E(Y))]=E[XY－ XE(Y)－ YE(X)+E(X)E(Y)] =E(XY)－ E(X)E(Y)－ E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)－ E(X)E(Y)， 因為 X 與 Y 相互獨立，有 E(XY)=E(X)E(Y)，因而上式為零 因此 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 注意：證明過程中得到有用結(jié)論 E[(X－ E(X))(Y－ E(Y))]=E(XY)－ E(X)E(Y) 這一性質(zhì)也可推廣到 n 個相互獨立的隨機變量情況：若 相互獨立，則 將這一性質(zhì)應(yīng)用于二項分布可知，二項分布隨機變量 X 能表示成 n 個相互獨立的兩點分布隨機變量之和： ，因為 的方差為 pq,k=1， 2， … ， n，則 【例 423】 設(shè) 相互獨立，的期望和方差。 【答疑編號： 10040210 針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） 22 【例 424】設(shè)隨機變量 X， Y 相互獨立， X 與 Y 的方差分別為 4 和 2。求 D(2XY). 【答疑編號： 10040211 針對該題提問】 解 由方差的 性質(zhì)得 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 對二維隨機變量（ X， Y），我們除了討論 X 與 Y的期望和方差之外，還需討論 X 與 Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征，本節(jié)主要討論這方面的數(shù)字特征。 協(xié)方差 定義 44 設(shè)有二維隨機變量（ X， Y），且 E（ X）， E（ Y）存在，如果 存在， 則稱此值為 X 與 Y的協(xié)方差，記 ，即 定義 （ ） 當(dāng)（ X， Y）為二維離散型隨機變量時，其分布律為 則 （ ） 當(dāng)（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機變量時， 為（ X,Y)的概率密度 （ ） 協(xié)方差有下列計算公式： （ ） 證明 此公式是計算協(xié)方差的重要公式，特別地取 X=Y 時，有 【例 425】設(shè)（ X， Y）的密度函數(shù)為 23 求 【答疑編號： 10040301 針對該題提問】 解 由 則 【例 426】設(shè)（ X， Y）服從在 D 上的均勻分布，其中 D 由 x軸、 y軸及 x+y=1 所圍成，求 X 與 Y 的 協(xié)方差 【答疑編號： 10040302 針對該題提問】 解： ∵ D 的面積 ∴ 24