【正文】 下面分別給出離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的極大似然估計求未知參數(shù) 的估計 的步驟 （一）離散型隨機變量 第一步，從總體 X 取出 樣本 x1,x2,…,x n 51 第二步，構造似然函數(shù) L（ x1,x2,…,x n， ）＝ P（ X＝ x1） P（ X＝ x2） …P （ X＝ xn） 第三步，計算 ln L（ x1,x2,…,x n， ）并化簡 第四步，當 ＝ 時 ln L（ x1,x2,…,x n， ）取最大值則取 ＝ 常用方法是微積分求最值的方法。 【答疑編號： 10070102 針對該題提問】 解：易知總體 X 的均值為 由矩法 的矩估計為 比如，若樣本值為 ， ， ， 1， ， ， ，則 的估計值 50 ＝ 2 （ +++1+++）＝ 2 例 7－ 4 在一批產(chǎn)品取樣 n 件，發(fā)現(xiàn)其中有 m 件次品，試用此樣本求該批產(chǎn)品的次品率 p 的矩估計。它們是：矩法和極大似然法。 參數(shù)通常指總體分布中的特征值 和 和各種分布中的參數(shù)，例如二點分布 B（ 1， P）中的 p，泊松分布 P（ ）中的 ，正態(tài)分布 N（ 、 ）的 、 等，習慣用 表示參數(shù)，通常參數(shù) 是未知的。 圖 66 t 分布與 N（ 0,1）的密度函數(shù) 當隨機變量 t～ t（ n）時，稱滿足 P{ttα（ n） }=α 的 tα（ n）是自由度為 n 的 t 分布的 α分位數(shù)， 分位數(shù) tα（ n）可以從附表 3 中查到，例如當 n=10, α=，從附表 3 上查得 （ 10） = 由于 t 分布的密度函數(shù)關于 0 對稱，故其分位數(shù)有如下關系： t1α（ n） = tα（ n） 例如， （ 10） =（ 10） = 當 n 很大時，（ n≥30） ,t 分布可以用 N（ 0， 1）近似 P（ ttα） =1α,p（ tt1α） =1α， ∴ t1α=tα 來自一般正態(tài)總體的樣本均值 和樣本方差 S2 的抽樣分布是應用最廣的抽樣分布，下面我們加以介紹。 自由度為 m 與 n 的 F 分布的密度函數(shù)的圖像是一個只取非負值的偏態(tài)分布（見圖 65）。 x2（ n）分布的密度函數(shù)見圖 64 當隨機變量 x2～ x2（ n）時，對給定的 α（ 0α1） ,稱滿足 p{x2xα2（ n） }= α的 xα2（ n） }是自由度為 n的開方分布的 α分位數(shù)。 極大順序統(tǒng)計量和極小順序統(tǒng)計量 44 定義 65 設總體 X 具有分布函數(shù) F（ x），分布密度 f（ x） , x1， x2， … ， xn 為其樣本，我們分別稱 X（ 1） =min{x1,x2,…x n},x（ n） =max{x1,x2,…x n}為極小順序統(tǒng)計量和極大順序統(tǒng)計量。 定義 64 設 x1， x2， … ， xn 是樣本，則統(tǒng)計量 （ ） 稱為樣本 k 階原點矩，特別地，樣本一階原點矩 就是樣本均值。 證明 由于 （ 1） （ 2） 故（ ）式成立。 方法二 ∴ s= 31 【答疑編號： 10060201 針對該題提問】 通常用第二種方法計算 s2 方便許多。 樣本方差與樣本標準差 定義 63 設 x1， x2， … ， xn 為取自某總體的樣本，則它關于樣本均值 的平均偏差平方和 稱為 樣本方差 ，其算術根 稱為 樣本標準差 。 證明 （ 1）由于 為獨立正態(tài)變量線性組合，故 仍服從正態(tài)分布。 樣本均值及其抽樣分布 定義 62 設 x1， x2， … ， xn 為取自某總體的樣本，其算術平均值稱為樣本均值，一般用 表示，即 。最常用的加工方法是構造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。求來自這一總體的簡單隨機樣本 x1，x2， … ， xn 的樣本分布。 [例 63]為估計一物件的重量 μ，用一架天平重復測量 n次，得樣本 x1， x2， … ， xn，由于是獨立重復測量， x1， x2， … ， xn 是簡單隨機樣本。 用簡單隨機抽樣方法得到的樣本稱為 簡單隨機樣本 ，也簡稱 樣本 。 下面，我們假定抽樣方式總滿足獨立隨機抽樣的條件。通?？梢杂秒S機數(shù)表來實現(xiàn)隨機抽樣。簡單起見，無論是樣本還是其觀測值，本書中樣本一般均用 x1， x2， … ， xn 表示，讀者應能從上下文中加以區(qū)別。 實際中，分布中的不合格品率 是未知的，如何對之進行估計是統(tǒng)計學要研究的問題。以后說 “從總體中抽樣 ”與 “從某分布中抽樣 ”是同一個意思。而在該問題中，我們關心的只是該校學生的身高如何，對其他的特征暫不予以考慮。對多數(shù)實際問題。 （三）知道切比雪夫不等式大數(shù)定律 它說明在大量試驗中，隨機變量 取值穩(wěn)定在期望附近。 （ 2）在貝努利試驗中，若事件中 A 發(fā)生的概率為 p， 為 n 次獨立重復試驗中事件 A發(fā)生的頻率，則當 n 充分大時， 近似服從正態(tài)分布 【例 55】用中心極限定理得到求解 例 52 的概率。 E（ Y） =10016=1 600， D（ Y） = 160 000， 則所求概率為： 36 棣莫弗（ De Moivre） 拉普拉斯（ Laplace）中心極限定理 下面介紹另一個中心極限定理，它是定理 54 的特殊情況。 【答疑編號： 10050104 針對該題提問】 解 設 Xi為第 i次射擊時命中目標的炮彈數(shù)（ i=1,2,…,100 ），則 為 100 次射擊中命中目標的炮 彈總數(shù)，而且 X1， X2， …X 100 同分布且相互獨立。中心極限定理進一步告訴我們。 中心極限定理 獨立同分布序列的中心極限定理 定理 54 設 X1,X2,…Xn,… 是獨立同分布的隨機變量序列，且具有相同數(shù)學期望和 方差 E（ Xi） =μ， D（ Xi） =σ2（ i=1,2,… ）。此時，若所有的 Xi又具有相同的分布，則稱 X1,X2,…X n,… 是獨立同分布隨機變量序列。大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學形式表示證明了在一定的條件下，大量重復出現(xiàn)的 隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性與平均結果的穩(wěn)定性。于是有 E（ X） =np=10 000=7 000, D（ X） =npq=10 000=2100, P{6 800X7 200}=P{|X7000|200}≥1 可見，雖然 有 10 000盞燈，但是只要有供應 7 000盞燈的電力就能夠以相當大的概率保證夠用。 【答疑編號： 10050101 針對該題提問】 解 X 的分布律為 所以 33 當 ε=2時， 當 ε=， 可見，切比雪夫不等式成立。極限定理的內(nèi)容非常廣泛，本章中主要介紹大數(shù)定律與中心極限定理。2E[(XEX)(YEY)] =DX+DY177。 （ 1）離散型： （ 2）連續(xù)型： （ 3） （ 4） 31 期望的性質(zhì)： （ 1） E C=C （ 2） E（ kX） =kEX （ 3） E（ X177。 【例 429】設二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 求：（ 1） E（ X）， E（ Y）；（ 2） D（ X）， D（ Y） ；（ 3） Cov（ X， Y）， 【答疑編號： 10040305 針對該題提問】 解：這是一道綜合題，要熟練掌握解題的全過程，本題可以先求出邊緣概率密度，再求 27 期望和方差，也可以直接由聯(lián)合分布求期望和方差。 【答疑編號： 10040303 針對該題提問】 解 由 ，知 X， Y 一定不相互獨立。 協(xié)方差 定義 44 設有二維隨機變量（ X， Y），且 E（ X）， E（ Y）存在，如果 存在， 則稱此值為 X 與 Y的協(xié)方差，記 ，即 定義 （ ） 當（ X， Y）為二維離散型隨機變量時，其分布律為 則 （ ） 當（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機變量時， 為（ X,Y)的概率密度 （ ） 協(xié)方差有下列計算公式： （ ） 證明 此公式是計算協(xié)方差的重要公式，特別地取 X=Y 時，有 【例 425】設（ X， Y）的密度函數(shù)為 23 求 【答疑編號： 10040301 針對該題提問】 解 由 則 【例 426】設（ X， Y）服從在 D 上的均勻分布，其中 D 由 x軸、 y軸及 x+y=1 所圍成，求 X 與 Y 的 協(xié)方差 【答疑編號： 10040302 針對該題提問】 解： ∵ D 的面積 ∴ 24 協(xié)方差具有下列性質(zhì)： （ 1） （ 2） ，其中 a,b 為任意常數(shù)。 【例 418】 若 X～ U(a,b)且 EX＝ 3， 求： a,b 及 X 的概率密度 f(x) 【答疑編號： 10040205 針對該題提問】 解： 【例 419】已知隨機變量 X服從二項分布，且 E(X)=， D(X)=，求二項分布的參數(shù) n， p。 15 由方 差定義可知，當隨機變量的取值相對集中在期望附近時，方差較?。蝗≈迪鄬Ψ稚r，方差較大，并且總有 . 若 X 為離散型隨機變量，其分布律為 則 （ ） 若 X 為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 f(x),則 （ ） 【例 414】設兩批纖維的長度分別為隨機變量 其分布律為 求： 【答疑編號： 10040201 針對該題提問】 解 . 【例 415】已知隨機變量 X 的概率密度為 求： . 【答疑編號： 10040202 針對該題提問】 解 ＝ 在計算方差時，用下面的公式有時更為簡便； 16 即 X 的方差等于 的期望減去 X 的期望的平方。這樣用 E(Y)不足以描述 X 取值的分散程度。例如，在投資決策中，我們選擇某一項目或購買某種資產(chǎn)（如股票、債券等），我們不僅關心其未來的收益水平，還關心其未來收益的不確定程度，前者通常用期望來度量，后者常稱為風險程度。 例 413 某人射擊目標的命中率 他向目標射擊 3 槍，擊中 0 槍得 0分，擊中一槍得 20 分，擊中二槍得 60 分，擊中三槍得 100 分。 【例 412】設 Xi（ i=1,2,… ）服從 01 分布 其中 0p1,q=1p,且 X1,X2,…, X n 相互獨立。 這一性質(zhì)可作如下推廣： E（ C1X+C2Y） =C1E（ X） +C2E（ Y），其中 C1， C2 為常數(shù)。E（ X）。下面列舉的這些性質(zhì)對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量而言，都可以利用隨機變量函數(shù)的期望與二維隨機變量函數(shù)的期望公式加以證明。 定理 44 設 g（ X， Y）為連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機變量（ X， Y）的函數(shù) g（ X， Y）， （ 1）若（ X， Y）為離散型隨機變量，級數(shù) 收斂，則 （ 2）若（ X， Y）為連續(xù)型隨機變量，且積分 收斂，則 證明略。（不證） 上面三種情況列表如下（可以作為公式使用） 分布 EX X～ U（ a,b） X～ E（ λ） X～ N（ μ， σ2） μ 例如 X～ U（ 0,10） 則 X～ E（ 2） 則 下面介紹連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。 下面介紹幾種重要連續(xù)型隨機變量的期望。 連續(xù)型隨機變量的期望 對于連續(xù)型隨機變量的期望，形式上可類似于離散型隨機變量的期望給予定義，只需將 8 和式 中的 xi改變 x,pi改變?yōu)?f（ x） dx（其中 f（ x）為連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)）以及和號 “Σ”演變?yōu)榉e分號 “∫”即可。 令 Y=g（ X），若級數(shù) 絕對收斂，則隨機變量 Y 的數(shù)學期望為