自考輔導(dǎo)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)經(jīng)管類之概率論部分(參考版)
2024-10-25 13:06本頁(yè)面
【正文】 根據(jù)貝努利大數(shù)定律（課本 P118）的結(jié)論， 。 本題考核課本第五章大數(shù)定律及中心極限定理的內(nèi)容，理論性比較強(qiáng)，學(xué)習(xí)起來(lái)比較困難。 （ 3）棣莫佛 ―― 拉普拉斯中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變量 是 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)， P 是事件 A 發(fā)生的 A 發(fā)生的的概率，則對(duì)任意實(shí)數(shù) x III. 典型例題 例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差 DX 存在，且 A. B. C. D. 高等教育自學(xué)考試輔導(dǎo) 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類） 》 答案： C 例 變量序列 ， ? 獨(dú)立同分布，且 ， i＝ 1， 2， ? ，則對(duì)任意實(shí)數(shù) x, 。 答案： 0 專題四 大數(shù)定律及中心極限定理 近幾年試題的考點(diǎn)分布和分?jǐn)?shù)分布 最低分?jǐn)?shù)分布 最高分?jǐn)?shù)分布 平均分?jǐn)?shù)分布 切比 雪夫 不等式 2 大數(shù)定律 中心極限 定理 2 合計(jì) 0/100 4/100 1/100 一、切比雪夫不等式 ：隨機(jī)變量 ，則對(duì)任意給定的 ，總有 。 拓展：本題 U與 X， V與 Y 均為正線性相關(guān)或負(fù)線性相關(guān)（即表示為斜率同為正或同為負(fù)的一次函數(shù)），得到 ，即兩對(duì)隨機(jī)變量之間的相互關(guān)系程度 是相同的。 解：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義有 ， 又由方差的性質(zhì)有 再由協(xié)方差的性質(zhì)有 由已知， b， c， d 為常數(shù)， Y 為隨機(jī)變量，則應(yīng)用協(xié)方差的計(jì)算公式有 所以 ， 高等教育自學(xué)考試輔導(dǎo) 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類） 》 其中， ，計(jì)算同上。 解：可以求出區(qū)域 D 的面積為 ，所以服從均勻分布的二維隨機(jī)變量的概率密度為 高等教育自學(xué)考試輔導(dǎo) 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類） 》 ， 又 所以 例 7. 已知隨機(jī)變量 X， Y 的相關(guān)系數(shù)為 ，若 U=aX+b, V=cY+d, 其中 ac0. 試求 U， V 的相關(guān)系數(shù) 。 例 6. 設(shè)（ X， Y）服從在區(qū)域 D 上的均勻分布，其中 D為 x 軸、 y 軸及 x+y=1 所圍成，求 X 與 Y 的協(xié)方差 Cov（ X,Y）。（因?yàn)?） 解析：本題考核二維離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的概念和性質(zhì)。 （ 4） 例 4. 若隨機(jī)變量 X， Y 滿足 ,則正確的是 A. B. C. D. 答案： B 高等教育自學(xué)考試輔導(dǎo) 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類） 》 解析：本題考察方差性質(zhì)： 。 （ 2）由（ 1） ， 又由二維連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣密度的定義，有 高等教育自學(xué)考試輔導(dǎo) 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類） 》 當(dāng) 時(shí)， ，所以 由 x 與 y 的對(duì)稱性，類似可得 。 （ 2）求（ X， Y）分別關(guān)于 X， Y 的邊緣密度 （ 3）判定 X 與 Y 的獨(dú)立性，并說(shuō)明理由； （ 4）求 解析：本題考察二維連續(xù)型隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度性質(zhì)、關(guān)于 X， Y 的邊緣密度 ， 的求法、分量 X 與 Y 的獨(dú)立性以及用聯(lián)合概率密度求概率的 方法。 （ 3）由（ X， Y）的聯(lián)合分布律知，分量 X 的分布律為 所以 。 解：（ 1）由二維離散型隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律的性質(zhì)，有 ① 又分量 Y 的邊緣分布律為 由 得 ② ① ， ② 聯(lián)立，解得 。 B）重要性質(zhì) ① ； ② 存在常數(shù) ，使 ； ③ 不相關(guān)定義：若相關(guān)系數(shù) 時(shí)，稱 X 與 Y 不相關(guān)； C）相關(guān)系數(shù)的意義：當(dāng) 時(shí)，稱 X 與 Y 正線性相關(guān)，當(dāng) 時(shí)，稱 X 與 Y 負(fù)線性相關(guān)；當(dāng)時(shí)，稱 X 與 Y 完全正線性相關(guān)，當(dāng) 時(shí)，稱 X 與 Y完全負(fù)線性相關(guān)。 B）協(xié)方差的計(jì)算 ① 離散型二維隨機(jī)變量： ； ② 連續(xù)性二維隨機(jī)變量： ； ③ 協(xié)方差計(jì)算公式： ； ④ 特例： 。 （ 3）協(xié)方差 A）定義：稱 為隨機(jī)變量 X 與 Y 的協(xié)方差。 （ 1）數(shù)學(xué)期望：設(shè) 為連續(xù)函數(shù)，對(duì)于二維隨機(jī)變量（ X， Y）的函數(shù) 離散型：若（ X， Y）為離散型隨機(jī)變量，級(jí)數(shù) 收斂， 則 ； 連續(xù)型：若（ X， Y）為連續(xù)型 隨機(jī)變量，積分 收斂，則 。 ② 正態(tài)分布具有可加性：設(shè) X， Y 相互獨(dú)立，且 ，則 。 ② 兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量和的概率密度： 問(wèn)題：已知兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X， Y 的概率密度 ，或二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度 ，求 的概率密度。 （ 2）兩個(gè)相互獨(dú)立連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 ① 兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的概率分布 一般問(wèn)題：已知兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X， Y 的概率密度 ，求二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度 。 （ 2）二隨機(jī)變量相互獨(dú)立的等價(jià)關(guān)系： 隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立 （ 3）二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性：設(shè)（ X， Y）為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 ， 邊緣分布律為 則 X 與 Y 是相互獨(dú)立的充要條件是，對(duì)一切 （ 4）設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度函數(shù)為 分別是 X 和 Y 的邊緣概率密度，則 X 和 Y 相互獨(dú)立的充要條件是等式 （ 1）兩個(gè)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 問(wèn)題提法：已知二維隨機(jī)變量（ X， Y）的 分布律，求隨機(jī)變量函數(shù) 的分布律。 高等教育自學(xué)考試輔導(dǎo) 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類） 》 （ 3）邊緣密度函數(shù)：設(shè)（ X， Y）的密度函數(shù)為 ，則 ， 分別稱為 X 與 Y 的邊緣密度函數(shù)。 （ 5）求分量 X， Y 的數(shù)學(xué)期望： （ 1）定義：設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的分布函數(shù) ，存在非負(fù)函數(shù) ，使對(duì)任意實(shí)數(shù) x， y有 則稱（ X， Y）為連續(xù)型二維隨機(jī)向量， 為聯(lián)合密度函數(shù)。 （ 2）分布律：二維隨機(jī)變量（ X， Y）所有可能取值為 ， ? ，則稱 為
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