【正文】 的通項為 bn=2n－ 1+1. (1)求數(shù)列 {an}的通項 an及它的前 n項和 Sn； (2)求數(shù)列 {bn}的前 n項和 Tn； 解： (1）可解得nnaa nn 11 ???，從而 an=2n，有 Sn=n2+n， (2)Tn=2n+n－ 1. 6．?dāng)?shù)列 {an}中， a1=8,a4=2且滿足 an+2=2an+1－ an,(n∈ N*). (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)設(shè) Sn=｜ a1｜ +｜ a2｜ +? +｜ an｜ ,求 Sn。 4．已知數(shù)列 }{na 中， 1 1,a? 且有 *1(2 1 ) (2 3 ) ( , 2 )nnn a n a n N n?? ? ? ? ?，則數(shù)列 }{na 的通項公式為 3 1 1()2 2 1 2 1na nn????，前 n 項和為 321nn? 。 2．已知數(shù)列 }{na 的通項公式 12 ( 2 1 ) *2 1 ( 2 ){ ( )n nkn n n ka k N? ??????，其前 n 項和為 nS ，則 9S? 377 。 解：（Ⅰ）12)1(1???? nnn aa?， ])1(1)[2()1(1 11?? ???????nnnn aa， 又 3)1(11 ???a?， ?數(shù)列 ? ??????? ?? nna11 是首項為 3 ，公比為 2? 的等比數(shù)列． 1)2(3)1(1 ????? nnna， 即 123 )1(11??????nnna. （Ⅱ） 12649)123( 1121 ???????? ??? nnnnb ． 9264321 )21(1641 )41(19 ????????????????? nnS nnnnn ． （Ⅲ） 1)1(2 )12(s in ???? nn ?? ， 123 1)1()2(3 )1( 111?????? ??? ???nnnnnc． 當(dāng) 3?n 時，則123 1123 1123 113 1 12 ???????????? ?nnT ? ?21221121132 1])(1[281123 123 123 17141 ??????????? ??nn 7484488447612811])21(1[612811 2 ???????? ?n． 321 TTT ??? ， ?對任意的 ??Nn ， 74?nT ． 點評： 本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列 ??na 的通項 na ，第二問分組求和法是非常常見的方法，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，放縮的目的是利于求和，所以通常會放成等差、等比數(shù)列求和，或者 放縮之后可以裂項相消求和。 （ 3）11 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nnnc b b n n n n?? ? ? ? ?? ? ? ?， ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 )2 3 3 5 5 7 2 1 2 1 2 2 1nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 點評：本題考查了 na 與 nS 之間的轉(zhuǎn)化問題，考查了基本等差數(shù)列的定義，還有裂項相消法求和問題。 解：（ 1）由 *1( 1 ) ( 2 1 ) ( , 0 )nnt S t S n N t?? ? ? ? ? ?得： 1( 1 ) ( 2 1 ) ( 2)nnt S t S n?? ? ? ? ? 兩式相減得： 1 ( 2 1 ) , ( 2 )nnt a t a n?? ? ? ? 即 1 2 1 12 , ( 2 )na t na t t? ?? ? ? ?, ∴數(shù)列 }{na 是等比數(shù)列 ( 2)n? 。 2．已知數(shù)列｛ an｝是等差數(shù)列 ,且 a2=8,a8=26,從｛ an｝中依次取出第 3項 ,第 9項 ,第 27項? ,第 3n項 ,按原來的順序構(gòu)成一個新的數(shù)列｛ bn｝ , 則 bn=__3n+1+2___ 3． 若數(shù)列 ??na 滿足： 1,2,1 11 ??? ? naaa nn ， 2， 3? .則 ???? naaa ?21 21n? . 【范例導(dǎo)析】 例 432 ,}{ aaaan 中 分別是某等差數(shù)列的第 5項、第 3項、第 2項，且 1,641 ?? qa 公比 （Ⅰ）求 na ； （Ⅱ）設(shè) nn ab 2log? ，求數(shù)列 .|}{| nn Tnb 項和的前 解： （ I）依題意 032),(3 2244342 ?????? aaaaaaa 即 032 13131 ???? qaqaqa 2110132 2 ??????? qqqq 或 211 ??? qq? 1)21(64 ??? nna故 （ II） nb nnn ????? ?? 72lo g])21(64[lo g 7212 ??? ?? ???? 77 77|| nn nnb n 2 )13(2 )76(,6||,7 1 nnnnTbn n ???????? 時當(dāng) 2 )7)(6(212 )7)(71(,1||,7 78 ??????????? nnnnTTbn n時當(dāng) ???????????????)7(212 )7)(6()7(2 )13(nnnnnnT n 點評： 本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)和等差數(shù)列的求和，本題還考查了轉(zhuǎn)化的思想。 （ 5）裂項相消法：把一個數(shù)列的各項拆成兩項之差，在求和時一些正負(fù)項相互抵消，于是前 n項之和變成首尾若干少數(shù)項之和。又2a7=a1+a13=132 S13＜ 0, ∴ a7＜ 0, a7+a6=a1+a12=61 S120, ∴ a6≥－ a70 故在 S1， S2，?， S12中 S6最大 . 解法三：依題意得： )(2)212()1(2 21 nnddndnnnaS n ??????? 222 )]245(21[,0,)245(8)]245(21[2 dnddddnd ????????? ?最小時， Sn最大； ∵－ 724 ＜ d＜－ 3, ∴ 6＜ 21 (5－ d24 )＜ . 從而，在正整數(shù)中，當(dāng) n=6時，［ n－ 21 (5－ d24 )］ 2最小，所以 S6最大 . 點評： 該題的第 (1)問 通過建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易 . 第 (2)問難度較高，為求 {Sn}中的最大值 Sk（ 1≤ k≤ 12）：思路之一是知道 Sk為最大值的充要條件是 ak≥ 0且 ak+1＜ 0；而思路之二則是通過等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解；思路之三是可視 Sn為 n的二次函數(shù)，借助配方法可求解，它考查了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點 . 第 3 課 數(shù)列的求和 【考點導(dǎo)讀】 對于一般數(shù)列求和是很困難的，在推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的和時出現(xiàn)了一些 方法可以遷移到一般數(shù)列的求和上，掌握數(shù)列求和的常見方法有： （ 1）公式法：⑴ 等差數(shù)列的求和公式，⑵ 等比數(shù)列的求和公式 （ 2）分組求和法：在直接運用公式求和有困難時常，將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和（如：通項中含 n(1)因式，周期數(shù)列等等） （ 3）倒序相加法：如果一個數(shù)列｛ an ｝，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到了一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。 4．如果 1, , , , 9abc??成等比數(shù)列，則 b? 3 ， ac? 9 。 2． 在等差數(shù)列 ??na 中，已知 1 2 32, 13 ,a a a? ? ?則 4 5 6a a a??＝ 42 。 點評： 本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性。 解：（ 1）∵ 2nab nn ?? ∴ 22211 )1(2)1(4)1(2)1( ??????????? ?? nnnanab nnn nn bna 222 2 ??? (n≥ 2) 由 1 21aa??得 2 4aa? ， 22 4 4 4b a a? ? ? ?，∵ 1a?? ，∴ 2 0b? ， 即 {}nb 從第 2項起是以 2為公比的等比數(shù)列。 （ 1）證明： ??nb 從第 2項起是以 2為公比的等比數(shù)列； （ 2）設(shè) nS 為數(shù)列 ??nb 的前 n項和，且 ??nS 是等比數(shù)列，求實數(shù) a 的值。 所以 ,1)1(1)1(lo g 2 nna n ?????? 即 .12 ?? nna （ II）證明：因為nnnnn aa 2122 11 11 ???? ??， 所以nnn aaaaaa 21212121111 32112312 ?????????????? ? L .1211211212121??????? nn 點評： 該題通過求通項公式，最終通過通項公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律。 例 2．（ 1）已知數(shù)列 ))}1({ lo g *2 Nna n ?? 為等差數(shù)列，且 .9,3 31 ?? aa （Ⅰ）求數(shù)列 }{na 的通項公式；（Ⅱ）證明 .111112312 ?????????? ? nn aaaaaa 分析 ：（ 1）借助 .9,3 31 ?? aa 通過等差數(shù)列的定義求出數(shù)列 ))}1({ lo g *2 Nna n ?? 的公差，再求出數(shù)列 }{na 的通項公式，（ 2）求和還是要先求出數(shù)列 }1{1 nn aa ??的通項公式，再利用通項公式進(jìn)行求和。 a3＝ 48， ∵ a2＝ 4，∴ a1 解：（ 1）答案： 13 法 1：設(shè)這個數(shù)列有 n項 ∵??????????????????????dnnnaSdndaSSSdaSnnn2)1(6332233113313 ∴???????????????3 9 02)1(1 4 6)2(3334)(3111dnnnandada ∴ n＝ 13 法 2：設(shè)這個數(shù)列有 n項 ∵ 1 2 3 1 234 , 14 6n n na a a a a a??? ? ? ? ? ? ∴ 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 4 1 4 6 1 8 0n n n na a a a a a a a??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 1 60naa?? 又 1()3902 nn a a? ? ∴ n＝ 13 （ 2）答案： 2 因為前三項和為 12，∴ a1＋ a2＋ a3＝ 12，∴ a2＝ 33S ＝ 4 又 a1 【范例導(dǎo)析】 例 1．（ 1）若一個等差數(shù)列前 3項的和為 34，最后 3項的和為 146，且所有 項的和為 390，則這個數(shù)列有 13 項 。 3． 設(shè) ??na 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 1 2 3 15a a a? ? ? ， 1 2 3 80aaa ? ，則 11 12 13a a a? ? ?105。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．在等差數(shù)列 {an}中，已知 a5＝ 10， a12＝ 31，首項 a1= 2 ，公差 d= 3 。 6． 數(shù)列 ??na 中，已知 2 1 ()3n nna n N ?????， （ 1）寫出 10a ， 1na? ，2na； （ 2） 2793 是否是數(shù)列中的項？若是，是第幾項？ 解：（ 1）∵ 2