【正文】 ) 2 0 ,nnn b nb?? ? ? ?③ ∴ 21( 1) 2 0 .nnnb n b??? ? ? ? ④ ③ － ④ ，得 212 0 ,n n nnb nb nb??? ? ? 即 212 0,n n nb b b??? ? ? *2 1 1 ( ) ,n n n nb b b b n N? ? ?? ? ? ? ???nb? 是等差數(shù)列。 分 析： 本題第 1問采用構造等比數(shù)列來求通項問題，第 2問依然是構造問題。 當 n=1時， 111aS?? 所以 *6 5( )na n n N? ? ?。 解：依題意得， 3 2,n nnS ??即 232n nnS ??。 例 2．設數(shù)列 {}na 的前 n 項和為 nS ，點 ( , )( )nSn n Nn ?? 均在函數(shù) y＝ 3x－ 2 的圖像上 ,求數(shù)列 {}na 的通項公式。 （ 2）這個數(shù)列的前 5項是 2, 7, 10 , 11 , 10? ? ? ? ?；（圖象略） （ 3）由函數(shù) 2( ) 8 5f x x x? ? ?的單調性： ( ,4)?? 是減區(qū)間， (4, )?? 是增區(qū)間， 所以當 4n? 時， na 最小，即 4a 最小。 函 數(shù) 數(shù) 列 一般數(shù)列 通項 前 n 項 和 特殊數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項公式 中項性質 前 n 項和公式 公式 通項公式 中項性質 前 n 項和公式 公式 3．設數(shù)列 {}na 的前 n項和為 nS ， *1 (3 1) ()2nn aS n N??? ，且 4 54a? ，則 1a? ____2__. 4．已知數(shù)列 {}na 的前 n 項和 (5 1)2n nnS ???，則其通項 na? 52n??． 【范例導析】 例 1．設數(shù)列 {}na 的通項公式是 2 85na n n? ? ? ，則 （ 1） 70是這個數(shù)列中的項嗎？如果是，是第幾項？ （ 2）寫出這個數(shù)列的前 5項，并作出前 5項的圖象； （ 3）這個數(shù)列所有項中有沒有最小的項？如果有，是第幾項？ 分析： 70 是否是數(shù)列的項，只要通過解方程 270 8 5nn? ? ? 就可以知道；而作圖時則要注意數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別，數(shù)列的圖象是一系列孤立的點；判斷有無最小項的問題可以用函數(shù)的觀點來解決，一樣的是要注意定義域問題。 【基礎練習】 }{na 滿足 )(13 3,0 *11 Nnaaaa nnn ????? ?，則 20a = 3? 。 例 （單位：牛） 1f 與 2f 的夾角為 60 ，其中 1f ?（ 2， 0） ，某質點在這兩個力的共同作用下，由點 A（ 1， 1） 移動到點 B（ 3， 3） （單位：米） （ 1） 求 1f ； （ 2） 求 1f 與 2f 的合力對質點所做的功 分析 :理解向量及向量數(shù)量積的物理意義 ,將物理中的求力和功的問題轉化為向量問題解決 . 解 ： ? ?1 2 2 2 0?（ ， ） ， ， 令 （ ）f = f = f = t t12 132 = 222? ? ? ， （ 3 +1 ）t t t2??（ 3 +1， 3 +3）f ? ? ( ) 2 2 3 + 3 3 + 3 2 212? ? ? ? ?2 W = （ ， ） = （ ， ） （ ， ） = 1 2 + 4 3f A B f f 點撥 :學習向量要了解向量的實際背景 ,并能用向量的知識解決方一些簡單的實際問題 . 【反饋練習】 ， O為 坐標原點，已知兩點 A(3, 1)， B(－ 1, 3)， 若點 C滿足 O C O A O B? ? ? ?，其中 ? ， ? ∈ R且 ? +? =1，則點 C的軌跡方程為 x＋ 2y－ 5=0 a,b 是非零向量且滿足（ a－ 2b）⊥ a，（ b－ 2a）⊥ b，則 a 與 b 的夾角是 3? 3. 已知直線 x+y=a 與圓 x2+y2=4 交于 A、 B 兩點 ,且 |OA +OB |=|OA OB |,其中 O 為原點 ,則實數(shù) a 的值為 2 或 2 a=(cos ,sin??)，向量 b=( 3, 1? )，則 |2a－ b|的最大 值是 4 5．如圖， A B ( 6 , 1 ) , B C ( , ) , CD ( 2 , 3 )? ? ? ? ?xy ， （ 1）若 BC ∥ DA ，求 x 與 y 間的關系； （ 2） 在（ 1）的條件下， 若有 AC BD? ，求 x,y 的值及四邊形 ABCD的面積 . 解（ 1） ),2,4( ??? yxAD 又 BC ∥ ,DA x ( y 2 ) y ( 4 x ) 0? ? ? ? ? x 2y 0? ? ① （ 2）由 AC ⊥ BD ，得（ x－ 2） (6＋ x)＋ (y－ 3)＞ 0得 t＜－ 1或 t＞ 1. 故 k＝ f(t)的單調遞減區(qū)間是 (－ 1, 1 )，單調遞增區(qū)間是（－∞，－ 1）和（ 1，＋∞） . 點撥 :第 1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標運算分別求得兩個向量的坐標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式 及求模公式，達到同樣的求解目的（但運算過程大大簡化，值得注意）。(t) ＝ 43 t2－ 43 , 令 k180。 y＝ 0，即－ ka 2＋ t(t2－ 3)b 2＝ 0， ∴ t3－ 3t－ 4k＝ 0,即 k＝ 41 t3－ 43 t (2) 由 (1)知： k＝ f(t) ＝ 41 t3－ 43 t ∴ k180。 y＝ 2 3322 ??t （ 21 t－ 3 k）＋ 2 2323 2 ??t ( 23 t＋ k)＝ 0。 x＝ 2a－ b,y＝ 3b－ a，則 x 與 y 的夾角的余弦值為 2114? 【 范例導析 】 例 a＝ ( 3 ，－ 1)， b＝ (21 , 23 ). (1) 若存在實數(shù) k 和 t，便得 x＝ a＋ (t2－ 3)b, y＝－ ka＋ tb，且 x⊥ y，試求函數(shù)的關系式 k＝ f（ t） ； (2) 根據(jù) (1)的結論，確定 k＝ f(t)的單調區(qū)間。 點撥 :注意運用不同章節(jié)知識綜合處理問題 ,對于求二次 函數(shù)得分最值問題 ,注意分類討論 . 【 反饋練習 】 1． 已知向量 ( 5,6)a?? ， (6,5)b? ，則 a 與 b （ A） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 a= 71,22??????b= ?????? 27,21的夾解相等，且模為 1的向量是 4 3 4 3,5 5 5 5? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?或 ( 4 , 6) , (3 , 5 ),O A O B??且 , // ,OC OA AC OB? 則向量 OC 等于 ?????? ?214,72 5( 1 , 2) , ( 2 , 4) , | | 5 , ( ) ,2a b c a b c a c? ? ? ? ? ? ? ?若 則 與 的 夾 角 為120176。 分析 :利用向量的坐標運算轉化為函數(shù)的最值問題求解 . 例 2 解：（ 1） 33c os c os si n si n c os 22 2 2 2??? ? ? ? ?????xxa b x x x ， 2233c o s c o s sin sin2 2 2 2? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?xxa b x o s22c o s22 xx ??? 0 , , 2 c os2???? ? ? ?????x a b x。 b， |a|=|b| ∴ 1cos2abab? ???? ∴ 60?? 第 3 課 向量的坐 標運算 【考點 導讀 】 1. 掌握平面向量的正交分解及坐標表示 . 2. 會用坐標表示平面向量的加減及數(shù)乘、數(shù)量積運算 . ,并利用它解決向量平行的有關問題 . 【基礎 練習 】 1新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/若 OA = )8,2( ， OB = )2,7(? ，則 31 AB =( 3, 2)?? 2新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/平面向量 ,ab中，若 (4, 3)??a ， b =1，且 5??ab ，則向量 b = 43( , )55? ( , 1 2 ) , ( 4 , 5 ) , ( , 1 0 )O A k O B O C k? ? ? ?，且 A、 B、 C 三點共線，則 k= 23? (3,1)?a ， ( , 3)??bx ，且 ?ab，則 x? 1 【 范例導析 】 例 ? ? ? ? ? ?3 , 2 , 1 , 2 , 4 ,1? ? ? ?a b c，回答下列問題： （ 1）求滿足 ??a mb nc 的實數(shù) m,n； （ 2）若 ? ? ? ?// 2??a kc b a，求實數(shù) k； （ 3）若 d 滿足 ? ? ? ?//??d c a b，且 5??dc ，求 d 分析 :本題主要考察向量及向量模的坐標表示和向量共線的充要條件 . 解：（ 1）由題意得 ? ? ? ? ? ?1,42,12,3 nm ??? 所以??? ?? ??? 22 34nm nm，得???????9895nm （ 2） ? ? ? ?2,52,2,43 ??????? abkkcka ? ? ? ?? ? 1316,025432 ?????????? kkk （ 3）設 ? ?,d x y? ，則 ? ? ? ?4,2,1,4 ?????? bayxcd 由題意得 ? ? ? ?? ? ? ???? ???? ???? 514 01244 22 yx yx 得??? ???13yx或??? ??35yx∴ ? ? ? ?3, 1 5 3d ?? 或 ， 點 撥 :根據(jù)向量的坐標運算法則及兩個向量平等行的充要條件、模的計算公式，建立方程組求解。 b－ 15 b2=0， 7a2－ 30 a（ 7a5b） =0，（ a－ 4b） b－ 3b2=2|a|2+5a b+|b|2，∴ 2 2 2 102a b a bab ? ? ?? ? ? 例 3 D CBA第 2 題 （ 2）（ 2a－ b） b ；② (2a－ b) ∴ 00( ) | | | | c o s 1 2 0 | | | | c o s 1 2 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ?a b c a c b c a c b c ∴ ( ) 0? ? ?a b c （ 2）∵ | | 1? ? ?ka b c ，即 2| | 1? ? ?ka b c 也就是 2 2 2 2 2 2 2 1? ? ? ? ? ? ? ? ?k a b c k a b k a c b c ∵ 12? ? ? ? ? ? ?a b b c a c，∴ 022 ?? kk 所以 0?k 或 2?k ． 解 :對于有關向量的長度、夾角的求解以及垂直關系的判斷通常是運用平面向量的數(shù)量積解決 . 例 ，在直角△ ABC 中，已知 BC a? ，若長為 2a 的線段 PQ 以點 A 為中點，問 BCPQ與 的夾角 ?取 何值時 CQBP? 的值最大？并求出這個最大值新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 分析 :本題涉及向量較多 ,可通過向量的加減法則得 ( ) ( )B P CQ A P A B A Q A C? ? ? ? ?,再結合直角三 角形和各線段長度特征法解決問題 解： , 0 .A B A C A B A C? ? ? ? , , ,( ) ( )A P A Q B P A P A B CQ A Q A CB P CQ A P A B A Q A C? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 222222()1212c o s .AP AQ AP AC AB AQ AB ACa AP AC AB APa AP AB ACa PQ BCa PQ BCaa ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 2c o s 0 , ( ) , . .2 P Q B C B P CQ a???? ? ? ?故 當 即 與 方