【正文】 2022 屆高三九校聯(lián)） 已知 212???ba ， 4?a ， a 和 b 的夾角為 ?135 ，則 b 為 （ ） A． 12 B． 3 C． 6 D． 33 答案： C 解析： 0| || | c o s 1 3 5 1 2 2a b a b? ? ? ?，又 4?a 可得 b =6 3． 廣東 省 北江中學 2022屆高三 上學期 12 月月考 (數(shù)學理 ) ABC△ 內(nèi)有一點 O ,滿足 0OA OB OC? ? ?,且 OA OB OB OC? .則 ABC△ 一定是（ ） A. 鈍角三角形 B. 直角三角形 C. 等邊三角形 D. 等腰三角形 答案： D解析： O 為重心，由 OA OB OB OC? 可知 ABC△ 一定是等腰三角形 4． 廣東省恩城中學 2022屆高三模擬考試（數(shù)學理） 在△ ABC 中， a,b,c 分 別 為 三 個 內(nèi) 角 A,B,C 所 對 的 邊 ， 設 向 量( , ) , ( , )m b c c a n b c a? ? ? ? ?，若 mn? ,則角 A的大小為（ ） ? B. 3? C. 2? D. 32? 答案： B 解析：由 mn? 可得 0mn? 即 2 2 2( ) ( ) ( ) 0 , 0b c b c a c a b bc c a? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以角 A=3? 5． 廣東省華南師范附屬中學 2022屆高三綜合測試 己知向量 ( c os , si n ) , ( c os , si n )ab? ? ? ???， a 與 b 的夾角為 60 176。 (?1) +3179。 1 +3179。利用數(shù)量積解決垂直問題 [例 3] 若非零向量 ? 、 ? 滿足 ? ? ? ?? ? ? ，證明 :? ? ? 用心 愛心 專心 [解題思路 ]： 只 須證明 0????。 解析： ab ?設 與 的 夾 角 為 a b a? 與 垂 直 0a b a? ? ? ?（ ） 2 0a b a? ? ?即 22 1a b a a? ? ? ? ? 12c o s 22abab??? ? ? ? [0 180 ]oo?? ， 4???? 4ab ?? 與 的 夾 角 為 【名師指引】注意公式 222 3 2 5 3a b a b a a b b? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ），當知道 ,ab的模及它們的夾角可求1 2 3 4x a x b x a x b? ? ?（ ） （ ）的數(shù)量積，反之知道 1 2 3 4x a x b x a x b? ? ?（ ） （ ）的數(shù)量積及 ,ab的模則可求它們的夾角 。 |cosθ |而 |cosθ |≤ 1． θθ 12bca 用心 愛心 專心 11 c o s 1 2 0 2 3 ( ) 32oa b a b? ? ? ? ? ? ? ?（ ） ★ 熱 點 考 點 題 型 探 析 ★ 考點一： 平面向量數(shù)量積的運算 題型 1. 求數(shù)量積、求模、求夾角 [例 1] 2 3 1 2 0 oa b a b??已 知 ， ， 與 的 夾 角 為 ， 求 221 2 3 2 3a b a b a b a b? ? ? ? ?（ ） ； （ ） ； （ ） （ ） （ ）； 4 ab?（ ） [解題思路 ]： 直接用定義或性質(zhì)計算 解析： 22222 4 9 5a b a b? ? ? ? ? ? ?（ ） 3 2 3 2 5 3a b a b a a b b? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ） （ ） 222 5 c o s 1 2 0 3oa a b b? ? ? 8 15 27 34? ? ? ? ? 2224 ( ) 2 4 6 9 7a b a b a a b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） [例 2] 12a b a b a a b? ? ?已 知 ， ， 且 與 垂 直 ， 求 與 的 夾 角 。 b |=|a |178。 b |≤ |a |178。b|=|a|178。 b 與向量 c 相乘是與 c 共線的向量，而數(shù)量 b 178。 b )c ≠ a (b 178。 b 與 b 178。( b 178。 b )178。 |b |cosθ 1=|a |178。 b =a 178。 b =a 178。 b =0卻不能得出 a =0 或 b =0 ．因為只要 a ⊥ b 就有 a 178。 a =0(不是零向量 0 ，注意與λ 0 =0 (λ∈ R)區(qū)別 ) （ 2）向量數(shù)量積與實數(shù)相關概念的區(qū)別 問題 2: 表示方法的區(qū)別 數(shù)量積的記號是 ba? ，不能寫成 ba? ，也不能寫成 ba (所以有時把數(shù)量積稱為“點乘” ，記號 ba? 另外有定義，稱為“叉乘” )． 問題 3:相關概念及運算的區(qū)別 ⑴ 若 a、 b為實數(shù)，且 a178。 例： 規(guī)定， a 178。 故 45ABPABQ? ??,即選 B. 6． （ 2022年 廣東省 廣州市高三年級調(diào)研測試 數(shù) 學（理 科）） 如圖，在△ ABC 中，已知 2AB? ， 3BC? ， 60ABC? ? ? ， AH BC? 于 H ， M 為 AH 的中點，若 AM AB BC????， 則 ???? . 答案： 23 解析： 2AB? ， 3BC? ， 60ABC? ? ? 所以 BH=1， M 為 AH 的中點，所以 12AM AH? 1 1 1 1 1( ) ( )2 2 3 2 6A B B H A B B C A B B C? ? ? ? ? ? ????23 綜合拔高訓練 7． （ 廣東省深圳外國語學校 2022屆高三統(tǒng)測（數(shù)學 理）） 已知向量 (1 sin )a ?? ， ， (1 3 cos )b ?? ， ，則 ab? 的最大值為 ． 答案： 2 解 析： s in 3 c o sab ??? ? ?＝ 2 sin( ) 23?? ??. 8． (江西省鷹潭市 2022 屆高三第一次模擬 )已知向量 ( 2 , 2) , (5, )a b k? ? ?，若 ab? 不超過5，則 k 的取值范圍是 ． 答案： [6， 2] 解析： ab? = 2| ( 3 , 2 ) | 9 ( 2 ) 5kk? ? ? ? ?解 得 k 的取值范圍是 [6， 2] 9．已知 )2,3(),2,1( ??? ba ,當實數(shù) k 取何值時 ,k a ＋ 2b 與 2a — 4b 平行？ 【 解析 】 方法一 : ∵ 2a — 4b 0? ,∴ 存在唯一實數(shù) ? 使 k a ＋ 2b =? ( 2a — 4b ） 將 a 、 b 的坐標代入上式得（ k — 6， 2k ＋ 4） =? ( 14， — 4） A B C H ? M 用心 愛心 專心 得 k — 6=14? 且 2k ＋ 4= — 4? ，解得 k = — 1 方法二 ：同法一有 k a ＋ 2b =? （ 2a — 4b ） ,即（ k — 2? ) a ＋（ 2＋ 4? ) b =0 ∵ a 與 b 不共線，∴ ??? ?? ?? 042 02??k ∴ k = — 1 10．已知點 O（ 0， 0）， A（ 1， 2）， B（ 4， 5），且 OP→ =OA→ ＋ tAB→ ． （ 1） 當 t變化時，點 P是否在一條定直線上運動？ （ 2） 當 t取何值時，點 P在 y軸上？ （ 3） OABP能否成為平行四邊形？若能求出相應的 t值；若不能，請說明理由． 解：（ 1）由 OP→ = OA→ ＋ tAB→ 可得 AP→ = tAB→ ， AP→ ∥ AB→ ，又 AP→ 、 AB→ 都過 A 點，故 A、 P、 B三點在同一條直線上，而 A、 B 為定點，所以 P 點恒在直線 AB 上運動 .（ 2） OP→ =（ 1＋ 3t， 2＋ 3t），若 P 在 y 軸上，則 1＋ 3t=0， t=－ 31 .（ 3） A、 B、 P 三點在同一條直線 上， OABP 不可能為平行四邊形，若用 OA→ = PB→ 可列方程組，但方程組無解 . 第 3講平面向量的數(shù)量積 ★ 知 識 梳理 ★ 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量 a? 與 b? ，作 OA ＝ a? ， OB ＝ b? ，則 _∠ AＯ B＝ θ （０≤ θ ≤ π ） 叫 a? 與 b? 的夾角 . 特別提醒： 向量 a? 與向量 b? 要同起點。 解： (1) ABtOAOP ?? =(1+3t,2+3t)， 若 P在 x軸上，只需 2+3t=0，∴ 32??t ；若 P 在 y軸上，只需 1+3t=0，∴ 31??t ；若 P在第二象限，只需??? ?? ?? 032 031 tt ∴ 3132 ???? t (2)∵ )3t3 ,33(PB ),2 ,1( tOA ??? 若 OABP 為平行四邊形， 則 PBOA? 由于??? ?? ?? 233 133 tt無解，故四邊形 OABP不能構 成平行四邊形。 2 ∵ a? 與 b? 方向相同 ∴ x= 2 6．已知點 O(0， 0)， A(1， 2)， B(4， 5)及 ABtOAOP ?? ， 求 (1)t為何值時， P在 x軸上？ P在 y軸上？ P 在第二象限。 【新題導練】 3． 若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 則 AB ?2BC = 答案： (3,3) 解： AB ?2BC =（ 1， 1） ?2（ 2， 2） =(3,3) 4． 若 M(3, 2) N(5, 1) 且 21?MP MN , 求 P點的坐標； 解：設 P(x, y) 則 (x3, y+2)=21 (8, 1)=(4, 21 ) ????? ?? ???21243yx ∴????? ????231yx ∴ P點坐標為 (1, 23 ) 考點三 : 向量平行的充要條件 題型 1: 平行、共線問題 用心 愛心 專心 [例 4] （ 廣東省 高明一中 2022屆高三月考） 已知向量 (1 sin ,1)???a ， 1( ,1 sin )2 ???b ，若 a ∥ b ，則銳角 ? 等于（ ） A． 30? B． 45? C． 60? D． 75? [解題思路 ]： 已知 a、 b的坐標，當求 a//b時，運用兩向量平行的充要條件 x1y2－ x2y1=0 可求 sin? 值． 解析： B 解： 1(1 si n ) (1 si n ) 1 02??? ? ? ?，故選 B 【名師指引】 數(shù)學語言常有多種表達方式，學會轉化與 變通是求解的關鍵．本題以幾何特征語言形式出現(xiàn)，最終落足點要變式成方程的語言來求解，這一思想方法在求解向量問題時經(jīng)常用到． 【新題導練】 5． 若向量 a? =(1,x)與 b? =(x, 2)共線且方向相同，求 x 解：∵ a? =(1,x)與 b? =(x, 2) 共線 ∴ (1)179。 【新題導練】 1． 若已知 1e 、 2e 是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是 ( ) A． 1e 與 — 2e B． 31e 與 22e C． 1e ＋ 2e 與 1e — 2e D． 1e 與 21e 答案： D 2． 在 △ ABC中 ,已知 AM︰ AB =1︰ 3, AN︰ AC =1︰ 4， BN與 CM 交于點 P,且 , ACAB a b??,試 用 , ab表示 AP . 解： ∵ AM︰ AB =1︰ 3, AN︰ AC =1︰ 4,， ∴ 1133AM AB a??， 1144AN AC b??， ∵ M、 P、 C三點共線，故可設 MP t MC? ， t∈ R , 于是， 用心 愛心 專心 1 1 1 1( ) ( )3 3 3 3 3tA P A M M P a t M C a t b a a t b? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ① 同理可設設 NP sNB? ， s∈ R , 1()44sA P A N N P b s a? ? ? ? ?． ?② 由 ①② 得 11( ) ( ) b 03 3 4 4tss a t? ? ? ? ? ?， 由此解得 112 ,113 ?? ts， ∴ 3211 11AP a b??． 考點二 : 平面向量的坐標表示與運算 題型 1: 向量 加、減、數(shù)乘的坐標運算 [例 3] 已知 A（ — 2,4）、 B（ 3,— 1）、 C（ — 3,— 4）且 CACM 3? , CBCN 2? ,求點 M、 N的坐標及向量 MN 的坐標 . [解題思路 ]： 利用平面向量的基本本概念及其坐標表示求解。