【正文】 于 點(diǎn) ， 設(shè) C（ a,b), 圓心 C 在過點(diǎn) D 且與 l 垂直的直線上， 38ba? ?? ? ,又圓心 C 在過點(diǎn) A 且與 1l 垂直的直線上，33a?? , 3 8 1ba? ? ? ? ? ?，圓 C 的半徑 r=3， 故所求圓 C 的方程為 22( 3 3 ) ( 1) 9xy? ? ? ?. （ 2）設(shè)點(diǎn) ? ?0, 4B ? 關(guān)于 l 的對稱點(diǎn) 00( , )B x y? ，則00004 32 3 24 3yxyx? ? ????? ?? ????， 得 ( 2 3,2)B? ? ,固定點(diǎn) Q 可發(fā)現(xiàn)，當(dāng) B P Q?、 、 共線時， PB PQ? 最小， 故 PB PQ? 的最小值為 3 2 21 3BC? ? ? ?.此時由1 3 321 2 3 3 333yxyx? ???? ?? ???? ???,得 31( , )22P . 【反饋練習(xí)】 x2+y24x=0 在點(diǎn) P(1, 3 )處的切線方程為 3 2 0xy? ? ? l 過點(diǎn) ），（ 02? ，當(dāng)直線 l 與圓 xyx 222 ?? 有兩個交點(diǎn)時，其斜率 k 的取值范圍是224?（ ， ）4 m0,則直線 2 (x+y)+1+m=0 與圓 x2+y2=m 的位置關(guān)系為 相切或相離 解析：圓心到直線的距離為 d= 21 m? ,圓半徑為 m . ∵ dr=21 m? m =21(m2 m +1)=21( m 1)2≥ 0,∴直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離 . (x3)2+(y3)2=9上到直線 3x+4y11=0的距離等于 1的點(diǎn)有個數(shù)為 3 P 從 (1,0)出發(fā) ,沿單位圓 122 ??yx 逆時針方向運(yùn)動32?弧長到達(dá) Q 點(diǎn) ,則 Q 的坐標(biāo)為 )23,21(? 04122 ???? mxyx與直線 1??y 相切，且其圓心在 y 軸的左側(cè)，則 m 的值為 34 P 為圓 122 ??yx 上的動點(diǎn)，則點(diǎn) P 到直線 01043 ??? yx 的距離的最小值為 1 . 002 4 0xyxy??????? ? ??恰好被面積最小的圓 2 2 2: ( ) ( )C x a y b r? ? ? ?及其內(nèi) 部所覆蓋． (1)試求圓 C 的方程 . (2)若斜率為 1的直線 l 與圓 C 交于不同兩點(diǎn) ,.AB滿足 CA CB? ,求直線 l 的方程 . 解 :(1)由題意知此平面區(qū)域表示的是以 (0 , 0 ), ( 4 , 0 ), (0 , 2 )O P Q構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部 ,且△ OPQ 是直角三角形 , 所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓 ,故圓心是 (2,1),半徑是 5 ,所以圓 C 的方程是22( 2 ) ( 1) 5xy? ? ? ?. (2)設(shè)直線 l 的方程是 :y x b??. 因為 CA CB? , 所以圓 心 C 到直線 l 的距離是 102 , 即22| 2 1 | 10211b?? ?? 解得 : 15b?? ? .所以直線 l 的方程是 : 15yx? ? ? . 2020 高中數(shù)學(xué) 精講精練 第 九 章 圓錐曲線 【 知識 圖解】 圓錐曲線 雙曲線 橢圓 幾何性質(zhì) 定義 幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 圓錐曲線應(yīng)用 定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 【 方 法點(diǎn)撥 】 解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的紐帶。 解：設(shè)圓心 P(x0,y0),則有??? ??????? ???2020202000 )2()3()2()5( 032 yxyx yx , 解得 x0=4, y0=5, ∴半徑 r= 10 , ∴所求圓的方程為 (x─4)2+(y─5)2=10新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:/:/新疆 11. 一圓與 y 軸相切，圓心在直線 x－ 3y=0 上，且直線 y=x 截圓所得弦長為 2 7 ，求此圓的方程新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:/:/新疆 解：因圓與 y 軸相切，且圓心在直線 x－ 3y=0 上， 故設(shè)圓方程為 2 2 2( 3 ) ( ) 9x b y b b? ? ? ?新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:/:/新疆 又因為直線 y=x 截圓得弦長為 2 7 ， 則有 2|3 |()2bb?+ 2( 7) =9b2， 解得 b=177。 解：原方程可化為 2 2222( 1 ) 2 4( 2 2)()a a axya a a? ? ???? ? ? ????? 2 2 2 0,aa? ? ? ?當(dāng) a 0? 時，原方程表示圓。則實數(shù) c 值為 _11__ 22 0x y D x E y F? ? ? ? ?? ?22 40D E F? ? ?所表示的曲線關(guān)于直線 yx? 對稱，那么必有 __D=E__ 【 范例導(dǎo)析 】 【例 1】 設(shè)方程 2 2 2 42 ( 3 ) 2 ( 1 4 ) 1 6 9 0x y m x m y m? ? ? ? ? ? ? ?，若該方程表示一個圓，求 m 的取值范圍及這時圓心的軌跡方程。 解： 1l 與 2l 的方程分別為： 12x5y60=0,12x5y+5=0 或 x=5,x=0 ?ABC的三邊方程分別為 AB:4 3 10 0xy? ? ? ， BC: 20y?? ， CA:3 4 5 0xy? ? ? . 求：（ 1） AB邊上的高所在直線的方程；（ 2）∠ BAC的內(nèi)角平分線所在直線的方程 . 解：（ 1） AB邊上的高斜率為 34?且過點(diǎn) C，解方程組 203 4 5 0yxy???? ? ? ??得點(diǎn) C（ 133， 2）所以 AB 邊上的高方程為 3 4 21 0xy? ? ? . （ 2）設(shè) P? ?,xy 為∠ BAC的內(nèi)角平分線上任意一點(diǎn)，則? ? ? ?22224 3 1 0 3 4 54 3 3 4x y x y? ? ? ??? ? ? ?解得 7 7 5 0xy? ? ?或 15 0xy? ? ? ，由圖形知 7 7 5 0xy? ? ? 即為所求 . 第 3 課 圓的方程 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 ，能根據(jù)問題的條件選擇適當(dāng)?shù)男问角髨A的方程；理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的關(guān)系，會進(jìn)行互化。 ，又由直線 l 過點(diǎn) P（ 3， 1），故所求 l 的方程為 x=3 或 y=1。兩式相減，得（ x1x2） +（ y1y2） =5 ① 又（ x1x2） 2+（ y1y2） 2=25 ② 聯(lián)立 ① ②，可得 121250xxyy???? ???或 121205xxyy???? ??? 由上可知，直線 l 的傾斜角為 0176。 綜上可知，所求 l 的方程為 x=3 或 y=1。 分析：可以求出 直線 l 與兩平行線的交點(diǎn)坐標(biāo)， 運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式求出直線斜率 解 法 一 ： :若直線 l 的斜率不存在，則直線 l 的方程為 x=3，此時與 1l 、 2l 的交點(diǎn)分別是 A1（ 3， 4）和 B1（ 3， 9），截得的線段 AB 的長 |AB|=|4+9|=5，符合題意。 點(diǎn)撥：判斷兩條直線平行或垂直時，不要忘了考慮兩條直線斜率是否存在 . 例 l 經(jīng)過點(diǎn) P（ 3， 1），且被兩平行直線 1l ： x+y+1=0 和 2l ： x+y+6=0 截得的線段之長為 5。 ，方法巧妙 . P（ 3， 2），并且分別滿足下列條件，求直線方程： （ 1）傾斜角是直線 x－ 4y+3=0 的傾斜角的 2 倍； （ 2）與 x、 y 軸的正半軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，且△ AOB 的面積最小（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 解：（ 1）設(shè)所求直線傾斜角為 θ，已知直線的傾斜角為 α，則 θ＝ 2α，且 tanα＝ 41 ， tanθ＝ tan2α＝ 158 ， 從而方程為 8x－ 15y+6=0 （ 2）設(shè)直線方程為 ax ＋ by ＝ 1， a＞ 0， b＞ 0， 代入 P（ 3， 2），得 a3 ＋ b2 ＝ 1≥ 2ab6，得 ab≥ 24， 從而 S△ AOB＝ 21 ab≥ 12， 此時 a3 ＝ b2 ，∴ k＝－ ab ＝－ 32 點(diǎn)撥： 此題（ 2）也可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于 a 或 b 的一元函數(shù)后再求其最小值 第 2 課 兩條直線的位置關(guān)系 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 ，能根據(jù)直線方程判定兩條直線的位置關(guān)系，會求兩條相交直線的交點(diǎn)，掌握點(diǎn)到直線的距離公式及兩平行線間距離公式 . ，有時考察 單一知識點(diǎn) ,有時也和函數(shù)三角不等式等結(jié)合，題目難度中等偏易 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 A(2， m)和 B(m， 4)的直線與直線 2x+y1=0平行，則 m 的值為 8 （－ 1， 3）且垂直于直線 x－ 2y+3=0 的直線方程為 2x+y－ 1=0 2 3 8 0,xy? ? ? 10xy? ? ? 和 1 02x ky k? ? ? ?相交于一點(diǎn)，則 k 的值等于 12? . 【 范例導(dǎo)析 】 例 1l :x+m2y+6=0, 2l :(m2)x+3my+2m=0，當(dāng) m 為何值時 , 1l 與 2l （ 1） 相交；（ 2）平行；（ 3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要條件解決 . 解 :當(dāng) ｍ ＝ 0時， 1l ： x＋６＝０， 2l ： x＝０，∴ 1l ∥ 2l ， 當(dāng)ｍ＝ 2時， 1l ： x＋４ y＋６＝０， 2l ：３ y＋２＝０ ∴ 1l 與 2l 相交； 當(dāng) m≠０且 m≠２時，由 mmm 321 2?? 得 m＝－１或 m＝３，由 mm 2621 ?? 得 m＝ 3 故（１）當(dāng) m≠－１且 m≠３且 m≠０時 1l 與 2l 相交。 |PB|取得最小值 4,此時直線 l 的斜率為 1, 直線 l 的方程是 x+y3=0. 點(diǎn)評 ①求直線方程的基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數(shù)法求 直線的基本量 .②在研究最值問題時，可以從幾何圖形開始，找到取最值時的情形，也可以從代數(shù)角度出發(fā)，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等知識來求最值 . 例 l 被兩條直線 l1： 4x＋ y＋ 3＝ 0 和 l2： 3x－ 5y－ 5＝ 0 截得的線段中點(diǎn)為 P（－ 1， 2） .求直線 l的方程 . 分析 本題關(guān)鍵是如何使用好中點(diǎn)坐標(biāo)，對問題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化 . 解： 解法一 設(shè)直線 l 交 l1于 A（ a， b），則點(diǎn)（－ 2－ a， 4－ b）必在 l2，所以有 4 3 03 ( 2 ) 5 ( 4 ) 5 0ab ab? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ，解得 25ab???? ?? 直線 l 過 A(2,5),P(1,2),它的方程是 3x＋ y＋ 1＝ 0. 解法二 由已 知可設(shè)直線 l 與 l1的交點(diǎn)為 A（－ 1＋ m， 2＋ n），則直線 l 與 l2的交點(diǎn)為 B（－ 1－ m， 2－ n），且 l 的斜率 k＝ nm ，∵ A,B兩點(diǎn)分別 l1和 l2上，∴ 4 ( 1 ) ( 2 ) 3 03 ( 1 ) 5 ( 2 ) 5 0mn? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??，消去常數(shù)項得－ 3m＝ n，所以 k＝－ 3， 從而直線 l 的方程為 3x＋ y＋ 1＝ 0. y x O P E F B A 例 2 圖 解法三 設(shè) l l2與 l 的交點(diǎn)分別為 A,B，則 l1關(guān)于點(diǎn) P（－ 1， 2） 對稱的直線 m 過點(diǎn) B，利用對稱關(guān)系可求得 m 的方程為 4x＋ y＋ 1＝ 0，因為直線 l 過點(diǎn) B，故直線 l 的方程可設(shè)為 3x－ 5y－ 5＋ λ（ 4x＋ y＋ 1）＝ l 點(diǎn) P（－ 1， 2） ，所以可求得 λ＝－ 18，從而 l 的方程為 3x－ 5y－ 5－ 18（ 4x＋ y＋ 1）＝ 0，即 3x＋ y＋ 1＝ 0. 點(diǎn)評 本題主要復(fù)習(xí)有關(guān)線段中點(diǎn)的幾種解法，本題也可以先設(shè)直線方程，然后求交點(diǎn)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求出直線 l 的斜率，但這種解法思路清晰，計算量大，解法一和解法二靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，使計算簡化，對解法二還可以用來求已知中點(diǎn)坐標(biāo)的圓錐曲線的弦所在直線方程，解法三是利用直線系方程求解，對學(xué)生的思維層次要求較高。 |PB|取得最小值 k0, ∴ k=1,這是直線 l 的方程是 x+y3=0. 解法二 :如下圖 ,設(shè)∠ BAO=θ,由題意得 θ∈ (0,2? ),且 |PA|178。 |PB|= 222211( 4 4 ) (1 ) 8 4 ( ) 4kkkk? ? ? ? ? ?,當(dāng)且僅當(dāng) k2=1,即 k=177。 (2)當(dāng) |PA|178。高中數(shù)學(xué) 精講精練 第八章 直線和圓的方程 【 知識 圖解】